8. BEKLENEN DEĞER HESAPLARI
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
X değişkeni
aralığında tanımlanan sürekli rasgele değişken olsun.
Aşağıdaki koşulları sağlayan f(x) fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık
yoğunluk fonksiyonu denir.
Bu grafikte eğri altında kalan alan 1 dir.
Kesikli Bir Rasgele Değişkenin Beklenen Değeri
Bir
rasgele
değişkenin
değeri
beklenen
bize
olasılık fonksiyonunun
merkezi hakkında bilgiler verir.
X, aşağıdaki olasılık fonksiyonuna sahip kesikli bir rasgele değişken olsun.
X=x
X1
x2
..
f(x)=P(X=x)
f(x1)
f(x2)
... f(xN)
X‘in E(X) ile gösterilen
gibi tanımlanır.
beklenen
xN
değeri (veya matematiksel umudu) aşağıdaki
Beklenen değer, bir rastgele değişkenin olasılıkla ağırlıklandırılmış ortalaması
demektir.
Beklenen değeri göstermek için genellikle
rasgele değişkenle çalışıldığında
harfi kullanılır. X ve Y,... gibi birden çok
'ler için ortalamaları göstermek üzere indis
kullanılır.
Yalnız bir rasgele değişken düşünüldüğünde indis atılabilir.
Örnek:
Düzgün 6 yüzlü bir zar atılsın. Üste gelen yüzdeki noktaların beklenen değeri nedir?
Çözüm: Zarın üst yüzünde bulunan noktaların sayısını X ile gösterelim. X'in olanaklı
değerleri 1, 2, 3, 4, 5, 6' nın her biri 1/6 olasılığı ile elde edilir.
1, 2, 3, 4, 5, 6 sayılarının ortalamasının 3.5 olduğuna dikkat ediniz.
3
Örnek:
Bir paranın üç kez atılmasında bulunan turaların sayısını X ile gösterelim.
X=x
0
1
2
3
f(x)=P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
Örnek:
R raslgele değişkeni sağıdaki olasılık fonksiyonuna sahiptir.
E(R) nedir?
Beklenen Değerin Özellikleri
Beklenen değerin çeşiitli Özellikleri vardır. Bunlar aşağıdaki gibi özetlenebilir.
c bir sabit, X ve Y rastgele değişkenler olmak üzere
4
Örnek:
Örnek:
a ve b sabitler ve X rasgele eğişken ise
E{aX + b) = a.E(X) + b
Olduğunu gösteriniz.
5
Download

8. Beklenen değer hesapları