6. EN KÜÇÜK KARELER TAHMİNLERİNİN ÖZELLİKLERİ
6.1 TAHMİN EDİCİLERDE ARANAN ÖZELLİKLER
Genellikle bir tahminin ana kütle parametresinin gerçek değerine yakın olmasını ve bu
gerçek parametre yakınlarında dar bir aralıkta değişmesini isteriz. Ana kütle parametresine
‘yakınlık’ çeşitli ekonometri tahmin yöntemleri ile bulunmuş tahminlerin örnekteki
dağılımların ortalaması ve varyansıyla ölçülür. Burada her zamanki varsayımsal yenilemeli
örnekleme sürecini kullanacak, yani her biri n gözlemli çok sayıda örnek aldığımızı
varsayacağız. Ekonometri yöntemlerinin her birini kullanarak her örnekten bˆ tahminlerini
hesaplayıp dağılımlarını oluşturacağız.
Küçük örnekten bulunmuş iyi bir tahmin edici için temel ölçütler
Sapmasızlık, En küçük varyans, Etkinlik, Doğrusal, en iyi, sapmasızlık (DES), En küçük
ortalama hata karesi (OHK), Yeterlilik.
1) Sapmasız Tahmin Edici
Bir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark
olarak tanımlanır.
Sapma= E (bˆ) -b
Eğer sapma sıfırsa yani E (bˆ) =b ise, bir tahmin edici sapmasız olur. Bu da örneklerin
sayısı artıkça, sapmasız tahmin edicinin, parametrenin gerçek değerlerine yaklaştığı
anlamına gelir. Sapmasız bir tahmin edici ‘ortalama olarak’ parametrenin gerçek değerini
verir.
(a) bˆ , b nin sapmasız tahmin edicisidir
(b) bˆ , b nin sapmalı tahmin edicisidir.
1
Aranan bir özellik olmasına karşın, sapmasızlık kendi başına çok önemli değildir. Ancak
küçük bir varyansla birleşirse önemli olur.
2) En Küçük Varyanslı tahmin edici (ya da en iyi tahmin edici)
Bir tahmin, başka ekonometri yöntemleriyle bulunmuş başka herhangi bir tahminle
karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahip olduğu görülürse en iyi tahmindir. bˆ nin en
iyi olma koşulu:
~
~
E[bˆ  E (bˆ)]2 < E[b  E (b )]2
Ya da
~
~
Var( bˆ )< var( b ) burada b , gerçek parametre b nin (sapmasız olması gerekmeyen)
herhangi bir başka tahminidir.
Varyansı küçük olduğu halde sapması büyük olan bir tahmin edici, b gerçek
parametresinden oldukça uzak bir değer etrafında toplanabilmektedir.
bˆ , b nin büyük varyanslı sapmasız tahmin edicisidir.
~
b , b nin küçük varyanslı sapmalı bir tahmin edicisidir.
~
bˆ sapmasızdır ama büyük bir varyansı vardır. b ise sapmalıdır fakat varyansı küçüktür. Bu
iki almaşık tahmin edici arasındaki seçim, aşağıda açıklanan ortalama hata karesi (OHK)
ölçütüne bakılarak yapılabilir.
3) Etkin Tahmin Edici
Bir tahmin edici, yukarıdaki özelliklerin ikisini de üstünde toplamışsa etkin sayılır.
2
Yani sapmasızdır ve başka herhangi sapmasız tahmin ediciyle karşılaştırıldığında daha
düşük varyansa sahiptir. Aşağıdaki iki koşul yerine getirilse bˆ etkindir.
E (bˆ)  b
(a)
ve
E[bˆ  E (bˆ)]2  E[b*  E (b* )]2
(b)
Burada b * , gerçek b nin başka bir sapmasız tahmin edicisidir. Başka bir deyişle, etkin tahmin
edici, bütün tahmin sapmasız ediciler sınıfı içinde en düşük (en iyi) varyansa sahip olan
tahmin edicidir.
4) Doğrusal Tahmin Edici
Bir tahmin edici, örnekteki gözlemlerin doğrusal bir fonksiyonuysa doğrusal sayılır.
Örnek gözlemleri veriyken, doğrusal bir tahmin edici şu biçimi alır.
k1Y1  k 2Y2  ...k nYn
Burada ki ler sabit değerlerdir.
Öreğin k1 = k2=…= kn=
1
olduğundan Y örnek ortalaması doğrusal bir tahmin edicidir.
n
Çünkü
Y=
Y
i
n

1
1
Yi  Y1  Y2  ...  Yn 

n
n
1
1
1
 Y1  Y2  ...  Yn
n
n
n
Y , örnek ortalaması hesaplanırken her gözleme, 1/n ye eşit olan aynı k ağırlık verilmiştir.
5) Doğrusal en iyi Sapmasız Tahmin Edici (DEST)
Bir Tahmin edici, doğrusalsa sapmasızsa ve gerçek b nin öteki doğrusal sapmasız tahmin
edicileriyle karşılaştırıldığında en küçük varyansa sahipse, DEST olur.
3
6) En küçük Ortalama Hata Kareli(OHK) Tahmin Edici
Ortalama hata karesi ölçütü, sapmasızlık ve en küçük varyans özelliklerinin bir tahmincisidir.
Burada OHK, tahmin edicinin, ana kütledeki gerçek parametre b ile olan farkının karelerinin
beklenen değeri olarak tanımlanır:
 
OHK bˆ  E bˆ  b

2
OHK nin, tahmin edicinin varyansıyla sapma karesinin toplamına eşit olduğu
gösterilebilir.



OHK bˆ =Var bˆ +sapma2 bˆ
İspat:
 
= Ebˆ  E bˆ  E bˆ   b
= Ebˆ  E bˆ  E bˆ  b  2E[bˆ  E bˆ][ E bˆ  b]
OHK= E bˆ  b
2
2
2

 

E bˆ  E bˆ = Var bˆ
2
Ebˆ b =sapma (b)
2
2
2

  
E[bˆ  E bˆ][ E bˆ b]= EbˆE bˆ  E bˆ  bˆb  bE bˆ
= E bˆ  E bˆ  bE bˆ  bE bˆ  0
Ve E [bˆ  E bˆ ][ E bˆ  b] =0 çünkü
2
2
Dolayısıyla

2

OHK= Var bˆ +sapma2 bˆ
7) Yeteli Tahmin Edici
Yeterli bir tahmin edici, gerçek parametre hakkında bir örneğin içerdiği bütün bilgileri
kullanıma koyan bir tahmin edicidir. Bu başka hiçbir tahmin edicinin, tahmin edilmekte
olan gerçek ana kütle parametresi hakkında daha fazla bilgi sunamayacağı anlamına gelir.
4
TAHMİN EDİCİLERİN BÜYÜK ÖRNEK ÖZELLİKLERİ:
ASİMTOTİK ÖZELLİKLER
Büyük örneklerden elde edilen tahminlere ilişkindir. Buradaki özelliklerin bir tahminin
iyiliğini belirleme ölçütü olarak kullanılması, örneğin sonsuz büyük (n  ) olmasını
gerektirir. İşte bu nedenle özelliklere asimtotik özellik denir. Örnek büyük olduğu zaman
bu özelliklerin yaklaşık olarak sağlandığı varsayılır. Özellikler ise şunlardır: Asimtotik
sapmazlık, tutarlılık ve Asimtotik etkinlik.
1) Asimtotik Sapmazlık
Bir dizi rassal değişken düşünüldüğünde
{X(n)}= X(nt).X(n2)…X(nT)
Bunlardan her birinin kendi dağılımı, ortalaması ve varyansı var. Dağılımlar gitgide artan
örnek büyüklüklerinden oluşturulmuş bulunuyor. nT sonsuza giderken bu dağılımlar da belli
bir dağılıma doğru yaklaşıyor olabilirler. İşte bu dağılıma {X(n)} dizisinin asimtotik dağılımı
denir.
Asimtotik Beklenti
Bir rassal değişkenler dizisinin asimtotik beklentisi, asimtotik dağılımın aritmetik
ortalamasıdır.
X     X 
n
n1
, X n 2  ,... X nT  rassal değişkenler dizisi ele alalım. Tek tek bütün dağılımların
beklenen değerlerinin varlığını kabul edelim. Böylece aşağıdaki beklenen değer dizisi elde
edilir.
E( X   )  E( X 
n
n1
), E ( X n 2  ),...E ( X nT  )
Örnek büyüklüğü sonsuza giderken beklenen değer  sonlu sabitine yaklaşıyorsa, bu sabite,
başlangıçtaki rassal değişkenler dizisinin Asimtotik ortalaması denir.
5
{X(n) } nin
= limE  X n   
asimtotik
n
beklentisi
2) Asimtotik Varyans
X     X 
n
n1
, X n 2  ,... X nT  dizisinin asimtotik dağılımı şöyledir.
lim E ( X n  ) = 
n 
Dağılımların varyansı şöyle bulunur.
E( X    E( X   ) = E( X 
2
n
n
n1


 E ( X n1 ) , E( X n 2   E ( X n 2  ) ,…
2
2
Başlangıçtaki dizinin asimtotik varyansı n   giderken varyanslar dizisinin sınırdaki değeri
değildir, çünkü çoğu zaman sınırdaki değer sıfırdır.
lim VarX n    lim EX n   E X n  =0
n
n
İse X(n) dağılımı tek bir noktaya iner ve buna yaz dağılımı denir. Çünkü artık bir dağılım
kalmamıştır.( bir noktaya yoğunlaşan ve varyansı sıfır olan dağılıma yoz dağılım denir.)
Yoz dağılımlara sahip tahmin ediciler arasından seçim yapmanın güçlüklerinden kurtulmak
için asimtotik dağılımın varyansını (ya da asimtotik varyansı) şöyle yazabiliriz. Terimleri
( X    E( X   ) ile
n
n
n nin çarpımlarının beklenen değerlerinden oluşan yeni bir dizi
belirleriz.
E n ( X
n 
 E ( X n  ) )
 = E
2
n 1 ( X n1  E ( X n1 ) )
 , E
2
n 2 ( X n 2   E ( X n 2  ) )
 ,…
2
Eğer n sonsuza giderken bu yeni dizi 'v' sonlu sabitine doğru yaklaşırsa, yani eğer


lim E n( X n   E X n  )  v ise başlangıçtaki X n   dizisinin asimtotik dağılımının
n
2
varyansı şöyle olacaktır.
X n nin 
 asimtotik 



 var yansı 



2
1
1
.v  lim E n( X n   E X n  )
n
n n 
Yukarıdaki asimtotik momentlerin (ortalama ve varyansın) n terimli herhangi bir sonlu
örneğin ortalama varyansının yaklaşığı olduğuna dikkat edelim. Bu yüzden n büyüdükçe
yaklaşıklık artacaktır.
6
3) Asimtotik Sapmasızlık
Eğer bˆ tahmin edicisinin asimtotik ortalaması, ana kütlenin gerçek b parametresine eşit ise,
bu tahmin edici, bu parametrenin asimtotik sapmasız tahmin edicisidir.
Yani
 
lim E bˆn   b dir.
n 
Bir tahmincinin asimtotik sapması, asimtotik ortalaması ile gerçek parametre arsındaki farka
eşittir.
bˆ' nin



E bˆn   b
asimtotik   lim
n 
 sapmsı 


  
Eğer bir tahmin edici (sonlu küçük örneklerde) sapmasızsa aynı zamanda asimtotik
sapmasızdır, ama bunun tersi doğru değildir.
4) Tutarlılık
Bir bˆ tahmin edicisi, aşağıdaki iki koşulla, ana kütlenin b gerçek parametresinin tutarlı bir
tahmin edicisidir:
(1) bˆ asimtotik sapmasız olmalıdır.
 
lim E bˆn  =b
n 
(2) n sonsuza giderken bˆ 'nın varyansı sıfıra yaklaşmalıdır:
  
lim Var bˆ  0
n 
Eğer varyans sıfırsa, dağılım ana kütlenin gerçek parametresinin üstünde bir noktada toplanır
(yoz).
Bir tahmin edicinin tutarlı olup olmadığını anlamak için, n arttıkça sapmanın ve varyansının
ne olduğuna bakılmalıdır. (n) büyüdükçe hem sapma hem varyans azalmalı ve limitte ( n  
iken) sıfır olmalıdır. Tutarlılık kavaramı aşağıda çizilmiştir. Örnek büyüklüğü artıkça hem
sapma hem varyans azalmaktadır.
7
5) Asimtotik Etkinlik
Eğer
(1) bir bˆ tahmin edicisi tutarlıysa
(2) başka herhangi bir tutarlı tahmin ediciye göre daha küçük bir asimtotik varyansı
varsa
Bu tahmin edici ana kütlenin gerçek b parametresinin asimtotik etkin bir tahmincisidir.
 



2
2
1
1
Eğer,  lim E n bˆn   b  <  lim E b * n   b  ise bˆ asimtotik etkindir. Burada b * , b
 n n 
  n n 

nin başka bir tutarlı tahmin edicisidir. Eğer tutarlı tahmin ediciler karşılaştırıldığında
~
hangisinin varyansı daha hızla sıfıra yaklaşıyorsa o, asimtotik etkendir. Örneğin bˆ ve b gibi
iki tahmini ele alalım. Bunların dağılımlarının ortalama ve varyansları şöyle olsun:

 n 1
E bˆ  
b
 n 

~  n 1
Eb 
b
 n 

k
var bˆ  2
n
(k sabit bir sayı)

~ k
var b 
n
Her iki tahmin edicinin de sapmalı ama tutarlı oldukları görülmektedir, çünkü n   iken
sapmaları ve varyansları sıfır olmaktadır.

~
lim E b   b

~
lim var b   0
lim E bˆ  b
lim var bˆ  0
n 
n 
n 
n 
Ancak b'nın varyansı, n   iken sıfıra daha fazla yaklaşmaktadır, dolayısıyla bˆ 'nın ,
~
almaşık b tutarlı tahmin edicisinden daha etkin olduğunu söyleyebiliriz.
8
EN KÜÇÜK KARELER TAHMİN EDİCİLERİNİN ÖZELLİKLERİ
Rassal terim u'nun bazı genel varsayımları yerine getirmesi, yani ortalamasının sıfır ve
varyansının sabit olması koşuluyla, en küçük kareler tahmincilerinin DES ( doğrusal, en iyi,
sapmasız) özelliklerini sağlamasına Gauss-Markow en küçük kareler teoremi denmektedir.
1) Doğrusallık Özelliği
En küçük kareler tahminleri bˆ0 ve bˆ1 gözlenen örnekteki Yi değerlerinin doğrusal
fonksiyonlarıdır. Varsayım gereğince Xi ler hep aynı değerlerle göründüklerine göre en küçük
kareler tahminlerinin yalnız Y değerlerine bağlı olduğu gösterilebilir.
bˆ0 =f(Y) ve bˆ1 =f(Y).
bˆ1 =
ki=

xi
x
2
i
2
i
i
i
i i
i i
2
i
xi
x
 x y = k Y =  x Y  Y    x Y

x
x
x
Yi =  k i Yi
2
i
i
2
i

Y  xi
x
2
i
NOT: tanım gereği bir değişkenin kendi ortalamasından
i
sapmalarının toplamı her zaman sıfırdır
 x   X
i
i
 X 0
Varsayım gereği X değerleri sabit sayılar kümesidir. Öyleyse ki ler de örnekten örneğe
değişmezler ve tek tek Y değerlerine atanmış sabit ağırlıklar olarak düşünülebilirler.
Bu durumda şunu yazabiliriz:
bˆ1   k i Yi  k1Y1  k 2Y2  ...  k nYn  f (Y )
bˆ1 tahmini, Y lerin doğrusal bir fonksiyonudur, bağımlı değişken değerlerinin doğrusal bir
bileşimidir.
2) Sapmasızlık Özelliği
 

bˆ0 ve bˆ1 in sapmasızlık özelliği E bˆ0  b0 ve E bˆ1  bˆ1 bu özelliğin anlamı, örneklerin
sayısı artıkça tahminlerde parametrelerin gerçek değerine yaklaşır.
9
3) En Küçük Varyans Özelliği
Gauss-Markow teoremi ispatı: Bu teoreme göre en küçük kareler tahminleri, başka
ekonometri yöntemleriyle bulunmuş herhangi bir başka doğrusal sapmasız tahmin ediciler
arasında en iyisidir ( varyansı en küçük olandır). SEK yönteminin tutulmasının temel nedeni
de bu özelliktir.
bˆ1 varyansının bulunuşu
 xi
 
var(Yi)= EYi  E ( yi )  E ui2   u2
1
Var( bˆ1 )=  2 b1   ˆ 2 u
2
2
Var( bˆ1 )= var  k i Yi    k i2 var(Yi )
Var( bˆ1 )=  k i2 u2 = u2  k i2
2
 x 
2
=  i 2    u
x 
i 

2
u
x
x
 u
i
2
i
2
1
 xi2
Gerçek parametrenin herhangi bir ekonometri yöntemiyle bulunmuş doğrusal sapmasız bir
~
tahminin, örneğin b1 in, en küçük kareler tahmini olan bˆ1 den daha büyük varyansa sahip
olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Yani,
~
Var( bˆ1 )<Var( b1 )
İlk olarak yeni tahmin edici bˆ1 , Yi lerin doğrusal bileşimi, örnekteki Y değerlerinin tartılı


toplamıdır, buradaki tartılar, en küçük kareler tahminlerindeki k i  xi /  xi2 tartılarından
farklıdır. Örneğin diyelim ki,
~
b1 =  ci Yi burada ci=ki+di , ki SEK tahminleri için yukarıda tanımlanan tartılar ve di ise ki
lere benzeyen ama aynı olmayan isteğe bağlı bir tartılar kümesidir. Yi yerine b0  b1 X  u
İfadesini geçirirsek
~
b1   c1 (b0  b1 X i  ui ) =  b0 ci  b1ci X i  c1u1 
~
İkinci olarak yeni tahmin b1 in aynı zamanda gerçek b1 in sapmasız bir tahmincisi olduğu

varsayılmaktadır. Yani E bˆ1  b1 ve beklenen değerini alırsak
  

~
E b1  E b0  ci  b1  (ci X i )   c1u1 

~
Yalnızca aşağıdaki koşulların sağlanması halinde E b1  b1 olacaktır.
c
i
0
c X
i
i
1
ve
e u
i
i
0
10
 c  0 ifadesi  d  0 sonucunu doğurur çünkü
 c   k  d    k   d ve ifadesinin sıfıra eşitliği için  k
 x =  X  X   0  0
olmalı  k =
x
x
x
Ama
i
i
i
i
i
1
1
2
2
i
Benzer biçimde
i
c X
i
i
d
1
=0
2
i
i
 1 eşitliğinde
i
c X  k X  d X
i
=0 ve
i
i
1
1
i
i
ve
i
k X
i
d X
i
i
 0 olmasını gerektirir. Çünkü
1
i
~
Sonuç olarak b1 b1 in doğrusal sapmasız bir tahmini olarak tanımladığımıza göre ve tartılarda
ci=ki+di olduğuna göre şunları tanımlamış oluruz:
c
0
i
d
1
c X
=0
i
1
i
d X
i
0
i
~
Üçüncü olarak yeni tahmin edici b1 in varyansı şöyle olacaktır.

~
İspat: var b in çıkarılması işlemleri, en küçük kareler tahmini bˆ in varyansının
 
~
var b1  var bˆ1   2 u  d i2
1
1
çıkarılmasıyla aynıdır.
bˆ1   k1Yi ve

var bˆ1  vark i Yi    vark i Yi    k12 varY    k i2 u2   u2  k i2
b'nin varyansını da bunlara benzeterek yeniden yazabiliriz:
~
b1 =  ci Yi

~
var b1 = var  ci Yi    ci2 varYi 
Burada ci ler Yi lerden bağımsız sabit tartılardır. Öte yandan
var  yi    u2 dolayısıyla
 
~
var b1   u2  ci2
öyleyse
c
2
i
  k i  d i    k1   d1  2 k i d i   k i2   d i2
2
2
2
Burada
k d  
i
i
xi
di 
 xi2
(yukarıda belirtilen
 X  X d
x
i
2
i
d X
i
i
=0 ve
i

d X  X d
x
d
i
i
2
i
i
i
0
 0 koşullarından)
11
Yerine koyarak şunu buluruz:
 
var bi   u2   ki2   di2    u2  ki2   u2  di2
Öte yandan
 
 u2  ki2  var bˆ1
Dolayısıyla
~
var b1  var bˆ1   2 u  d i2

 
di ler hepsi sıfır olmayan isteğe bağlı sabit tartılar olduğuna göre, ikinci terim artıdır.
  d
2
u
2
i
 0
ci=ki+di olduğundan, eğer bütün di ler sıfırsa o zaman ci=ki olur, bu da b1 in bˆ1 den farklı yeni
bir tahmin edici olduğuna ilişkin varsayımımıza ters düşen b1 = bˆ1 sonucunu verir.
dolayısıyla
var( b1 )>var( bˆ1 )
böylelikle gerçek b1 in doğrusal sapmasız tahminleri içinde, en küçük kareler tahmini en
düşük varyanslıdır.
PARAMETERE TAHMİNLERİNİN VARYANS FORMÜLLERİNİN
GENELLEŞTİRİLMESİ
1. Tek açıklayıcı değişkenli model Y  b0  b1 X1  
 
var bˆ1   u2
1
 x2
2. İki açıklayıcı değişkenli model Y  b0  b1 X1  b2 X 2  
 
var bˆ1   u2
 
var bˆ2   u2
x
  x   x     x x 
2
2
2
1
2
2
2
1 2
x
  x   x     x x 
2
1
2
1
2
2
2
1 2
Yukarıdaki ifadeler determinantla şöyle yazılabilir.
Sapmalar biçiminde yazılmış iki açıklayıcı değişkenli modelin normal denklemleri şöyledir.
  x y   bˆ  ( x ) bˆ  ( x x )
1
1
2
1
2
1 2
  x y   bˆ  ( x x ) bˆ  ( x )
2
1
1 2
2
2
2
12
Parantez içindeki terimler, örnek gözlemlerinden hesaplanmış determinantlardır bˆ1 ve bˆ2 ise
bilinmeyenlerdir. Sağ tarafta yer alan bilinenler, determinant kalıbında yazılabilir.
  x12

  x1 x2
x x
x
1 2
2
2

  A her bir parametrenin varyansı, bu parametreye ilişkin minör

determinantının bütün determinanta bölümünün  u2 ile çarpımıdır.
Öyleyse,
  x12

xx
2  1 2
ˆ
var b1   u
  x12

  x1 x2
x x
x
x x
x
  x12

xx
2  1 2
ˆ
var b2   u
  x12

  x1 x2
x x
x
x x
x
 
 


 x22
 = 2
=  u2
u
2



 x1  x1 x2 
1 2

2 
2 

2 
  x1 x2  x2 
1 2
2
2


 x12
 = 2
=  u2
u
2
  x1  x1 x2 

1 2

2 
2 


2 
  x1 x2  x2 
1 2
2
2
x
2
2
A
x
2
1
A
3. Üç açıklayıcı değişkenli model Y  b0  b1 X1  b2 X 2  b3 X 3  
Normal denklemin sağ tarafında görülen bilinen terimlerin determinantı şöyledir:
  x12

  x1 x2
  x1 x3

 
x x x x
x x x
x x x
1 2
2
2
2 3
  x12

  x1 x2
 xx
2  1 3
var bˆ1   u
  x12

  x1 x2
  x1 x3
var bˆ2   u2 
 


2 3 = B
2 
3 
1 3
x x x x
x x x
x x x
1 2
2
2
2 3


  x22
2 3

2 
xx
3 
2  2 3
=
1 3
u
B
x x
x
2 3
2
3
B
x x x x
x x x
x x x
1 2
2
2
2 3
B


  x12
2 3

2 
xx
3 
2  1 3
= u
1 3
13



x x
x
1 3
2
3
B



  x12

  x1 x2
  x1 x3
var bˆ3   u2 
 
x x x x
x x x
x x x
1 2
2
2
2 3
B


  x12
2 3

2 
xx
3 
2  1 2
=
1 3
u
x x
x
1 2
2
3



B
Katsayı tahminlerinin varyanslarını gösteren yukarıdaki ifadeler incelenecek olursa, şu
genelleme yapılabilir. k sayıda açıklayıcı değişken içeren bir modelin tahminlerinin varyansı
iki determinantın bir birine oranından hesaplanabilir. Örneğin bˆk nın varyansı aşağıdaki
ifadedir.
  x12

  x1 x2


 x x
1 k
var bˆk   u2 
  x12

  x1 x2


 x x
1 k

 
x x x x
x x x x
1 2
1 2
x x
x x
x x
2 k
1 2
1 2
x x
2 k


2 k 


2 
x
 k 
 x1 xk 
 x2 xk 


2 
x
 k 
1 k
14
Download

1 6. EN KÜÇÜK KARELER TAHMİNLERİNİN ÖZELLİKLERİ 6.1