Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1. 3x2 – 5x = 0
2. x2 – x – 6 = 0
4. x2 + 3x − 1 = 0
5. 2x2 − 3x + 10 = 0
7. 2x3 + 3x2 − 18x − 27 = 0
3. 2x2 + x – 1 = 0
6. x2 − 2 3x + 3 = 0
8. 3(x − 4)2 − 48 = 0
ÖRNEK:
27
2x
6
+
=
− 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2x + 7x − 4 x + 4 2x − 1
2
ÖRNEK: x6 + 26x3 − 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÖRNEK:
x + 6 − 4 = x denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÖRNEK:
3X
2
+X − 6
= 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
3x
2
+ x −6
= 1 ⇒ x 2 + x − 6 = 0 dir.
(x+3) (x−2) = 0 ⇒ x + 3 = 0 V x − 2 = 0
⇒ x = −3
x=2
Ç = {−2, 3}
ÖRNEK:
x2 − |x|− 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÖRNEK:
(m − 3)x2 − 2mx + 3(m − 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (−1) ise m kaçtır?
ÖRNEK:
mx2 − 2(m − 1)x + m − 5 = 0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç
olmalıdır?
ÖRNEK:
2x 2 − (n − 1)x − m + 6 = 0 
 denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?
3x 2 − 2x + 2m − 1 = 0 
ÖRNEK:
2x2 − 4x + m − 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x12 + x22 = 4 ise m kaçtır?
ÖRNEK:
2x2 + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?
ÖRNEK:
Kökleri −3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÖRNEK:
Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x1 =
3−
2 dir. Bu denklem nedir?
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
1. ∀a ∈ R için aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden denklemdir?
a) ( a+3) x2 + 2x +5 =0
b) (a2 – 4) x2+x –1 = 0
c) ax2+5x+1 =0
 a 2 − 1 2
 x − x + a = 0
 a +1 
d) 
e) (a2+1)x2+5x – a = 0
2. (a+ 2)x3+x2-x+a=0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, köklerin biri kaçtır?
3. 4x2 – 15x + 2 = 0 Denkleminin köklerini bulunuz.
4. x2+ 7x –m =0 denkleminin gerçek köklerinin olmaması için m hangi koşulu sağlamalıdır?
5. 2x2-3x+k=1 denkleminin gerçek köklerinin olması için k hangi koşulu sağlamalıdır?
6. 7x2 –13x +k +8 =0 denkleminin denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, bu denklemin köklerini
bulunuz.
7.7x2 +9kx –2 =0 denkleminin bir kökü 2 ise k yı bulunuz.
8.11x2-26x+15 =0 denkleminin köklerini bulunuz?
9. x2+ax +b =0 ve 2x2+ ( b+1).x +a =0 denklemlerinin çözüm kümelerinin eşit olması için a+b kaç
olmalıdır?
10. x2 +ax +1 =0 ve 2x2+ (2a+1).x –1 =0 Denklemlerinin birer kökleri eşittir. Denklemlerin diğer
köklerini bulunuz.
11. x2-2mx + m2 +2m-4 =0denkleminin eşit iki kökü olması için m kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. (x2-9 ) ( x3-16x) =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
13. ( x2-3x )2 – 16 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x 2 − 2 x − 15
= 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x 2 − 25
x
1
x+3
15.
−
= 2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz
x−2 x+2 x −4
14.
16. x4-x2-12 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
17. (x2 –2x)2 –2(x2-2x)-15 =0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
 x 
 x 
18. 
 − 4
 − 12 = 0 Denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
 x + 3
 x − 3
19.x1/2 – x1/4 –6 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
20. x − 2 x + 1 = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x 2 − x − 6 − 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
22. x x − 4 = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
21.
3
23. x 2 − 4 − x − 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
25. x 2 − (2a + 1).x + a + 2 = 0 denkleminin kökleri toplamı 11 ise, kökleri çarpımını bulunuz.
5
26. 3 x 2 + (2m − 1).x − 7 = 0 denkleminin köklerinin tersleri toplamı
ise m yi bulunuz.
6
27. x 2 + 9 x − k = 0 denkleminin kökleri kareleri toplamı8 ise k yı bulunuz.
28. x 2 − 5 x + m = 0 denkleminin kökleri x1,x2 dir. x1 − 2 x 2 = 3 ise m yi bulunuz.
29. 2 x 2 − ax + 16 = 0 denkleminin kökleri x1=x22olması için a yı bulunuz.
30. 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x12 .x 2 + x1 .x 22 ifadesinin değerini bulunuz.
(1) : x 2 + 4 x + b = 0
31.
(2) : x 2 + ax + 2b + 4 = 0
denklemleri veriliyor. 2.denklemin köklerinin 1. denklemin köklerinden birer fazla olması için b
sayısını bulunuz.
32. a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere x 2 − ax + b = 0 denkleminin kökleri 2x1,3x2dir.
a+b yi bulunuz.
33. x2 − x + |1−x| = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
34.
x + 3 12 x − 6
+
− 5 = 0 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
2x − 1
x+3
35.
3x +1- 2x-6 =0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. |x1 − x2| nedir?
36. 3x + 1 + 3x − 2 + 3x − 3 + 3x − 4 = 768 denklemini sağlayan x değeri nedir?
38.Köklerinden birisi
nedir?
3 − 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
39. mx2 − 2(m − 2)x + m − 3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir. x1 + x2 = s ve x1 . x2 = p olmak
üzere, bu denklemin kökleri arasında m’ye bağlı olmayan bağıntı nedir?
40. 3x2 + mx − 6 = 0 denkleminde
41.6x2 − 11mx − 10m2 = 0 ise
2 x2
+
= 4 bağıntısı varsa m kaçtır?
x1
2
x
nedir?
m
2
42.2x2 + x + m + 2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında
1
1
+
= 5 bağıntısı varsa, m tam
2
x1
x2
sayısı nedir?
43. (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0
a ≠ -1 olmak üzere denklemin kökleri eşit olduğuna göre, a’ nın
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
(1998 / ÖSYS)
3
2
3
44.ax + 3x + 4x –ax –2 = 0 Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a
kaçtır?
45. x2 –ax +6 =0 denkleminin kökleri arasında 9x1x22+3x13+9x12x2+3x23=1029 bağıntısı olduğuna
göre a kaçtır?
46.
q p +q
q
=
olduğuna göre
nin pozitif değeri kaçtır?
p q
p
47.9x-28.3x+27=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
48. a+b≠0 o.ü
1 1
1
1
+ =
−
a b a +b +x x
denkleminin köklerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
A)ab
1
a
C) –ab D) ab
b
ÖRNEKLER:::
B)
E) -
1
ab
1. 2x2-8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
2. x2+2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
1. x2 – 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
2. 5x2 + 4x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
3. x2 + 2x – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
ÖRNEKLER:::
1. 2x2-5x+2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
2. x2 –3x + 13 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
3. x2- 2x +1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
ÖRNEK:
-3x2 – 8x + 1 = 0 denkleminin kökleri toplamını bulalım:
ÖRNEK:
2x2 + x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise (x1+2) (x2+2) ifadesinin eşitini
bulalım:
ÖRNEK:
2x2 + 5x – 3 = 0 denkleminin kökleri farkının mutlak değerini bulalım:
ÖRNEK:
2x2-3x+1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise x21+ x22 yi bulalım:
ÖRNEK:
x2 – 4x -+2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,
1
1
+ 2 yi bulalım:
2
x 1 x 2
ÖRNEK:
2x2-x-2 = 0 denkleminde köklerin küpleri toplamını bulalım:
a = 2, b = -1, c = -2 dir.
3.2.(− 1)(
. − 2 ) − (− 1)
12 + 1 13
x 1 + x2 =
=
=
olur.
3
8
8
2
3
3
3
ÖRNEKLER:::
1. 2x2 –3mx + m -1 = 0 denkleminin köklerinden biri 2 ise, m kaçtır?
2. 2x2 + kx + 3 = 0 denkleminin kökleri toplamının 5 olması için, k kaç olmalıdır?
3. 2x2 – x + k = 0 denkleminin köklerinin çarpımının –3 olması için, k kaç
olmalıdır?
1. Kökleri x1 = 2 ve x2 = 3 olan ikinci dereceden denklemi bulalım:
2. Çözüm kümesi, Ç= {2- 3 , 2+ 3 } olan ikinci dereceden denklemi bulalım:
3. ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise kökleri
1
1
ve 2 olan ikinci
2
x 1 x 2
dereceden denklemi bulalım:
ÖRNEK:
(x-4) (x2-3x+2) = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
ÖRNEK:
x4 – 5x2+4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
ÖRNEK:
2 x + 1 − x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
ÖRNEK:
x 2 + x − 2 = 0 denkleminin çözün kümesini bulalım:
A. x ≥ 0 ise x = x olacağından verilen denklemi, x2 + x - 2 = 0 şeklinde yazarız.
Bu denklemi çözelim:
x1 = 1
∆ = 12 − 4.1.( −2) = 1 + 8 = 9 ⇒ x1, 2 =
−1± 9 −1± 3
=
2
2
x2 = -2 dir.
x ≥ 0 koşulu ile başlamıştık. x = -2, çözüm kümesine dahil edilmez.
B.
x < 0 ise x = − x olacağından, verilen denklemi, x2 – x – 2 = 0 şeklinde
yazarız. Bu denklemi çözelim:
x3 = 2
∆ = (−1) 2 − 4.1.( −2) = 1 + 8 = 9 ⇒ x3, 4 =
− (− 1) ± 9 1 ± 3
=
2
2
x4 = -1 dir.
x < 0 koşulu ile başlamıştık. x = 2, çözüm kümesine dahil edilemez. O halde çözüm
kümesi, Ç = {-1, 1} dir.
ÖRNEK:
(m – 2)x2 -2mx + 2m -3 = 0 denkleminin, birbirinden farklı gerçek sayı olan iki
kökünün olması için; m in alabileceği değerleri belirtelim.
ÖRNEK:
− x 2 − 3x + 4 ifadesini gerçek sayı olmasını sağlayan x gerçek sayılarını
belirtelim.
-x2 – 3x +4 ≥ 0 ise − x 2 − 3x + 4 ifadesi gerçek sayıdır.
-x2 – 3x +4 üç terimlisinde, a = -1 < 0 dır.
-x2 – 3x +4 = 0 ⇒ x1 = -4 veya x2 = 1 dir.
-x2 – 3x +4 üç terimlisi, köklerin arasındaki x değerleri için; a = -1 ile ters işaretli
(pozitif) olur. -4 ≤ x ≤ 1 ise -x2 – 3x +4 ≥ 0 olur.
Buna göre, f(x) =
− x 2 − 3x + 4 ifadesinin gerçek sayı olması için , -4 ≤ x ≤ 1
olmalıdır.
Örnek Toplamları
7
ve çarpımları -2 olan iki sayıyı bulunuz.
2
Download

+ − =+− −− 01 2m 2x 3x 06m 1)x