10. Beklenen Değer Hesapları - II
Bir X kesikli rasgele
ile
gösterilen
değişkenin f(xi) olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiş ise E(X)
beklenen
değerinin aşağıda verildiği şekilde hesaplandığı önceki
konularda gösterilmişti.
Eğer X sürekli bir rasgele değişken ise bu durumda
beklenen değer şu şekilde
hesaplanır.
Örnek:
X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
olarak verilmiştir. X rastgele değişkeninin beklenen değerini bulunuz.
Kesikli Rastgele Değişkenin Varyansı
Bir X rastgele değişkeninin E(X) beklenen değeri X'in ortalama değeri olup bütün
olasılık dağılımını özetleyen bir sayıdır. Varyans kavramı ise X'in bu ortalama
değerden uzaklaşma veya sapma ölçüsüdür. Yani rastgele değişkenin nasıl
dağıldığının ölçüsüdür. Varyans ne kadar küçük olursa birim değerleri birbirine o
kadar yakın olur.
X kesikli rassal değişkenin ortalaması E(X) =
Var (X) veya
ise X rastgele değişkenin varyansı,
aşağıdaki şekilde tanımlanır.
E(X2)=X12 . f(x1) +X22. f(x2)+ …..
Burada
X,
olduğu unutulmamalıdır.
ortalamalı kesikli ya da sürekli bir rassal değişken olsun. X'in standart
sapması,
varyansın kareköküdür ve aşağıdaki eşitlikte verilmiştir.
3
Örnek:
Bir para üç kez atıldığında gelebilecek turaların sayısı X olsun. Aşağıdaki tabloda X'in
olasılık fonksiyonu
ve
ile birlikte verilmiştir.
X=x
f(x)
x.f(x)
[x-E(X)]2
[x-E(X)]2.f(x)
0
1/8
0
(0-3/2)2=9/4
9/32
1
3/8
3/8
(1-3/2)2=1/4
3/32
2
3/8
6/8
(2-3/2)2=1/4
3/32
3
1/8
3/8
(3-3/2)2=9/4
9/32
E(X)= 12/8=3/2
=24/32=3/4
Böylece,
Teorem:
X, E(X)=
ortalamalı ve Var(X)=
varyanslı bir rasgele değişken ise
dir
İspat:
4
Örnek:
Bir para üç kez atıldığında gelebilecek turaların sayısı X olsun. X rasgele
değişkeninin varyansını
hesaplayınız.
X=x
f{x)=P(X=x)
x.f(x)
x2.f(x)
0
1/8
0
02.1/8=0
1
3/8
3/8
12.3/8=3/8
2
3/8
6/8
22.3/8=12/8
3
1/8
3/8
32.1/8=9/8
E(X)=3/2
E(X2)=24/8=3
Örnek:
X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir. X'in varyansını
bulunuz.
5
Çözüm:
X rastgele değişkeni kesikli olduğuna göre
Elde edilir.
Varyansın Özellikleri
a bir sabit sayı X bir rastgele değişken olmak üzere
1.
Var(a) = 0
2.
Var(X+a) = V(X)
3. Var(aX) = a2V(X)
4. Xi ve Yi bağımsız rasgele değişkenler olmak üzere
örnek
Var(aX) = a2V(X) olduğunu gösteriniz.
6
Örnek:
X rasgele değişkenin varyansı 0.50 olsun.
a)2X
b)X/2
rasgele değişkenlerinin varyanslarını bulunuz.
Çözüm:
Var(aX) =a2Var(X) olduğundan
Örnek:
Var(X+b) = V(X) olduğunu gösteriniz.
X rasgele değişkenin varyansı 5 olsun.
a)X+3
b) X-6 rasgele değişkenlerinin varyanslarını bulunuz.
7
Çözüm:
Örnek:
X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
Olarak veriliyor.
E(X), E(X2), Var(X) hesaplayınız.
Çözüm:
8
Buradan,
Özet
Ortalama
Varyans
Varyans
Standart
apma
Standard
sapma
9
Download

10. Beklenen değer hesapları II