ԨKԨNCԨ DERECEDEN DENKLEMLER
EԬԨTSԨZLԨKLER ve FONKSԨYONLAR
ÜNԨTE
2. ÜNԨTE
2. ÜNԨTE
2. ÜNԨTE
Ԩkinci Dereceden Denklemler
1. Kazanm
Ԩkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini ve çözüm kümesini belirler.
2. Kazanm
Ԩkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini veren baԫnty gösterir ve köklerin varlԫn
diskriminantn iԭaretine göre belirler.
3. Kazanm
Ԩkinci dereceden bir denklemin kökleri ile kat saylar arasndaki baԫntlar gösterir.
4. Kazanm
Kökleri verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi kurar.
5. Kazanm
Ԩkinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüԭtürülebilen denklemlerin çözüm kümesini bulur.
6. Kazanm
Ԩkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerini açklar ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüԭtürülebilen ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesini bulur.
Eԭitsizlikler
1. Kazanm
f(x) = ax + b ile verilen fonksiyonun alacaԫ deԫerlerin iԭaretini inceler ve tabloda gösterir, birinci dereceden bir bilinmeyenli eԭitsizliklerin çözüm kümesini bulur.
2. Kazanm
f(x) = ax2 + bx + c ԭeklinde verilen fonksiyonun alacaԫ deԫerlerin iԭaretini inceler ve tabloda gösterir,
ikinci dereceden bir bilinmeyenli eԭitsizliklerin çözüm kümesini bulur.
3. Kazanm
Birinci veya ikinci dereceden polinomlarn çarpm veya bölümü biçiminde verilen eԭitsizliklerin çözüm
kümesini bulur.
4. Kazanm
Birinci veya ikinci dereceden eԭitsizlik sistemlerinin çözüm kümesini bulur.
5. Kazanm
Ԩkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemi çözmeden köklerinin varlԫn ve iԭaretini belirler.
Ԩkinci Dereceden Fonksiyonlar
1. Kazanm
f(x) = ax2 + bx + c ԭeklinde verilen fonksiyonlarn en küçük ya da en büyük deԫerini hesaplar.
2. Kazanm
Ԩkinci dereceden bir fonksiyonun grafiԫinin tepe noktasn, eksenleri kestiԫi noktalar ve simetri eksenini
bulur, fonksiyonun deԫiԭim tablosunu düzenler ve grafiԫini çizer.
3. Kazanm
Grafiԫi üzerinde tepe noktas ile herhangi bir noktas ya da herhangi üç noktas verilen ikinci dereceden
fonksiyonu bulur.
4. Kazanm
Ԩki bilinmeyenli eԭitsizliԫin ve eԭitsizlik sisteminin çözüm kümesini grafik üzerinde gösterir.
2. ÜNԨT
ԨKԨNCԨ DERECEDEN DENKLEMLER
ԨKԨNCԨ DERECEDEN BԨR BԨLԨNMEYENLԨ DENKLEMLER
a, b, c D R ve a  0 olmak üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindeki açk önermelere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu açk önermeyi doԫrulayan (eԫer varsa) x reel saylarna denklemin kökleri ve köklerin oluԭturduԫu kümeye
de denklemin çözüm kümesi denir. Denklemin kökü yoksa, çözüm kümesi Ø dir. a, b, c reel saylarna ise
denklemin kat saylar denir.
Buna göre aԭaԫdaki tabloda verilen denklem ve kat saylarn inceleyiniz.
0
2
3
'()*+*,(*+*)*-*.
'
,
)
/()*+*)(*-*.
/1
)
.
,()*-*.
,
.
.
'(*/*()*-*.
/1
'
.
() (
/ +*1*-*.
,
)
1
,
1
)
1
v)()*/*v,*-*.
v)
.
/ v,
/
ԨKԨNCԨ DERECEDEN BԨR BԨLԨNMEYENLԨ
DENKLEMԨN ÇÖZÜMÜ
Çarpanlarna Ayrarak Denklem Çözme
f(x).g(x) = 0 ‰ f(x) = 0  g(x) = 0 dr.
ÖRNEK 2
x2 –– 3x + 2 = 0
ESEN YAYINLARI
!"#$%"&
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 1
(m + n –– 2)xn+3 + 3x –– 1 = 0
denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir
denklem olmas için m kaç olamaz?
Çözüm
ÖRNEK 3
x2 –– 4x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
127
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Çözüm
ÖRNEK 4
2x2 –– 18 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 8
2x2 + 3x –– 5 = 0
ÖRNEK 5
denkleminin çözüm kümesi nedir?
x2 + 3 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 6
4x2 + 1 = 4x
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Diskriminant ( 6 y) Bularak Denklem Çözme
Çözüm
Ԩkinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem
ax2 + bx + c = 0 olsun.
6 = b2 –– 4ac olmak üzere, denklemin kökleri
x1 =
–– b + T
2a
veya
x2 =
–– b –– T
dr.
2a
® 6 < 0 ise denklemin reel kökü yoktur.
Çözüm kümesi, ’ dir.
® 6 = 0 ise denklemin eԭit (çakԭk) iki kökü
vardr. Bu durumda denklem bir tam karedir.
Çözüm kümesi bir elemanldr.
ÖRNEK 7
2
2
m D R olmak üzere, x –– mx –– 2m = 0 denkleminin
çözüm kümesi nedir?
128
® 6 > 0 ise denklemin farkl iki reel kökü vardr.
Çözüm kümesi iki elemanldr.
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 9
ÖRNEK 12
x2 + 2x + 3 = 0
2x2 + x –– 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 10
x2 –– 6x + 9 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÖRNEK 13
Çözüm
ESEN YAYINLARI
x2 + 2x + k –– 1 = 0
ÖRNEK 11
x2 –– 2x –– 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
denkleminin eԭit iki reel kökünün olmas için k kaç
olmaldr?
Çözüm
ÖRNEK 14
2x2 –– x + m –– 1 = 0
denkleminin farkl iki reel kökünün olmas için m ne
olmaldr?
Çözüm
129
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ԨKԨNCԨ DERECEYE DÖNÜԬTÜRÜLEBԨLEN
ÖRNEK 15
DENKLEMLER
x2 –– (m –– 1)x –– 3m = 0
denkleminin köklerinden biri ––2
Polinomlarn Çarpm veya Bölümü
ise diԫer kökü
Biçiminde Verilen Denklemler
nedir?
P(x).Q(x) = 0 ‰ P(x) = 0  Q(x) = 0
Çözüm
P (x)
= 0 ‰ P(x) = 0 Ž Q(x)  0
Q (x)
ÖRNEK 17
x3 + 2x2 –– 3x = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 16
x2 –– kx + 3 = 0 ve x2 –– 3x + k = 0
denklemlerinin birer kökleri ortak ise k kaçtr?
ÖRNEK 18
Çözüm
x 2 –– 5x + 6
=0
x 2 –– 4
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
130
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Deԫiԭken Deԫiԭtirilerek Çözülebilen
ÖRNEK 19
Denklemler
1
1
4
+
=
x –– 1 x + 1 3
Ԩkinci dereceden daha büyük dereceli olan baz denk-
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
lemlerin çözüm kümesini bulmak için yardmc deԫiԭken kullanlarak, ikinci dereceye dönüԭtürüp çözeriz.
Çözüm
ÖRNEK 21
x4 –– 5x2 + 4 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 20
1 ––
3x
4x 2
= 2
x + 1 x + 2x + 1
ÖRNEK 22
x –– 5 4 x + 6 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
131
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 23
(x2 –– x)2 –– 8(x2 –– x) + 12 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Köklü Denklemler
Kök içinde bilinmeyen bulunan denklemlere köklü
denklemler denir. Bu tür denklemler,
n
f (x) = g (x) biçimine getirilir ve eԭitliԫin her iki ya-
nnn n. kuvveti alnarak kökten kurtarlr. Elde edilen
yeni denklem çözülerek kökler bulunur. Fakat, kökün
derecesi çift ise bulunan köklerin verilen ilk denklemi
saԫlayp saԫlamadԫ kontrol edilir. Saԫlamayan kök-
ÖRNEK 24
x
x
9 –– 10.3 + 9 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ler çözüm kümesine alnmaz.
ÖRNEK 26
3x + 1 = x + 1
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ÖRNEK 25
2x + 2––x –– 2 = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
132
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 27
3
x + 16 ––
x =3 4
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 29
x –– 1 + x + 3 = 2x + 2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 28
x + 2 = 20 –– 2x
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
133
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Çözüm
ÖRNEK 30
x 2 –– x + 2 = x 2 –– x
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 32
|x + 1|2 –– 2|x + 1| + 1 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 33
x 2 –– 4x + 4 –– x 2 –– 2x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Mutlak Deԫerli Denklemler
™x D R için |x| • 0 ve
f (x) = *
f (x)
,
f (x) • 0 ise
–– f (x) ,
f (x) < 0 ise
ÖRNEK 31
x.|x –– 1| –– 6 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
134
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
!"#$%"&
)
40( *+*2(*+*3*-*.5
x2 –– 2x + m –– 1 = 0
3.
Aԭaԫda verilen tablodaki boԭluklar doldurunuz.
denkleminin eԭit iki gerçel kökü varsa m kaç0
2
3
tr?
,()*/*'(*/*1*-*.
'()*+*)(*/*,*-*.
()*/*'(*-*.
()*+*6*-*.
2x2 –– x + m + 1 = 0
4.
()*/*v)(*+*(*/*)*-*.
denkleminin farkl iki gerçel kökü varsa m hangi
aralkta deԫer alr?
Aԭaԫdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. x2 –– 5x = 0
5.
b. 2x2 –– 8 = 0
c. 2x2 + 2 = 0
Aԭaԫdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
2.
a. x4 –– 3x2 + 2 = 0
b. (x2 –– x)2 –– 8(x2 –– x) + 12 = 0
d. x2 –– 3x + 2 = 0
e. x2 –– 6x + 9 = 0
f.
c. vx –– 4. 4 x + 3 = 0
x2 –– 2x + 4 = 0
d.
2x + 1 + 1 –– x = 0
g. 2x2 + 5x –– 3 = 0
h. 12x2 –– 17x + 6 = 0
e.
2x +
8
=6
2x
135
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
x
3x –– 3
+
–– 4 = 0
x –– 1
x
f.
2x + 5 ––
g.
1
x = x –– 1
m.
1
x ––
x
x2 +
x+2 = 1
n.
x
x
2 –– x 3
––
+
+ =0
x + 2 x –– 1 1 –– x 2
2x + 1 + x + 1 = 3
h.
.
x|x| –– 4 = 0
j.
x2 + |x| –– 6 = 0
k.
x
x
8
+
=
x –– 1 x + 1 3
l.
x + 2 x –– 1 2 –– x 3 –– x
+
––
––
=4
x –– 1 x –– 2 1 –– x 2 –– x
136
ESEN YAYINLARI
o. x ––
3
3
= 3+
x –– 2
2 –– x
p. x3 –– x2 –– x + 1 = 0
r.
6.
|x2 –– 4x| –– |x –– 4| = 0
2x2 –– mx + 4m –– 1 = 0
denkleminin bir kökü 2 ise m kaçtr?
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
KÖKLER ԨLE KAT SAYILAR ARASINDAKԨ BAԪINTILAR
ax2 + bx + c = 0 denkleminde 6 = b2 –– 4ac > 0 olmak üzere,
x1 =
–– b + T
2a
ve x 2 =
–– b –– T
2a
olduԫunu biliyoruz. Ԭimdi de bu kökler ile a, b, c kat saylar arasnda baz baԫntlar kuralm.
®
x 1 + x 2 = ––
®
x 1 .x 2 =
b
;
a
c
;
a
x1 + x2 =
b 2 –– (b 2 –– 4ac) 4ac c
–– b + T –– b –– T (–– b) 2 –– ( T ) 2
=
=
=
·
=
olur.
2
2a
2a
4a
4a 2
4a 2 a
x 1 .x 2 =
b
––
x2 + x1
1
1
b
olur.
+
=
= a = ––
x1 x2
x 1 .x 2
c
c
a
®
1
1
b
;
+
= ––
x1 x2
c
®
x 1 –– x 2 =
®
x 21 + x 22 =
b 2 –– 2ac
;
a2
®
x 31 + x 32 =
3abc –– b 3
;
a3
T
;
a
–– b + T –– b –– T –– 2b
b
olur.
+
=
= ––
2a
2a
2a
a
x 1 –– x 2 =
–– b + T –– b –– T
2 T
T
––
olur.
=
=
2a
2a
2a
a
x 21 + x 22 = ^ x 1 + x 2h2 –– 2x 1 .x 2 = c ––
b 2
c b 2 –– 2ac
olur.
m –– 2· =
a
a
a2
x 31 + x 32 = (x 1 + x 2) 3 –– 3x 1 .x 2 ^ x 1 + x 2h = c ––
=
b 3
c
b
m –– 3· · c –– m
a
a
a
–– b 3 3bc –– b 3 + 3abc
+ 2 =
olur.
a3
a
a3
ÖRNEK 34
Aԭaԫdaki tabloyu inceleyiniz.
!"#$%"&
(1*+*()
(1*8*()
1
1
+
(1 ()
9(1*/*()9
0()*+*2(*+*3*-*.
2
0
3
0
2
3
6
909
)()*/*(*/*1*-*.
1
)
1
)
/1
,
)
,()*/*)(*/*)*-*.
)
,
)
,
/1
) C
,
()*/*'(*+*1*-*.
'
1
'
)v,
/()*/*(*+*'*-*.
/1
/*'
1
'
c1C
137
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Çözüm
ÖRNEK 35
2x2 –– 4x –– 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
x1 + x2 , x1.x2 ,
1
1
, |x1 –– x2| ,
+
x1 x2
x12 + x22 ve x13 + x23 deԫerlerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 38
x2 + mx –– 27 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
x1 = x22 ise m kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 36
x2 + 4x –– 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
x1.x22 + x12.x2 ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 39
x2 –– 4mx + 1 = 0
denkleminin köklerinin geometrik ortalamas aritmetik
ortalamasna eԭit ise m kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 37
x2 + 6x + k –– 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
x1 –– x2 = 2 ise k kaçtr?
138
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 40
ÖRNEK 42
x2 –– 2(m + 1)x + m –– 1 = 0
x2 + 2x –– 4 = 0
denkleminin köklerinin birer eksiԫinin çarpm 2 ise
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
köklerinin birer fazlasnn toplam kaçtr?
kaçtr?
1
1
+
x 1 –– 1 x 2 –– 1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 43
x2 –– 6x + m = 0 denkleminin kökleri
x2 –– 2x –– m + 1 = 0 denkleminin köklerinin 2 ԭer kat
ise m kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 41
(m –– 1)x2 + 2mx + 4 = 0
denkleminin simetrik iki kökü varsa m kaçtr?
Çözüm
139
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 44
ÖRNEK 45
x2 + 2mx + m –– 2 = 0
denkleminin kökleri arasnda
x2 –– mx + n = 0 denkleminin bir kökü 2 ,
x2 + px + r = 0 denkleminin bir kökü 3 tür.
m ye baԫl olmayan
bir baԫnt bulunuz.
Bu iki denklemin diԫer kökleri ortak ise m + p
Çözüm
kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
KÖKLERԨ VERԨLEN ԨKԨNCԨ DERECEDEN DENKLEMԨN YAZILMASI
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
(x –– x1).(x –– x2) = 0
biçiminde yazlabilir. Çarpma iԭlemini yaparsak,
4( < ( 1584( < ( ) 5 = .
‰ x2 –– x2x –– x1x + x1.x2 = 0 ‰ x2 –– (x1 + x2).x + x1.x2 = 0 olur.
Bu eԭitlikte x1 + x2 = T ve x1.x2 = Ç yazlrsa x2 –– Tx + Ç = 0 bulunur.
Aԭaԫdaki tabloda kökler toplam ve kökler çarpm verilen denklemler yazlmԭtr. Ԩnceleyiniz.
Kökler Toplam (x1 + x2)
Kökler Çarpm (x1.x2)
Denklem
2
––3
x2 –– 2x –– 3 = 0
––1
4
x2 + x + 4 = 0
0
––2
x2 –– 2 = 0
140
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 46
Aԭaԫda çözüm kümeleri verilen ikinci dereceden
Rasyonel kat sayl ikinci dereceden bir bilinme-
denklemleri yaznz.
yenli denklemin
bir kökü a + vb ise diԫeri a –– vb dir.
a) { 3, ––1 }
5
b) ' 1
2
c) { 1 + v2, 1 –– v2 }
ÖRNEK 47
Köklerinden biri 2 + v5 olan rasyonel kat sayl ikinci
Çözüm
dereceden denklemi yaznz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 48
Köklerinden biri
1
2 –– 1
olan rasyonel kat sayl
ikinci dereceden denklemi yaznz.
Çözüm
141
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ԨKԨNCԨ DERECEDEN ԨKԨ BԨLԨNMEYENLԨ
ÖRNEK 49
DENKLEMLER
x2 + 2x –– 2 = 0
a, b, c, d, e, f D R ve a, b, c saylarndan en az ikisi
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 2x1 + 1 ve
sfrdan farkl olmak üzere,
2x2 + 1 olan ikinci dereceden denklemi yaznz.
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
Çözüm
biçimindeki denklemlere ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi saԫlayan
(x, y)
reel say ikililerinin kümesine de denklemin çözüm
kümesi denir.
ÖRNEK 50
2x2 + y2 = 19
x2 –– y2 = 8
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 51
A = x2 + 4y2 + 2x –– 12y + 5
ifadesinin en küçük deԫeri kaçtr?
142
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Çözüm
ÖRNEK 53
x2 –– y2 + x + y = 12
x –– y = 2
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 52
x2 –– y2 = 3
x.y = 2
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ETKԨNLԨK
!
H
(
I
(+)
D
)(+'
E
G
(+,
F
Ԭekildeki ABCD dikdörtgeninde |AB| = (2x + 4) br
ve |AD| = x br, FKE dik üçgeninde,
|EF| = (x + 2) br ve |FK| = (x + 3) br dir.
Dikdörtgenin alan, üçgenin alanna eԭit olduԫuna
göre |EK| kaç br dir?
Çözüm
143
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ETKԨNLԨK
Üçüncü Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a, b, c, d D R ve a  0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.
®
x1 + x2 + x3 = ––
b
a
®
x1.x2.x3 = ––
d
a
®
ÖRNEK 54
3
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
c
a
ÖRNEK 56
2
x3 + (3m –– 1)x2 + 2x –– 8 = 0
x –– 4x + x + m = 0
denkleminin köklerinden biri diԫer ikisinin geometrik
varsa, x1.x2 kaçtr?
ortas ise m kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
denkleminin kökleri arasnda x1 + x2 = x3 baԫnts
ÖRNEK 55
x3 + mx + 2m + 4 = 0
denkleminin bir kökü 2 ise diԫer iki kökün toplamn
ve çarpmn bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 57
x3 + mx2 + x + 4 –– m = 0
denkleminin köklerinin çarpmaya göre tersleri topla1
ise m kaçtr?
m ––
2
Çözüm
144
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 58
ÖRNEK 60
x2 + x + n + 1 = 0 ve x3 + 2x2 + mx –– 2 = 0
x3 + 3x2 + 4x + 1 = 0
denklemlerinin ikiԭer kökleri ortak ise m + n kaçtr?
denkleminin köklerinin kareleri toplam kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 61
ESEN YAYINLARI
x3 –– 7x + 6 = 0
denkleminin bir kökü x = 1 ise diԫer iki kökünü
bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 59
x3 –– mx –– 16 = 0
denkleminin iki kökü eԭit ise m kaçtr?
Çözüm
145
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
Aԭaԫdaki tabloyu uygun deԫerlerle doldurunuz.
!"#$%"&
(1*+*()
1
1
+
(1 ( )
(1*8*()
)
)
(1*+*()
9(1*/*()9
)()*/*(*/*'*-*.
()*/*6(*+*)*-*.
/()*+*)(*+*,*-*.
,()*/*)(*/*1*-*.
()*/*(*-*.
)()*/*'*-*.
2x2 –– 3x –– 1 = 0
2.
x2 –– (m + 10)x + 8 = 0
6.
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise (x1 –– 2)(x2 –– 2)
denkleminin köklerinden biri diԫerinin 2 kat ise
kaçtr?
bu kökleri bulunuz.
x2 –– mx + m –– 2 = 0
3.
mx2 –– (m + 1)x + 9m –– 2 = 0
7.
denkleminin köklerinin aritmetik ortalamas 2 ise
kat ise m kaçtr?
geometrik ortalamas kaçtr?
ESEN YAYINLARI
denkleminin kökler toplam kökler çarpmnn 3
x2 –– 3x + 1 = 0
4.
x2 + mx + n = 0
8.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre,
denkleminin köklerinden biri 3,
x13 x22 + x12 x23 kaçtr?
x2 + kx + p = 0
denkleminin köklerinden biri ––4 tür.
Bu iki denklemin diԫer kökleri ortak ise
a. m –– k kaçtr?
2
5.
2x –– 3x –– 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
kaçtr?
146
1
1
+
x1 + 2 x2 + 2
b.
n
p
kaçtr?
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
9.
13. Köklerinden biri 2 –– v3 olan 2. dereceden ras-
Aԭaԫdakilerden doԫru olanlarn için boԭ kutulara
““D”” yanlԭ olanlar için boԭ kutulara ““Y”” yaznz.
yonel kat sayl denklemi bulunuz.
2. dereceden bir denklemde ¨ = 0 ise
denklemin eԭit iki kökü vardr.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin simetrik iki
1
olan rasyonel kat sayl,
2 –– 3
2. dereceden denklemi bulunuz.
14. Köklerinden biri
kökü varsa b = 0 dr.
2. dereceden bir denklemin köklerinin
aritmetik ortalamas geometrik ortalamasna eԭit ise ¨ = 0 dr.
ax2 + bx + c = 0 denkleminde x1.x2 < 0
15. Kökleri x2 –– 3x + 1 = 0 denkleminin köklerinden
ikiԭer eksik olan 2. dereceden denklemi bulu-
ise ¨ > 0 dr.
nuz.
10.
x2 –– 4mx + 2m –– 1 = 0
ESEN YAYINLARI
denkleminin kökleri arasnda m ye baԫl olmayan bir baԫnt bulunuz.
11.
16.
x2 –– 4x –– 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise, kökleri 2x1 –– 1
ve 2x2 –– 1 olan 2. dereceden denklemi bulunuz.
x2 + (1 –– m)x + 2 + m = 0
x1 x2
+
= 2 baԫnx2 x1
ts varsa m nin alacaԫ deԫerler toplam kaçtr?
denkleminin kökleri arasnda
17.
mx2 –– (1 –– m)x –– 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri x1––2 ve x2––2 olan 2. dereceden denklemi
bulunuz.
12. Aԭaԫda çözüm kümeleri verilen 2. dereceden
denklemleri bulunuz.
a. {––2, 3}
b. {––1, ––2}
18.
c. {1, 4}
d. {––2}
(mx)2 + (2 –– m)x –– 1 = 0
denkleminin simetrik iki kökü varsa m kaçtr?
147
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
x2 –– x –– 4m + 2 = 0
19.
24.
denkleminin köklerinden biri 1 ise çözüm kümesi-
denkleminin x1 ve x2 kökleri için x13 + x23 = 7
ni bulunuz.
ise m kaçtr?
25. Aԭaԫda çözüm kümeleri verilen 3. dereceden
x2 –– 3x –– 1 = 0
20.
denklemleri yaznz.
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri
x1
x
ve 2
x2
x1
x3 + 2mx2 + mx + 2 = 0
a. {––1, 1, 2}
olan 2. dereceden denklemi
bulunuz.
b. {––1, 0, 1}
26. 3x3 –– 2x2 + 3x –– 2 = 0 denkleminde
x2 + mx + n = 0
21.
x1 + x2 + x3 , x1.x2.x3 ve x1x2 + x1x3 + x2x3
köklerinden 2 ԭer fazla ise m –– p kaçtr?
deԫerlerini bulunuz.
22. Kökleri x1 ve x2 olan 2. dereceden bir denklemde
ESEN YAYINLARI
denkleminin kökleri x2 + px + k = 0 denkleminin
27.
x3 –– 3x2 + 2x –– 4 = 0
x1(3 –– x2) + 3x2 = 5
denkleminin kökleri x1, x2, x3 ise
x2(x1 –– 2) –– 2x1 = 3
kaçtr?
1
1
1
+
+
x1 x2 x3
baԫntlar saԫlanyorsa bu denklemi bulunuz.
28.
x3 –– mx2 + (m –– 1)x –– 8 = 0
denkleminin köklerinden biri diԫer ikisinin geometrik ortas ise m kaçtr?
23. Aԭaԫdaki 3. dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. x3 –– x2 –– 2x + 2 = 0
29.
3
2
b. x –– 4x + 3x = 0
x3 –– 3x2 + mx –– 3m + 1 = 0
denkleminin köklerinden biri diԫer ikisinin aritmetik ortas ise m kaçtr?
148
TEST – 1
5.
x+1
1
+
=3
x –– a x + 1
1.
x2 = 4x
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
denkleminin köklerinden biri x = 1 ise a reel
gisidir?
says kaçtr?
1
C)
4
1
B)
2
A) 1
D) 1
5
A) {0}
E) 1
6
D) {0, 4}
x2 –– (a + 3)x + 2a –– 1 = 0
2.
denkleminin köklerinden biri
m kaçtr?
C) ––2
D) ––3
A) 4
E) ––4
x1 = x
lemin kökü olduԫuna göre, m kaçtr?
13
C) –– 1
6
6
D) ––
2
3
E) ––
1
2
B) ––
5
3
C) ––
7
3
E) 0
D)
7
3
2
2
1
2
ise, k kaçtr?
B)
1
2
C) 2
D) ––
3
2
E) 5
2
x2 –– 5x + n –– 2 = 0
8.
denkleminin kökleri arasnda x1 + 2x2 = 6
denkleminin bir kökü varsa, m nedir?
A)
A) ––
5
6
x 2 + mx –– 3
=0
x+2
4.
D) 1
denkleminin reel kökleri x1 ve x2 dir.
üzere A kümesindeki elemanlardan biri bu denk-
B) ––
C) 2
x2 + (2k + 1)x –– 8 = 0
7.
denklemi veriliyor. A = { ––2, 1, 0, 2, 3 } olmak
A) 5
6
B) 3
ESEN YAYINLARI
B) ––1
2
m
3
+
=
x 2 –– 4 x x 2 –– 3x
3.
E) {––4, 4}
denkleminin kökler çarpm ––1 ise kökler topla-
ise diԫer kök
kaçtr?
A) 0
C) {––4}
x2 –– (n + 2)x + 2n –– 5 = 0
6.
3
B) {4}
baԫnts varsa, n kaçtr?
E) ––2
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
149
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
x2 + 5x + a –– 1 = 0
9.
x2 –– 5x + 1 = 0
13.
denkleminin kökleri 2 ve 3 ile orantl olduԫuna
denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
göre, a kaçtr?
1
1
ifa+
x1
x2
desinin eԭiti nedir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) v3
x2 –– 2m(m –– 1)x + m + 3 = 0
10.
14.
1
1
+
= x 1 .x 2
x1 x2
denkleminin kökleri arasnda
C) v5
B) 2
E) v7
D)v6
x2 + 3x –– 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
x1 + 4
nedir?
ve x2 + 4 ü kök kabul eden denklem
A) 1 ve 9
B) –– 1 ve 9
C) ––9 ve 1
D) ––1 ve 5
E) –– 1 ve ––5
A) x2 –– 5x + 2 = 0
C) x2 –– 5x –– 2 = 0
E) x2 –– 6x –– 1 = 0
B) x2 + 5x + 2 = 0
D) x2 + 5x –– 2 = 0
ESEN YAYINLARI
baԫnts olduԫuna göre, m nin alacaԫ deԫerler
aԭaԫdakilerden hangisidir?
15. Rasyonel kat sayl x2 –– (3m –– 5)x + n –– 2 = 0
denkleminde köklerin birisi 2 –– v3 ise, m + n
2
11.
x –– 3x + 2m = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
1
kaçtr?
2
2
x –– x = 27 ise m kaçtr?
A) 6
B) 3
C) ––6
A) 3
D) ––9
x2 –– (2a –– 3)x + 3a + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kenar uzunluklar x1 ve x2 olan bir dikdörtgenin çevresi 26 birim
1. D
2. B
150
B) 24
3. E
C) 25
4. A
5. D
D) 30
6. A
D) 6
E) 7
E) 32
7. D
8. D
x2 –– 2x –– 7 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri 2x1 + 1 ve 2x2 + 1 olan ikinci dereceden
denklem aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) x2 + 6x –– 23 = 0
C) x2 –– 6x –– 21 = 0
E) x2 –– 4x –– 23 = 0
ise bu dikdörtgenin alan kaç birimkaredir?
A) 20
C) 5
E) ––12
16.
12.
B) 4
9. E
10. B
11. D
12. C
B) x2 + 6x + 23 = 0
D) x2 –– 6x –– 23 = 0
13. E
14. A
15. D
16. D
TEST – 3
1.
5.
Çözüm kümesi {––2, 3} olan 2. dereceden denklem aԭaԫdakilerden hangisidir?
x2 –– mx –– 3m + 1 = 0
denkleminin kökler toplam 2 ise kökler çarpm
kaçtr?
2
2
A) x + x –– 6 = 0
B) x –– 5x –– 6 = 0
C) x2 + 5x –– 6 = 0
D) x2 –– x –– 6 = 0
A) ––5
B) ––4
C) ––2
D) 4
E) 5
2
E) x –– x + 6 = 0
4x –– 7 = x –– 1
6.
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden hangisidir?
(a –– b + 2) xb––1 –– 3x + 1 = 0
2.
A) {2}
denklemi 2. dereceden bir denklem gösteriyorsa
B) {4}
D) {2, 4}
a aԭaԫdakilerden hangisi olamaz?
B) 0
C) 1
D) 2
E) {––2, 4}
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) ––1
C) {––2}
x + 1 + x –– 1 = 2
7.
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ' ––
x2 –– 6x + 2 = 0
3.
x12x2 + x1x22 kaçtr?
B) ––8
C) 6
D) 8
x –– 8x + m + 1 = 0
denkleminin köklerinden biri diԫerinin 3 kat ise
m kaçtr?
B) 10
C) 11
4
C) ' 1
5
6
E) ' 1
5
x + 1 x –– 1 3
––
=
x –– 1 x + 1 2
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden hangisidir?
2
A) 9
4
1
5
E) 12
8.
4.
B) ' ––
5
D) ' 1
4
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre
A) ––12
5
1
4
D) 12
E) 13
A) ' ––
1
, 31
3
B) ' –– 3,
1
D) ' , 1 1
3
1
1
3
E) ' ––
C) ' –– 1,
1
, 11
3
153
1
1
3
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
13.
x
x + 1 x –– 2 x + 3
––
=
+
x –– 1 x + 2 x –– 1 x + 2
9.
x2 –– 3mx + 6m + 1 = 0
denkleminin kökleri arasnda m ye baԫl olma-
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
yan bir baԫnt aԭaԫdakilerden hangisidir?
gisidir?
A) {1, 2}
B) {1}
D) {2}
C) {––1, 2}
E) {––1, ––2}
A) x1.x2 + x1 + x2 = 1
B) x1.x2 –– x1 –– x2 = 1
C) x1.x2 –– 2(x1 + x2) = 1
D) x1.x2 = x1 + x2
E) x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1
10. 2. dereceden bir denklemin farkl x1 ve x2 ger-
14.
çel kökleri arasnda,
x2 + y2 –– 10 = 0
x + y –– 4 = 0
x1(x2 + 1) + x2 = m + 2
}
denklem sisteminin çözüm kümesi aԭaԫdakiler-
x2(2x1 –– 1) –– x1 = 1 –– m
den hangisidir?
baԫntlar bulunduԫuna göre m nin deԫer aralԫ aԭaԫdakilerden hangisidir?
B) (––3, ')
D) (1, 4)
B) {(––1, 3)}
C) {(––3, 1)}
D) {(1, 3), (3, 1)}
E) {(––1, 3), (3, ––1)}
C) (––3, 1)
E) R –– [––3, 1]
ESEN YAYINLARI
A) (––', 1)
A) {(1, 3)}
15. Kökleri, x2 + mx + 1 = 0 denkleminin köklerinden
birer eksik olan 2. dereceden denklem aԭaԫda-
(3x –– 2)3 = (3x –– 2)5
11.
kilerden hangisidir?
denklemini saԫlayan farkl x deԫerlerinin toplam
kaçtr?
4
A)
3
A) x2 + x(m + 2) + m + 2 = 0
B) 5
3
C) 2
B) x2 + x(m + 2) + m + 1 = 0
10
E)
3
D) 3
C) x2 + x(m –– 2) + 2 –– m = 0
D) x2 + x(2 –– m) + m –– 2 = 0
E) x2 + x(m + 2) + m –– 2 = 0
1
10
= –– 1
––
x 2 + 2x + 1 3x + 3
12.
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ' –– 2,
16. m + n = ––1 olmak üzere,
2
1
3
D) ' ––
1. D
2. C
154
3. E
C) ' ––
B) {––2}
2
1
3
4. C
mx2 + nx + 1 = 0 denkleminin bir kökü aԭaԫda-
2
, 21
3
kilerden hangisidir?
2
E) ' 1
3
5. A
6. D
A) ––2
7. D
8. A
9. D
10. E
B) ––1
11. C
C) 0
12. C
13. C
D) 1
14. D
E) 2
15. A
16. D
TEST – 6
x3 + 4x2 + mx + 3 = 0
1.
x3 –– 3x2 + (m + 2)x + m = 0
5.
denkleminin kökleri arasnda,
denkleminin köklerinden biri diԫer ikisinin aritme-
x1.x2.x3 = x1 + x2 baԫnts varsa m kaçtr?
tik ortas ise m kaçtr?
A) ––3
A) ––2
B) ––2
C) 2
D) 4
E) 6
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
x3 + mx –– 3 = 0
2.
denkleminin
kökleri
arasnda,
x1 =
1
1
+
x2 x3
6.
Kökleri ––1, 2 ve 3 olan 3. dereceden denklem
aԭaԫdakilerden hangisi olabilir?
baԫnts varsa m kaçtr?
A) x3 –– 4x2 + x + 6 = 0
A) ––10
B) ––9
C) ––8
D) ––7
E) ––6
B) x3 + 4x2 –– 5x –– 6 = 0
C) x3 –– 4x2 + 5x + 6 = 0
D) x3 + 4x2 –– 5x + 6 = 0
x3 + x –– 4 = 0
3.
denkleminin köklerinin iԭaretleri için aԭaԫdakiler-
ESEN YAYINLARI
E) x3 –– 4x2 –– 5x + 6 = 0
den hangisi doԫrudur?
denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 ise x12 + x22 + x32
B) Ԩki kök negatif bir kök pozitiftir.
kaçtr?
C) Üç kök de negatiftir.
D) Üç kök de pozitiftir.
A) 25
E) Köklerin biri 0, diԫerleri negatiftir.
x3 –– (m + 1)x2 + (m + 6)x –– 6 = 0
4.
x3 –– 5x2 + 2x –– 4 = 0
7.
A) Ԩki kök pozitif bir kök negatiftir.
B) 24
C) 23
D) 22
x3 –– (m + 1)x2 + (m + 2)x –– 6 = 0
8.
denkleminin kökleri ardԭk üç tam say ise m
denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 tür.
kaçtr?
x1.x2 = 2 ise x1 + x2 + x3 kaçtr?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E) 21
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
159
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
x3 –– x2 –– x + 1 = 0
9.
x3 + 2mx2 –– mx + m –– 5 = 0
13.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin bir kökü 1 dir. Bu denklemin diԫer
iki kökünün çarpmaya göre terslerinin toplam
A) {––1, 0, 1}
B) {––1, 1, 2}
D) {––1, 2}
C) {––1, 1}
kaçtr?
E) {1, 2}
5
2
A) ––
B) ––
5
3
C) ––2
D) 5
2
E) 2
x3 –– 2x2 –– 2x + m + 1 = 0
10.
x3 + mx2 + x –– m –– 2 = 0
14.
denkleminin kökleri x1 , x2 ve x3 tür.
1
1
1
1
koԭulu+
+
= ––
x1 x2 x3
2
denkleminin kökleri
x1 + x2 = 4 ise x1.x2.x3 kaçtr?
nu saԫlyorsa m kaçtr?
A) ––12
B) ––11
C) ––10
D) 11
E) 12
B) ––5
C) ––4
D) ––3
E) ––2
ESEN YAYINLARI
A) ––6
x3 –– ax2 + 2bx –– 8 = 0
11.
denkleminin köklerinden biri diԫer ikisinin geoa
kaçtr?
metrik ortas ise
b
A) ––2
B) ––1
C) 1
D) 2
denkleminin iki kökü eԭit ise m kaçtr?
E) 3
A) ––12
x3 –– 2x2 + mx + 2 = 0 ve x2 –– x + n = 0
12.
denkleminin ikiԭer kökleri ortak ise m –– n kaç-
1. E
2. A
160
B) ––1
3. B
C) 0
4. C
D) 1
5. C
6. A
A) 4
8. B
C) ––6
D) 6
E) 12
denkleminin köklerinin kareleri toplam kaçtr?
E) 2
7. E
B) ––8
x3 + 4x2 + 2x –– 2 = 0
16.
tr?
A) ––2
x3 + mx –– 16 = 0
15.
9. C
10. A
B) 6
11. C
C) 8
12. D
13. B
D) 10
14. C
E) 12
15. A
16. E
EԬԨTSԨZLԨKLER
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eԭitsizliklerin Çözümü
a ve b reel saylar ve a  0 olmak üzere,
ax + b > 0
ax + b • 0
ax + b < 0
ax + b ” 0
biçiminde ifade edilen açk önermelerin herbirine, birinci dereceden bir bilinmeyenli eԭitsizlik denir.
Bu eԭitsizliklerin çözüm kümesi bulunurken y = ax + b nin iԭaret incelemesi aԭaԫdaki gibi yaplr.
ax + b = 0 ‰ x = ––
%
!"#"$%"&"'
b
olacaԫndan iԭaret incelemeyi bu köke göre aԭaԫdaki gibi yaparz.
a
'
$
('
"
$")*+",-.
)/$0+.*)
'
$")*+"$!1)/$0+.*)
ÖRNEK 62
ÖRNEK 63
2x –– 1 3x + 2
”
3
6
3x –– 6 > 0
eԭitsizliԫinin çözüm kümesi nedir?
eԭitsizliԫinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 64
8x
–– 2 < x
5
olduԫuna göre, x in en büyük tam say deԫeri kaçtr?
Çözüm
161
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Ԩkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eԭitsizliklerin Çözümü
a, b, c D R ve a  0 olmak üzere,
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c • 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ” 0
biçiminde ifade edilen eԭitsizliklerin herbirine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli eԭitsizlik denir.
y = ax2 + bx + c nin görüntü kümesinin iԭareti, x2 nin kat says olan a ya ve 6 ya (diskriminanta) baԫldr.
6 > 0 durumunda
%
!"#"$%8"&"'%"&";
("'
%9
$")*+"$!1)/$0+.*)
%8
$")*+",-.
)/$0+.*)
'
$")*+"$!1)/$0+.*)
6 = 0 durumunda
%
'
%9#%8# $
("'
$")*+"$!1)/$0+.*)
!"#"$%8"&"'%"&";
'
$")*+"$!1)/$0+.*)
6 < 0 durumunda
%
("'
!"#"$%8"&"'%"&";
'
$")*+"$!1)/$0+.*)
ÖRNEK 65
ÖRNEK 66
x2 –– 2x –– 3 < 0
––x2 + 7x –– 6 ” 0
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
162
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 67
ÖRNEK 69
x2 –– 4x + 4 ” 0
3x2 –– 2x + 4 ” 0
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK 70
(x2 –– x).(x + 3) < 0
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 68
––x2 + 3x –– 3 < 0
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
163
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
II. Yol: Çarpm veya bölüm durumunda olan
ÖRNEK 72
ifadelerin baԭ kat saylar alnarak çarplr. Çkan
x< 1
x
sonucun iԭareti, tablonun en saԫdaki aralԫnn
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
iԭaretidir. Diԫer aralklarda iԭaret deԫiԭtirilerek
yazlr.
Çözüm
Eԫer çift kat kök varsa, yani ayn kökten 2 veya
2 nin kat kadar bulunmuԭsa, bu kökün saԫndaki
ve solundaki iԭaret ayndr.
Ԭimdi verilen eԭitsizliԫi bu yolla çözelim.
Köklerimiz ––3 , 0 ve 1 olup birer tanedir. Yani çift
katl kök yoktur.
x2 –– x in baԭ kat says: 1
x + 3 ün baԭ kat says: 1
}
‰ 1.1 = 1 olup
tabloda en saԫdaki aralԫn iԭareti + dr.
>% "("%?>%"&"2?
("'
(
45,67
(2
=
&
9
(
45,67
O halde, Ç = (––', ––3) F (0, 1) dir.
ÖRNEK 71
(x –– 1) . (x 2 –– 3x –– 4)
•0
–– x + 4
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
164
"
'
&
ESEN YAYINLARI
%
8
ÖRNEK 73
(2 –– x) 4 (x –– 1) 5
”0
x+1
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
EԬԨTSԨZLԨK SԨSTEMԨ
ÖRNEK 74
Birden fazla eԭitsizliԫin oluԭturduԫu sisteme, eԭitsizlik
(–– x 2 –– 4) (x 2 –– 4)
”0
2x
sistemi denir.
Eԭitsizlik sistemindeki her eԭitsizliԫin çözüm aralԫ
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
ayr ayr bulunur. Bulunan aralklarn kesiԭim kümesi
eԭitsizlik sisteminin çözüm kümesidir.
Çözüm
ÖRNEK 76
x –– 1 > 0
3
–– 4 < 0
x2
eԭitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 75
x+1 +2
x 2 –– 4x + 3
”0
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 77
2+x<4<x+6
eԭitsizlik sisteminin çözüm aralԫ nedir?
Çözüm
165
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
%
( "'
%<8
3< %
(
(
&
<<
(
&
&
ÖRNEK 78
2
2x –– 4 < x + 2 < x
eԭitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
% 8 <93
Çözüm
(<
8
<
3
&
(
(
(
45,67
Çözüm kümesi Ç = (4, 6) olur.
ÖRNEK 80
x 2 –– 6
<1
x
eԭitsizliԫinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
_
x –– 2
>0 b
b
6 –– x
`
–– 4
< 0bb
2
x –– 16
a
eԭitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
166
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 79
&"'
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ԨKԨNCԨ DERECEDEN BԨR BԨLԨNMEYENLԨ DENKLEMԨN KÖKLERԨNԨN ԨԬARETԨ
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. 6 = b2 –– 4ac olmak üzere, bu denklemin çözüm kümesini
bulmadan, köklerinin iԭareti ile ilgili aԭaԫdaki yorumlar yapabiliriz.
A"B"=
C+1D*+7)1"0++*"D5D6"!ED.F0G
%9"&"%8"K"=""‰""="B"%9"#"%8
A"#"=
H/).")D)"D5D
I$0J-0G
H/).")D)"LE,).)M"D5D"I$0J-0G
%9"&"%8"#"=""‰""%9"#"%8"#"=
%9"&"%8"B"=""‰""%9"#"%8"B"=
H/).")D)"1+N$.)M"D5D"I$0J-0G
%9"&"%8"K"=""‰ "="B"%9"B"%8
%9G%8"K"=
QE,).)M")D)"D5D"I$0J-0G
P5D*+0"$!1)/$0+.*)J)0G
%9"&"%8"B"=""‰ "%9"B"%8"B"=
R+N$.)M")D)"D5D"I$0J-0G
A"K"=
O$0D*-")D)"D5D
I$0J-0G
%9"&"%8"K"=""‰""="#"%9"B"%8
%9G%8"#"=
P646D"D5D"="J-0G
P5D*+0J+1
')0)"="J-0G
%9"&"%8"B"=""‰""%9"B"%8"#"=
S6!6D"D5D"="J-0G
%9G%8"B"=
P5D*+0",-.
)/$0+.*)J)0G
%9"&"%8"K"=""‰""%9"B"="B"%8"""I+"""T%9T"B"%8
%9"&"%8"#"=""‰ "%9"B"="B"%8"""I+"""T%9T"#"%8
%9"&"%8"B"=""‰ "%9"B"="B"%8"""I+"""T%9T"K"%8
ÖRNEK 81
2x2 –– 5x + 1 = 0
ÖRNEK 82
(m –– 1)x2 –– 4x + m –– 4 = 0
denkleminin köklerini bulmadan varlԫn ve iԭaretini
denkleminin ters iԭaretli iki gerçel kökü varsa m nin
inceleyiniz.
deԫer aralԫn bulunuz.
Çözüm
Çözüm
167
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 83
x1 < 0 < x2 ‰ 6 > 0 dr.
x2 + 2x –– m + 1 = 0
denkleminin ayn iԭaretli iki kökünün olmas için m
x1 < 0 < x2 ‰ x1.x2 < 0
hangi aralkta deԫer almaldr?
‰
Çözüm
c
< 0 ‰ c.a < 0 olacaԫndan
a
6 = b2 –– 4ac > 0 bulunur.
ÖRNEK 85
(a + 1)x2 + (a –– 2)x + 1 = 0
denkleminin pozitif farkl iki kökünün olmas için a
reel says hangi aralkta deԫer almaldr?
Çözüm
(m + 2)x2 + (m + 4)x –– 2m + 4 = 0
denkleminin kökleri arasnda x1 < 0 < x2 ve
|x1| > x2 koԭullar saԫlandԫna göre, m hangi aralkta deԫer alr?
Çözüm
168
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 84
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ax2 + bx + c > 0 veya ax2 + bx + c < 0
Eԭitsizliklerinin ™x D R Ԩçin Saԫlanmas
.
Her x D R için
ax2 + bx + c > 0 ‰ a > 0 ve ¨ < 0
ax2 + bx + c < 0 ‰ a < 0 ve ¨ < 0 dr.
ÖRNEK 86
mx2 –– (4 –– 2m)x + 1 > 0
eԭitsizliԫini ™x D R için saԫlanyorsa m nin deԫer
aralԫn bulunuz.
ETKԨNLԨK
Çözüm
Ԩkinci Dereceden Bir Denklemin Köklerinin
k D R Says Ԩle Karԭlaԭtrlmas
k D R , f(x) = ax2 + bx + c olmak üzere
ESEN YAYINLARI
®
k says kökler arasnda (x1 < k < x2 ) ise
a.f(k) < 0 olmaldr.
(Ayrca 6 > 0 incelemeye gerek yoktur.)
®
k says her iki kökten küçük (k < x1 < x2 ) ise
6 > 0, a.f(k) > 0 ve k < ––
®
b
olmaldr.
2a
k says her iki kökten büyük (x1 < x2 < k) ise
6 > 0, a.f(k) > 0 ve k > ––
b
olmaldr.
2a
ÖRNEK 88
mx2 + (m –– 1)x –– m + 2 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 < 1 < x2 ise m
hangi aralkta deԫer almaldr?
Çözüm
ÖRNEK 87
(m –– 2)x2 –– 2(m –– 1)x + m –– 3 < 0
eԭitsizliԫi ™x D R için saԫlanyorsa, m nin deԫer
aralԫn bulunuz.
Çözüm
169
ALIŞTIRMALAR – 3
Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
j.
x 2 –– 1
>0
4 –– x 2
k.
x –– 1
<2
x+1
l.
(x2 –– 4)(x –– 3)(2 –– x)2 • 0
a. 4 –– x2 < 0
b. x –– x2 > 0
c. x2 + 1 < 0
m. x3 ” 4x
n. x2(x2 –– 4) < 0
d. x2 –– 2x + 1 ” 0
e. x2 –– 4x + 4 > 0
f.
ESEN YAYINLARI
1.
o.
x (x –– 1) (x 2 + 2)
>0
x 2 –– x + 6
p.
x 2 –– 4x + 3
”0
x 3 –– 3x 2 + x
r.
–– 2x (x –– 1) (x 2 –– 4)
>0
–– 2 –– x 2
s.
(x 2 –– 1) (x –– x 2)
”0
x 2 –– 4x + 4
t.
(3 x + 1) (x 2 –– 4)
•0
9 –– x 2
u.
x+2 +1
”0
4 –– x 2
x2 + x + 3 < 0
g. x2 –– x –– 2 ” 0
h.
1 –– x
>0
x –– 4
.
1
<3
x –– 2
170
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
3.
Aԭaԫdaki eԭitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
Aԭaԫdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara ““D”” yanlԭ olanlar için ““Y”” yaznz.
a. 2(x –– 1) –– 2 < 3
2(x –– 4) + 1 > 0
¨ = 0, x1.x2 > 0 ve x1 + x2 > 0 ise
x1 = x2 > 0 dr.
b. x –– 1 < 2x –– 1 < x + 2
¨ = 0, x1.x2 > 0 ve x1 + x2 < 0 ise
x1 = x2 < 0 dr.
c. 1 <
1
<2
x –– 1
d. –– 1 <
x1.x2 < 0 ise x1 < 0 < x2 dir.
1
<2
x –– 1
¨ > 0, x1.x2 > 0 ve x1 + x2 > 0 ise
x1 > x2 > 0 dr.
¨ = 0, x1.x2 > 0 ve x1 + x2 < 0 ise
e. x2 –– x > 0
x1 < 0 < x2 dir.
x2 + x ” 0
f.
2 < x2 –– x < 6
ESEN YAYINLARI
2.
4.
ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. ax2 + bx + c < 0
ise aԭaԫdakilerden doԫru olanlar için boԭ kutuya
2
g. |x –– 3x| < 4
h. x –– 1 > 1
x
x –– 2
<2
x
.
x 2 –– 4
<0
x –– 3
x 2 –– 9
<0
x –– 2
““D”” yanlԭ olanlar için ““Y”” yaznz.
¨ > 0 ve a > 0 ise, Ç = {x1, x2}
¨ < 0 ve a > 0 ise, Ç = Ø
¨ < 0 ve a < 0 ise, Ç = R
¨ = 0 ve a < 0 ise, Ç = R
j.
x2 –– 4x + 3 ” 0
|x –– 1| < 2
¨ = 0 ve a > 0 ise, Ç = Ø
171
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
5.
8.
Aԭaԫdaki denklemlerin köklerini bulmadan köklerinin iԭaretlerini tespit ediniz.
x2 –– (m –– 4)x + m –– 4 = 0
denkleminin farkl iki pozitif kökü varsa m nin
deԫer aralԫn bulunuz.
a. 3x2 –– 2x –– 4 = 0
9.
b. 2x2 –– 3x + 1 = 0
(m –– 1)x2 + mx + 2m + 2 = 0
denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 dir.
x1 < 0 < x2 ve |x1| > |x2| ise m hangi aralkta
deԫer alr?
c. x2 + 6x + 2 = 0
d. 3x2 –– 4x = 0
10.
x2 –– mx + 2(m –– 2) = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 < 0 < x2 ve
6.
mx2 –– 3mx + m –– 1 = 0
denkleminin ters iԭaretli iki kökünün bulunmas
ESEN YAYINLARI
e. x2 + x –– 1 = 0
|x1| < |x2| ise m nin deԫer aralԫn bulunuz.
11.
eԭitsizliԫi ™x D R için saԫlanyorsa m nin deԫer
için m ne olmaldr?
(m + 1)x2 –– 4x + m + 4 = 0
7.
denkleminin ayn iԭaretli iki farkl gerçek kökü
varsa m hangi aralkta deԫer alr?
172
(m + 1)x2 + 2(m –– 1)x + 1 > 0
aralԫn bulunuz.
12.
x2 –– 2(m + 1)x + 2m + 2 > 0
eԭitsizliԫi ™x D R için saԫlanyorsa m nin deԫer
aralԫn bulunuz.
TEST – 7
3x –– 10
+x”5
2
1.
5.
eԭitsizliԫinin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) [0, 4]
B) ( –– ’, 4]
D) [ ––4, ’)
x –– 2 < 4 –– x
eԭitsizliԫini gerçekleyen x gerçel deԫerleri hangi
aralkta bulunur?
A) (––’, 3]
B) [2, 4)
C) [2, ’)
D) [2, 3)
E) (––’, 3) F (6, ’)
C) ( –– ’, ––4]
E) [4, ’)
(2 –– x) (–– x –– 4) 2
•0
x –– 6
6.
2.
eԭitsizliԫini gerçekleyen x tam saylar kaç tane-
(x2 –– 4).(x2 –– 3x –– 4) ” 0
eԭitsizliԫini saԫlayan x tam saylarnn toplam
kaçtr?
B) 3
C) 4
D) 5
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) 0
dir?
(x 2 –– 4) 3
”0
x 2 –– 7x + 10
7.
eԭitsizliԫini saԫlayan kaç tane tam say vardr?
3.
A) 5
x tam say olmak üzere (x2 –– 9).(x + 5)2 ” 0
eԭitsizliԫinin çözüm kümesi kaç elemanldr?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
eԭitsizliԫini saԫlayan kaç tane tam say vardr?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
x 2 –– 2x –– 5
”1
x –– 1
eԭitsizliԫinin çözüm kümesi nedir?
x 2 –– 11x + 18
”0
(x –– 4) 2
A) 5
C) 7
E) 8
8.
4.
B) 6
D) 8
E) 9
A) (1, 4]
B) [ –– 1, 1)
C) [ –– 1, 4]
D) [ –– 1, 1) F [4, ’)
E) ( –– ’, –– 1] F (1, 4]
173
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
2x
•x
x+1
9.
13.
eԭitsizliԫini gerçekleyen kaç tane negatif olma-
aralԫ aԭaԫdakilerden hangisidir?
yan tam say vardr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B) (3, 4)
C) ( ––1, 4)
A) ( ––1, 3)
D) (0, 3)
E) ( –– ’, ––1)
E) 5
x
20
5
––
<
x –– 2 x 2 –– 4 x + 2
10.
3
>1
x
4 eԭitsizlik sisteminin çözüm
x 2 –– 3x –– 4 < 0
14.
eԭitsizliԫini saԫlayan reel saylar hangi aralkta
bulunur?
3
<0
x –– 1
4
x 2 + 3x • 0
1––
eԭitsizlik sistemini saԫlayan aralk aԭaԫdakilerden hangisidir?
B) (––’, ––2) F (2, 5)
D) (5, ’)
A) ( –– 3, 0)
B) (0, 1)
C) (1, 4]
D) (0, 1]
E) (1, 4)
ESEN YAYINLARI
A) (2, 5)
C) (––2, 5)
E) (––2, 2) F (2, 5)
x 3 –– 1
11.
>0
2
x –– x –– 2
eԭitsizliԫini saԫlayan aralk hangisidir?
A) ( ––1, 0)
B) ( ––1, 1) F (2, ’)
C) (1, 2)
D) ( –– ’, ––1) F (2, ’)
_
x 2 –– x –– 2 ” 0b
b
15.
x 2 –– 9 < 0
`
b
2
–– x + 1 > 0 b
a
sisteminin çözüm kümesi hangisidir?
A) ( ––3, 1)
B) ( ––3, 2)
C) ( ––1, 2)
D) ( ––1, 1)
E) (1, 2)
E) ( –– ’, ––1)F(1, 2)
16.
12.
(–– m + 1)x2 –– (m –– 2)x + m + 3 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 < 0 < x2
x2 + x –– 6 > 0
x2 –– 3x –– 4 < 0
sisteminin çözüm aralԫ hangisidir?
ve |x2| > |x1| ise m nin alabileceԫi deԫerler
A) (–– ’, –– 3 )
B) (––3, ––1)
C) (––1, 2)
D) (2, 4)
E) (4, ’)
B) (1, 2)
C) (2, 3)
A) (1, 3)
D) ( –– 1, 3)
E) (2, ’)
1. B
2. E
174
3. E
4. C
5. D
6. D
hangi aralktadr?
7. B
8. E
9. B
10. A
11. B
12. D
13. D
14. E
15. D
16. B
TEST – 11
1.
x 2 –– x
” 0 eԭitsizliԫinin çözüm kümesi nedir?
x 2 –– 1
5.
––1 <
2x –– 1
< 2 eԭitsizliԫinin çözüm kümesi nex
dir?
A) (––1, ')
B) (––', 1)
D) (––1, 0]
C) [0, 2)
A) c –– 3,
E) (0, 1)
1
m
3
E) c 0,
D) (––', 0)
2.
1
C) c , 3 m
3
B) (0, ')
1
m
3
x 2 –– 3x –– 10
” 0 eԭitsizliԫinin çözüm kümesi ne(x + 1) 2
dir?
6.
A) [––2, 5]
B) (––', ––2]
A) (3, 5)
E) [––2, 5] –– {––1}
B) (2, 3)
D) (3, ')
C) (2, 5)
E) (––', 3)
ESEN YAYINLARI
D) [––5, 2]
C) (––2, ')
x2 < 8x –– 15 eԭitsizliԫinin çözüm kümesi nedir?
3.
2
• 1 eԭitsizliԫinin çözüm kümesi nedir?
x
A) (–– ', 0)
B) (0, ')
D) [2, ')
4.
7.
x 2 –– 16
” 0 eԭitsizliԫini saԫlayan x tam
–– 7x + 12
saylarnn toplam kaçtr?
C) (0, 2]
E) (––', 2]
(x 2 –– 4) (3 –– x)
< 0 eԭitsizliԫinin çözüm kümesi
(––x 2 ––1) x
x2
A) ––8
8.
C) ––6
D) ––5
E) ––4
(5 –– m)x2 –– 2(m + 2)x + 3 –– m < 0 eԭitsizliԫinin
daima saԫlanmas için m hangi aralkta olmal-
aԭaԫdakilerden hangisidir?
dr?
A) (––2, 0) F (2, 3)
B) (––', ––2) F (3, ')
C) (–– ', 0) F (2, ')
D) (0, 2) F (3, 5)
A) c
E) (–– ', 2)
B) ––7
11
, 3m
12
B) c ––
D) (0, ')
11
, 3m
12
E) c –– 3,
C) (––', 0)
11
m
12
181
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
2x < x2 < x + 20
13.
(1 –– x) 2 (x –– 2) 3
” 0 eԭitsizliԫinin çözüm kümesi
x 2 –– 2x
9.
eԭitsizlik sisteminin çözüm kümesi aԭaԫdakiler-
nedir?
den hangisidir?
A) (0, ')
B) (––', ––2) F (3, ')
A) (0, 2)
B) (––4, 5)
C) (0, 1)
D) (0, ') –– {1}
C) (––4, 2)
D) (–– ', 0) F (2, ')
E) (–– ', 0) F {1}
E) (––4, 0) F (2, 5)
3x 2 + 4
>0
x 2 –– 6x + 1 –– 2m
14.
2x –– 1
” 1 eԭitsizliԫini saԫlayan kaç tane x tam
x+1
10.
eԭitsizliԫi her
says vardr?
x
reel says için saԫlandԫna
göre, m aԭaԫdaki aralklarn hangisinde deԫer
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
alr?
A) (–– ', ––4)
D) (––4, ')
ESEN YAYINLARI
(m –– 4)x2 –– 3x + m + 2 = 0
11.
B) (–– ', 0)
C) (––4, 0)
E) (0, ')
denkleminin ters iԭaretli iki reel kökünün olmas
f(x) = x2 + 9x ve g(x) = ––3x + 6
15.
için m hangi aralkta deԫer almaldr?
olmak üzere, (fog)(x) < 0
A) (–– ', ––2)
B) (–– ', 4)
D) (2, ')
C) (––2, 4)
eԭitsizliԫinin çözüm
kümesi aԭaԫdakilerden hangisidir?
E) (4, ')
A) (2, 5)
B) (0, 2)
D) (–– ', 2)
C) (0, 5)
E) (5, ')
x2 + (k + 1)x + 4 = 0
12.
denkleminin farkl iki reel kökünün olmas için k
2x + a
•0
bx + 3
16.
hangi aralkta deԫer almaldr?
eԭitsizliԫinin çözüm aralԫ
A) (–– ', 5)
B) (––5, 3)
C) (––3, 5)
D) (–– ', ––3) F (5, ')
2.E
182
3.C
4.A
A) 0
5.C
6.A
olduԫuna
D) 3
E) 4
göre, a + b kaçtr?
E) (–– ', ––5) F (3, ')
1.D
[––2, 1)
7.B
8.E
9.E
10.D
B) 1
11.C
C) 2
12.E
13.E
14.A
15.A
16.B
ԨKԨNCԨ DERECEDEN FONKSԨYONLAR
a, b, c D R ve a  0 olmak üzere
f: R A R , f(x) = ax2 + bx + c
biçiminde tanmlanan f fonksiyonlarna ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonlarn
grafiklerine ise parabol ad verilir.
y = f(x) = ax2 Fonksiyonunun Grafiԫi
a < 0 ise deԫiԭim tablosu;
a > 0 ise deԫiԭim tablosu;
%
+ ,'
+$
+*
!
*
$
/'
",#,.%$
/'
0.
.
!
.
0.
/'
%
+,'
+$
+*
!
*
$
/'
",#,.%$ +,'
0.
.
!
.
0.
+ ,'
ԭeklinde olup ™x D R için y = ax2 • 0 dr.
ԭeklinde olup ™x D R için y = ax2 ” 0 dr.
Parabolün kollar yukar doԫru olup, tepe noktas da
Parabolün kollar aԭaԫ doԫru olup, tepe noktas da
O(0, 0) dr.
O(0, 0) dr.
"
"
",#,.,%$
&,.,1,!,)
0.
+$ +*
!
*
$
%
.
.
+$ +*
!
*
$
%
ÖRNEK 89
f(x) = 2x2 fonksiyonun grafiklerini çiziniz.
Çözüm
0.
",#,.,%$
&,.,2,!)
ÖRNEK 90
f(x) = ––3x2 fonksiyonun grafiklerini çiziniz.
Çözüm
183
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 91
"
ÖRNEK 92
"
",#,8%$
Yanda verilen para-
"# * %$
-
6
",#,7%$
",#,.%$
bol grafiklerine göre
5
a, b ve c yi sralaynz.
4
3
4
%
%
Çözüm
1 2
x parabolünün grafiԫi verilmiԭtir.
3
OABC bir kare ise A(OABC) kaç br2 dir?
Ԭekilde y =
Çözüm
y = ax2 + c Fonksiyonunu Grafiԫi
y = ax2 fonksiyonunun grafiԫini y ekseni üzerinde c kadar kaydrrsak y = ax2 + c fonksiyonunun grafiԫini elde
ederiz. O halde, y = ax2 + c fonksiyonunun grafiԫinin tepe noktas T(0, c) dir.
"
"#.% $ /7
"#.% $
7
%
!
ÖRNEK 93
ÖRNEK 94
y = 2x2 + 1 fonksiyonunun grafiԫini çiziniz.
y = ––x2 + 4 fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
Çözüm
Çözüm
184
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
y = f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiԫi
f: R A R, y = f(x) = ax2 + bx + c
fonksiyonunun grafiԫini (parabol) çizebilmek için aԭaԫdaki iԭlemler yaplmaldr.
®
Parabolün kollarnn yönü tesbit edilir.
a > 0 ise kollar yukar doԫrudur.
a < 0 ise kollar aԭaԫ doԫrudur.
®
Parabolün tepe noktas bulunur.
y = ax2 + bx + c parabolünün tepe noktas T(r, k) olmak üzere,
r = ––
®
4ac –– b 2
b
ve k = f(r) =
dr.
4a
2a
Parabolün eksenleri kestiԫi noktalar bulunur.
x = 0 ‰ f(0) = c olup parabol y eksenini (0, c) noktasnda keser.
y = 0 ‰ ax2 + bx + c = 0 olur. Burada,
6 < 0 ise parabol x eksenini kesmez.
6 = 0 ise parabol x eksenine teԫettir.
6 > 0 ise parabol x eksenini farkl iki noktada keser.
Bulunan bu noktalar birleԭtirilirse parabol çizilmiԭ olur.
Parabolün en büyük ya da en küçük deԫerini aldԫ noktaya parabolün tepe noktas denir ve
T(r, k) ile gösterilir.
"
"
9
%
%
9
a < 0 iken kollar aԭaԫ doԫru olur.
a > 0 iken kollar yukar doԫru olur.
x = r için k = f(r) parabolün en büyük deԫeridir.
x = r için k = f(r) parabolün en küçük deԫeridir.
® Parabol
x = r yani x = ––
b
doԫrusuna göre simetriktir. Yani, x = r doԫrusu parabolün simetri eksenidir.
2a
185
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 95
ÖRNEK 96
f(x) = x2 –– 2x –– 3
f(x) = ––x2 + 4x –– 4
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
ÖRNEK 97
f(x) = 2x2 –– 3x + m –– 1
fonksiyonunun grafiԫi x eksenine teԫet ise m kaçtr?
Çözüm
186
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 98
ÖRNEK 100
f(x) = x2 –– 2x + 3
f(x) = ––x2 + 2x + m –– 4
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
parabolünün alabildiԫi en büyük deԫer
4
ise
m
kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 101
ESEN YAYINLARI
"
%
!
3&+$',+$)
5&0',+$)
B&%)
Grafiԫi verilen f(x) parabolü A(––2, ––2) ve B(4, ––2)
noktalarndan geçtiԫine göre, x eksenini kestiԫi noktalarn apsisleri toplam kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 99
f(x) = 3x2 –– (2m + 1)x + 2
parabolünün simetri ekseni x = ––2 doԫrusu olduԫuna
göre, m kaçtr?
Çözüm
187
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
y = a(x –– r)2 + k Fonksiyonunun Grafiԫi
y = a(x –– r)2 + k fonksiyonunun tepe noktas T(r, k) olup grafiԫi aԭaԫdaki gibidir.
"
"#.&%+?) $ /@
.1!
@
!
%
?
Yukardaki grafik a > 0 durumu için çizilmiԭtir. a < 0 iken tepe noktas yine T(r, k) dr.
Ayrca x = 0 için y, y = 0 için x deԫerleri bulunarak (varsa) eksenleri kesen noktalar da iԭaretlenir.
ÖRNEK 102
ÖRNEK 103
y = –– (x + 1)2 + 4
y = 2(x –– 1)2 + 2
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
188
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Grafiԫi Verilen Bir Parabolün Denklemini Bulma
1.
ÖRNEK 105
"
"
Yanda grafiԫi verilen parabolün denklemini bu-
7
lunuz.
%*
!
%
%$
$
%
!
9&-'+*)
Eksenleri kestiԫi noktalar verilen parabolün
denklemini bulmak için,
Çözüm
f(x) = a.(x –– x1)(x –– x2) yazlr. (0, c) noktas
bu denklemde saԫlatlarak a kat says da bulunur.
"
2.
9&?'@)
7
%
!
parabolün denklemi, y = a.(x –– r)2 + k ԭeklindedir.
Verilen (0, c) noktas da saԫlatlarak a kat says
bulunur.
ESEN YAYINLARI
Tepe noktas ile herhangi bir noktas verilen
ÖRNEK 106
Yanda grafiԫi verilen pa-
ÖRNEK 104
Yanda grafiԫi verilen pa-
"
lunuz.
rabolün denklemini bulunuz.
*
$
%
!
+0
+*
!
"
rabolün denklemini bu-
-
%
Çözüm
Çözüm
189
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
BԨR PARABOL ԨLE BԨR DOԪRUNUN DURUMU
y = ax2 + bx + c parabolü ile y = mx + n doԫrusunun denklemleri ortak çözülürse,
y = ax 2 + bx + c
4 ‰ ax2 + bx + c = mx + n ‰ ax2 + (b –– m)x + c –– n = 0 olur.
y = mx + n
Bu denklemde;
¨ > 0 ise
¨ = 0 ise
¨ < 0 ise
doԫru, parabolü farkl iki
doԫru, parabole teԫettir.
doԫru ile parabolün ortak noktas
noktada keser.
yoktur. Yani kesiԭmezler.
ÖRNEK 107
ÖRNEK 108
2
y = x2 –– 2x + m + 1
f(x) = x –– x + 1
parabolü ile y = 2x –– 1 doԫrusunun birbirlerine göre
parabolü ile y = x + 1 doԫrusunun birbirine teԫet
durumlarn inceleyiniz ve varsa kesim noktalarn
olmas için m kaç olmaldr?
bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
190
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 110
ÖRNEK 109
y = x2 –– 2x + 3
parabolünün y =
y = x2 –– 2x + 2
1
x –– 1 doԫrusuna en yakn nokta2
parabolü ile y = x + 3 doԫrusunun kesim noktalar A
ve B dir. [AB] nn orta noktasn bulunuz.
snn koordinatlar nedir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
191
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
Ԩki Bilinmeyenli Eԭitsizliklerin Grafikle Çözümü
Bir eԭitsizliԫi saԫlayan bütün noktalarn koordinat düzleminde iԭaretlenmesiyle oluԭan ԭekil, bu eԭitsizliԫin
grafiԫidir.
y < mx + n ve y > mx + n eԭitsizlikleri,
y = mx + n doԫrusunun düzlemde ayrdԫ farkl iki yar düzlemi gösterir.
Eԭitsizliklerin çözüm kümesini analitik düzlemde göstermek için önce y = mx + n doԫrusu çizilir.
Bu doԫru üzerinde olmayan herhangi bir nokta seçilir. Seçilen bu nokta eԭitsizliԫi saԫlyorsa noktann bulunduԫu yar düzlem, saԫlamyorsa diԫer yar düzlem eԭitsizliԫin çözüm kümesi olarak taranr.
y ” mx + n veya y • ax + b eԭitsizliklerin grafiԫi çizilirken y = ax + b doԫrusu da çözüme dahil edilir.
y > ax2 + bx + c
ve y < ax2 + bx + c eԭitsizliklerinin grafikleri çizilirken de y = ax2 + bx + c parabolü çizilerek
yukardaki yöntem uygulanr.
ÖRNEK 111
ÖRNEK 112
y•x+4
y > 4 –– x2
eԭitsizliԫini saԫlayan (x, y) noktalarnn kümesini ana-
eԭitsizliԫinin grafiԫini çiziniz.
litik düzlemde gösteriniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
192
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
ÖRNEK 113
ÖRNEK 114
y • x2 –– 2x
y ” x2 –– 4
y < x –– 1
y > ––x2 + 2x
eԭitsizlik sistemini saԫlayan noktalar analitik düzlem-
eԭitsizlik sistemini saԫlayan noktalar analitik düzlem-
de gösteriniz.
de gösteriniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ETKԨNLԨK
Bir tanktan frlatlan topun t. saniyedeki yüksekliԫi (metre cinsinden) f(t) = ––t2 + 16t –– 23 fonksiyonu ile modellenmiԭtir. Buna göre bu cismin yerden yüksekliԫi kaçnc saniyelerde 5 metre olur?
Çözüm
193
ALIŞTIRMALAR – 4
g. y = x2 –– 2x + 1
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn grafiklerini çiziniz.
a. y =
x2
2
h. y = x2 –– 2x + 4
b. y = ––2x2 + 2
c. y = 3x2 –– 3
.
y = 2(x –– 1)2 + 4
j.
y = ––3(x + 1)2 –– 3
ESEN YAYINLARI
1.
d. y = x2 –– 4x + 3
e. y = x2 –– 2x
f.
y = 3x –– x2
194
k. y = ––2(x –– 1)2
l.
y = (x + 3)2
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
f.
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn simetri eksenlerini ve
y = ––x2 + x
varsa en büyük ya da en küçük deԫerlerini bulunuz.
a. y = 2x2
g. y = ––3(x –– 2)2 + 1
b. y = ––4x2 + 1
h. y = 2(x + 1)2 –– 4
c. y = x2 –– 4x + 1
ESEN YAYINLARI
2.
3.
Aԭaԫdaki ifadeler doԫru ise boԭ kutulara ““D””
yanlԭ ise ““Y”” yaznz.
y = ax2
parabolünde
|a|
büyüdükçe
parabolün kollar y eksenine yaklaԭr.
d. y = ––x2 + 4x –– 2
y = ax2 + c parabolünün simetri ekseni
x = 0 doԫrusudur.
y = ax2 + bx + c fonksiyonunda a > 0
ise y nin en büyük deԫeri vardr.
™x D R için ax2 + bx + c > 0 ise
e. y = 2x2 –– 4x
a > 0 ve ¨ > 0 dr.
195
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
y = (m –– 1)x2 –– mx + 2
4.
b.
"
parabolünün simetri ekseni x + 1 = 0 doԫrusu
$
ise m kaçtr?
+*
0
!
%
f(x) = x2 –– 2mx + m + 3
5.
fonksiyonunun en küçük deԫeri 2 ise m nin
alabileceԫi deԫerler toplam kaçtr?
c.
"
$
fonksiyonunun en büyük deԫeri 2 ise m kaçtr?
7.
0
+* !
ESEN YAYINLARI
y = ––2x2 + 2x + m + 2
6.
%
Aԭaԫda grafikleri verilen parabollerin denklemlerini bulunuz.
a.
d.
"
"
$
$
!
196
*
-
9&*'*)
%
!
%
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
e.
10. Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin grafiklerini çiziniz.
"
a. y > x2 –– 1
0
%
$
!
F 3&E'+$)
b. y ” 2 –– x2
f.
"
*
!
0
%
ESEN YAYINLARI
c. y • 2(x –– 1)2 + 1
y = x2 –– 2x + 4
8.
parabolü ile y = x + 2 doԫrusunun varsa kesim
d. y ” x2 –– 2x
noktalarn bulunuz.
y = 2x2 –– 2x + m –– 1
9.
parabolü y = x –– 1 doԫrusuna teԫet ise m kaç-
e. y • ––x2 + 4
tr?
197
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
y = x2 –– x + m –– 1
11.
parabolü ile
c. y < x2 –– x
y = 2x –– m doԫrusu iki noktada
y•x
kesiԭiyorsa m nin deԫer aralԫ nedir?
y = x2 –– x + 3
12.
parabolünün y = x + 1 doԫrusuna en yakn noktasn bulunuz.
d. y > x2 –– 1
y = x2 –– 2x + 2
13.
parabolü ile y = x + 5 doԫrusunun kesim noktalar A ve B dir.
[AB] nin orta noktasn bulunuz.
ESEN YAYINLARI
y ” ––x2 + 2
e. ––x2 < |y| ” x2
14. Aԭaԫdaki eԭitsizlik sistemlerinin grafiklerini çiziniz.
a. y ” x + 1
y • x2 –– 1
b. y ” 1 –– x2
y > x2
198
f. ––1 ” y ” 1
y ” ––x2 + 2
TEST – 12
1.
y = 2mx2 –– mx + 2
parabolünün tepe noktasnn y = 1 doԫrusu
üzerinde olmas için m kaç olmaldr?
A) –– 4
2.
B) 2
C) 4
D) 6
5.
E) 8
A) 5
f(x) = x2 –– 4x + p –– 2
fonksiyonunun minimum deԫeri 6 ise, fonksiyonun y eksenini kestiԫi noktann ordinat nedir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
f(x) = x2 –– 6x + m –– 1
fonksiyonunun en küçük deԫeri
nedir?
6.
E) 10
B) 10
C) 12
D) 15
5
ise m
E) 18
y = x2 –– (3m –– 5)x + 2
fonksiyonu en küçük deԫerini x = –– 1 noktasnda almaktadr. Buna göre, fonksiyonun en küçük
deԫeri nedir?
B) –– 1
C) 1
D) 2
E) 3
ESEN YAYINLARI
A) –– 2
3.
f(x) = x2 –– 4mx + n
parabolünün tepe noktasnn (––2, 3) olmas halinde y eksenini hangi noktada keser?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
7.
E) 8
f(x) = a(x –– 2)2 + k
fonksiyonunun en büyük deԫeri ––2 dir. Bu fonksiyonun geçtiԫi noktalardan biri A(1, –– 3) ise f(0)
kaçtr?
A) 0
4.
f(x) = mx2 –– 2x + 3
parabolünün x eksenine göre simetriԫi (1, ––2)
noktasndan geçtiԫine göre, m nedir?
A) 2
B) 1
C) 0
D) ––1
E) ––2
8.
B) ––2
C) ––3
D) ––4
E) ––6
y = x2 –– mx + 2m + 1
parabolleri ile y = mx –– 3 doԫrularnn teԫet olmas için, m nin alabileceԫi deԫerler çarpm kaçtr?
A) 4
B) 2
C) 0
D) ––2
E) ––4
199
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
f(x) = x2 –– 4x + 2
9.
f(x) = mx2 + (2m –– 1)x + m + 3
13.
parabolünün tepe noktasnn koordinatlar aԭaԫ-
fonksiyonu T(2, k) noktasnda en büyük deԫerini
dakilerden hangisidir?
aldԫna göre, m kaçtr?
A) (2, ––2 )
B) (––2, 2)
D) (––2, ––2)
B) 1
5
A) 1
6
C) (2, 2)
C) 1
4
D) 1
3
E) 1
2
E) (2, 0)
"
10. Yandaki ԭekilde veG
rilen parabolün tepe
14. Yandaki ԭekilde verilen
"
y = ax2 + bx + c para-
noktasnn koordinat+*
lar toplam kaçtr?
!
bolünün tepe noktas T
%
G
dir. Buna göre, a, b, c
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
srasyla aԭaԫda-
E) 12
"
y = ––x2 + bx –– 2 parabolü x eksenini A ve B
!
noktalarnda kesmek-
3
tedir. |AB| = 4 birim
5
%
B) v3
D) v6
"
y = ax2 + bx + 2
parabolüne
C) 2v3
E) ––, +, ––
ԭekilde verilen
pozitif deԫeri kaçtr?
A) 3v2
C) +, ––, +
15. Yandaki
",#,+%$,/,8%,+,$
olduԫuna göre, b nin
B) +, +, ––
D) +, ––, ––
ESEN YAYINLARI
11. Yandaki ԭekilde
grafiԫi verilen
9
kilerden hangisidir?
A) +, +, +
OABC
E) 2v6
%
!
kat saylarnn iԭaretleri
3
5
göre,
G
+*
dikdörtge-
%
2
4
6
C) 8
D) 10
E) 12
ninin alan kaç br
dir?
A) 4
12. Yandaki ԭekilde
"
y = (fog)(x) fonksi-
B) 6
",#,&BHI)&%)
yonunun grafiԫi verilmiԭtir. f(x) = x + 1
*
!
%
olduԫuna göre
A) ––4
1. E
2. E
200
B) ––2
3. D
f(x) = x2 –– 4x + 2m –– 1
16.
g(2) kaçtr?
+*
+$
C) 0
4. B
fonksiyonunun grafiԫi x eksenine teԫet olduԫuna
göre, m kaçtr?
D) 2
5. D
6. C
A) 4
E) 4
7. E
8. E
9. A
10. D
B) 7
2
11. E
C) 3
12. B
13. A
D) 5
2
14. B
E) 2
15. C
16. D
TEST – 16
1.
Ԭekildeki
5.
y
y
2
y = x + x –– 6
parabolünün eksenleri
kestiԫi noktalarn
a
koordinatlarnn toplam
B) ––5
x
––1
C) ––6
D) ––7
x
Ԭekildeki parabolün simetri ekseninin y eksenine
E) ––8
olan uzaklԫ kaç br dir?
A)
2.
3
O
c
olan a + b + c kaçtr?
A) –– 4
b
O
1
3
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
y = x2 + (m –– 2)x –– m –– 4
parabolünün x eksenini kestiԫi noktalardan birinin apsisi 2 ise parabolün y eksenini kestiԫi noktann ordinat kaçtr?
B) ––7
C) ––6
D) ––5
y
E) ––4
B
C
ESEN YAYINLARI
A) ––8
6.
O
A
x
6
Ԭekilde verilen y = f(x) parabolünün
tepe noktas B olmak üzere, OABC karesinin
3.
y = x2 + mx –– m –– 1
alan kaç birimkaredir?
parabolü x eksenine teԫet olduԫuna göre,
m kaçtr?
A) –– 4
4.
B) ––2
A) 6
C) 0
D) 2
7.
parabolünün tepe noktasnn analitik düzlemin
IV. bölgesinde olmas için m aԭaԫdaki aralklarn
hangisinde deԫer almaldr?
B) (––4, 4)
D) (––', ––2)
C) 12
D) 16
E) 36
E) 4
y = x2 + mx + 4
A) (4, ')
B) 9
C) (––', 0)
E) (––', ––4)
y = 2(x –– 1)2 + 3
parabolünün x = 2 doԫrusuna göre simetriԫinin
denklemi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) y = 2x2 –– 6x + 21
B) y = 2x2 –– 6x + 19
C) y = 2x2 –– 12x + 21
D) y = 2x2 –– 12x + 19
E) y = 2x2 –– 16x + 13
207
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
8.
11.
y
y
y=x2+4x
A
y=x2+3x
D
x
O
B
C
x
O
y = –x+1
Ԭekilde verilenlere göre, ABCD karesinin alan
Ԭekildeki taral alan ifade eden eԭitsizlik sistemi
kaç birimkaredir?
B) 12 –– 4 5
5
A) 3 +
D) 24 –– 4 5
aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) 24 –– 8 5
A) y • x2 + 3x
E) 6 + 2 5
B) y < x2 + 3x
y < ––x + 1
y • ––x + 1
C) y < x2 + 3x
D) y > x2 + 3x
y ” ––x + 1
y • ––x + 1
2
9.
E) y > x + 3x
y
y ” ––x + 1
f(x)
A(1,2)
Tepe noktas orijinde olan ԭekildeki f(x) parabolünün üzerindeki A(1, 2) noktasndan çizilen
ESEN YAYINLARI
x
O
12. 3x + y = 5 doԫrusu üzerinde bulunan bir noktann
koordinatlarnn kareleri toplam en az kaç olabilir?
A)
teԫetin denklemi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) y = x + 1
B) y = 2x
D) y = 4x –– 2
5
2
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
9
2
C) y = 3x –– 1
E) y = 5x –– 3
13. y = x2 –– 6x + n –– 1 ve y = ––x2 –– (m –– 1)x + 4
parabollerinin tepe noktalar çakԭk olduԫuna
10.
göre, m + n kaçtr?
y
r
6
A) 14
x
O
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
–r
f(x)=ax2+bx+c
Ԭekilde verilen f(x) = ax2 + bx + c parabolünün
14. y = (x –– 3)2 parabolünün y = ––5x –– 6 doԫrusuna
grafiԫine göre, a + b + c toplam kaçtr?
A) ––
1.D
208
5
3
2.A
B) ––
4
3
3.B
C) ––1
4.E
D) ––
5.C
2
3
E) ––
6.B
en yakn noktasnn ordinat kaçtr?
1
3
A) 4
7.C
8.C
9.D
B)
25
4
10.B
C) 9
11.E
D)
12.A
49
4
13.C
E) 16
14.B
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1985 –– ÖYS
5.
1 1
1
1
+ =
––
a b a+b+x x
a + b  0 koԭulu ile
x3 + ax –– 4 = 0
denkleminin üç kökü de gerçek olduԫuna göre,
denkleminin köklerinin çarpm nedir?
A) ab
1
C)
ab
B) ––ab
1986 –– ÖYS
aԭaԫdakilerden hangisi doԫrudur?
1
a
D) ––
E) ––
ab
b
A) Köklerin üçü de pozitiftir.
B) Köklerin biri pozitif ikisi negatiftir.
2.
C) Köklerin ikisi pozitif biri negatiftir.
1985 –– ÖYS
D) Köklerin üçü de negatiftir.
f(x) = mx2 + (m +1)x + m –– 2 veriliyor. f(x) = 0
E) Köklerden biri sfra eԭittir.
denkleminin kökleri x1, x2 dir. ––1 < x1 < x2 olmas
için, ¨ > 0 koԭuluna ek olarak aԭaԫdakilerden
hangisi de saԫlanmaldr?
m+1
>0
m
A) m.f (–– 1) > –– 1,
B) f (–– 1) > 0,
6.
m+1
>0
m
C) m.f (–– 1) < 0, ––
x2 –– 2x + a = 0
denkleminin kökleri x1, x2 olduԫuna göre, a nn
(m + 1)
> –– 1
m
hangi deԫeri için, x1 + x2 + x1.x2 = 5 olur?
3.
ESEN YAYINLARI
(m + 1)
> –– 1
D) m.f (–– 1) > 0, ––
2m
E) m.f (–– 1) < 0,
1987 –– ÖYS
m+1
> –– 1
2m
A) 1
C) 3
D) 4
E) 5
1986 –– ÖYS
x2 –– (m + 1)x + m = 0
7.
1987 –– ÖYS
Ix2 + 1I ” 3
denkleminin, 0 < x1 < 2 < x2 koԭulunu saԫlayan
kökü olmas için, m hangi aralkta olmaldr?
A) –– ’ < m < ––1
B) ––1 < m < 0
C) 0 < m < 1
D) 1 < m < 2
ün çözüm kümesi, aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) R
B) R –– [––2, 2]
D) R –– [–– v2, v2]
C) [––2, 2]
E) [–– v2, v2]
E) 2 < m < ’
4.
B) 2
1986 –– ÖYS
x3 + ax2 + bx + c = 0
denkleminin kökleri, bir aritmetik dizi oluԭturduԫuna göre, ortanca kökün deԫeri aԭaԫdakilerden
8.
hangisidir?
A)
a+b+c
3
D) –– a
3
1989 –– ÖYS
2x2 –– 5x + p2 + q2 = 0
B)
a+b
2
C) ––
E)
a –– b
2
b
3
denkleminin kökleri, p ve q olduԫuna göre, diskriminant kaçtr?
A) 17
B) 9
C) 1
D) 0
E) ––1
213
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
9.
1989 –– ÖYS
13. 1992 –– ÖYS
Denklemi, y =
x2
"
olan parabol, a nn hangi
a
Q
deԫeri için, denklemi x –– y = 1 olan doԫruya
L
P
O
teԫettir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
!
E) 5
M
%
N
Denklemi, y = cax (a > 0) olan ԭekildeki parabol
yay üzerinde P ve Q noktalar alnarak birbirine
eԭ OHPS ve HKLP kareleri çizilmiԭtir.
Buna göre, |KQ| kaç birimdir?
10. 1990 –– ÖYS
3a 2 –– 3ab + b 2
=7
b2
eԭitliԫini doԫrulayan a nn, b cinsinden deԫerleri
A)
3a
4
2a
3
B)
C) a
D) av2
E) av3
toplam aԭaԫdakilerden hangisidir?
b
3
B)
b
2
C) b
D) 3b
E) 4b
14. 1993 –– ÖYS
x2 + (x1 + 4)x –– 3x2 = 0
ESEN YAYINLARI
A)
denkleminin kökleri, sfrdan farkl olan x1 ve x2
saylardr. Buna göre, büyük kök kaçtr?
A) ––3
B) ––2
C) ––1
D) 0
E) 2
11. 1991 –– ÖYS
(x + t)2 + 2b(x + t) + c = 0 , t D R
denkleminde köklerin gerçek olmamas için, b ile
15. 1993 –– ÖYS
c arasndaki baԫnt ne olmaldr?
A) b2 + c2 > 1
B) b2 + c2 < 1
D) b2 > c
C) b2 < c
"
B&%)
I&%)
E) b2 = c
&G',G)
%
&0',!)
!
Ԭekilde, ekseni y eksenine paralel olan f(x) parabolü ile g(x) doԫrusunun ortak noktalar (5, 5)
ve (0, 0) dr.
12. 1992 –– ÖYS
x2 –– 2x + 4 = 0
Buna göre,
denkleminin kökleri, x1, x2 ise,
(fog) (8)
deԫeri kaçtr?
(fof) (2)
x 1 + x 2 nin pozitif deԫeri kaçtr?
A) v6
214
B) v5
C) v3
D) v2
E) 1
A) 1
B) 2
C) 4
3
D)
5
3
E)
3
4
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
16. 1993 –– ÖYS
20. 1995 –– ÖSS
[––1, 3] kapal aralԫnda tanml, f(x) = 4 –– x2
(x –– 4)2 . (x + 5) . (6 –– x) > 0
fonksiyonunun en küçük deԫeri kaçtr?
eԭitsizliԫini saԫlayan tam saylarn toplam kaçtr?
A) –– 6
B) ––5
C) ––4
D) 2
E) 3
A) 1
B) 0
C) ––1
D) ––2
E) ––3
17. 1993 –– ÖYS
"
M
21. 1995 –– ÖYS
(p + 6)x2 + 17(p + 1)x + 5(p –– 2) = 0
L
Q
denkleminin gerçek kökleri, x1 , x2 dir.
x1 < 0 < x2 , |x1| > x2 olmas için p nin alabileceԫi
%
4
deԫerler, aԭaԫdaki aralklardan hangisidir?
Ԭekildeki parabolün denklemi y = x2 dir.
A) (––6, ––1)
Bir köԭesi O(0, 0) da, P ve Q köԭeleri de parabol
B) (––1, 3)
D) (––1, 2)
üzerinde olan OPHQ karesinin alan kaç birim
C) (0, 3)
E) (–– ’, ––6)
A) v5
B) v3
C) v2
D) 3
E) 2
ESEN YAYINLARI
karedir?
22. 1995 –– ÖYS
y = x2 –– 4x ve y = 3x2 + x
parabollerinin kesim noktalarndan ve (1, 0) noktasndan geçen türdeԭ (ayn türden) parabolün
18. 1993 –– ÖYS
––
denklemi aԭaԫdakilerden hangisidir?
(x + 4) . (x + 5) 2
>0
x
eԭitsizliԫini saԫlayan negatif tam saylardan en
küçüԫü kaçtr?
A) –– 6
A) 13x2 –– 13x –– 7y = 0
B) 13x2 –– 7x –– 3y = 0
C) 7x2 –– 6x –– y = 0
D) 7x2 –– 7y –– 13 = 0
2
E) 6x –– 7x –– y = 0
B) ––5
C) ––3
D) ––2
E) ––1
23. 1996 –– ÖYS
x2 –– 3mx + m –– 3 = 0
1
1
> 4 ol+
x1 x2
duԫuna göre, m nin alabileceԫi deԫerler kümesi
denkleminin kökleri, x1 ve x2 dir.
19. 1994 –– ÖYS
x3 –– 4x2 ––x + 4 = 0
denkleminin kökleri, 1, b, c dir.
2
2
Buna göre, b + c
aԭaԫdakilerden hangisidir?
toplam kaçtr?
A) (–– ’, +’)
A) 17
B) 16
C) 15
D) 14
E) 13
B) (–– ’, 12)
D) (3, 12)
C) R–– {12}
E) (0, 12)
215
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
24. 1996 –– ÖYS
28. 1997 –– ÖYS
9&<
y = ax2 –– 8x + 2a –– 4
"
G
' G)
$
eԫrisi, x eksenine teԫet olduԫuna göre, a aԭaԫ&!',0)
dakilerden hangisi olabilir?
A) ––5
B) ––3
C) ––2
D) 3
E) 6
%
!
Ԭekilde grafiԫi verilen parabolün tepe noktas,
T c ––
5
, 5 m ve y eksenini kestiԫi nokta, A(0, 4)
2
29. 1997 –– ÖYS
tür. Bu parabolün denklemi, y = ax2 + bx + c
"
olduԫuna göre, b kaçtr?
A) ––
5
4
B) ––
4
5
C) ––
3
2
D) 1
2
E) 3
5
!
N
%
O
B&%),#,+%$,/,G%,+,-<,+,*
Yukardaki ԭekilde, denklemi
25. 1997 –– ÖSS
y = ––x2 + 5x –– 3m –– 1 olan fonksiyonun grafiԫi ve-
x 3
–– > 0
2 x
olduԫuna göre, x in alabileceԫi en küçük tam say
deԫeri kaçtr?
A) 4
B) 2
C) ––1
D) ––2
E) ––4
ESEN YAYINLARI
rilmiԭtir. |OL| = 4.|OK| olduԫuna göre m kaçtr?
A) ––2
B) ––1
C) 1
D) 2
E) 3
30. 1998 –– ÖYS
x2 + 2x + a
26. 1997 –– ÖYS
4 katnn 5 fazlas kendisinin karesinden büyük
olan en büyük tam say aԭaԫdakilerden hangisidir?
üç terimlisi x in bütün deԫerleri için 5 ten büyük
olduԫuna göre, a için aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ––’ < a < ––2
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B) ––2 < a < 1
D) 3 < a < 5
C) 1 < a < 3
E) 6 < a < ’
27. 1997 –– ÖYS
31. 1998 –– ÖYS
4x2 –– 5x –– 1 = 0
a  ––1
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre,
olmak üzere, (a + 1)x2 –– 2(a + 7)x + 27 = 0
1
1
toplam kaçtr?
+
2 –– x 1 2 –– x 2
denkleminin kökleri eԭit olduԫuna göre, a
alabileceԫi deԫerler toplam kaçtr?
A) 1
216
B) 2
C) 9
4
D)
11
5
E)
13
5
A) 15
B) 13
C) 11
D) 10
E) 9
nn
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
32. 1998 –– ÖYS
35. 2006 –– ÖSS
"
"
B&%)
3
5&0',!)
%
-
!
6&!',+,0)
Ԭekilde verilen parabolün denklemi
%
*
f(x) fonksiyonunun grafiԫi, ԭekildeki gibi Ox ek-
2
y = x + bx + c olduԫuna göre, A(x, 0) noktas-
senine (1, 0) noktasnda teԫet olan ve (0, 3)
nn apsisi ( x ) kaçtr?
noktasndan geçen paraboldür. Buna göre, f(3)
kaçtr?
A) ––1
B) ––2
1
C) ––
2
3
D) ––
2
5
E) ––
2
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 12
36. 2007 –– ÖSS
ESEN YAYINLARI
(x –– 2)(x + 2)(x + 5) = (x –– 1)(x + 1)(x + 4)
33. 1999 –– ÖSS
1 2
1
c x + m –– 6 c x + m + 9 = 0
x
x
denkleminin köklerinden biri x1 dir.
Buna göre, x 21 +
A) 3
B) 5
denklemiyle aԭaԫdaki denklemlerden hangisinin
çözüm kümesi ayndr?
A) x3 + 5x2 + 4x = 0
B) x2 –– 3x –– 16 = 0
2
C) x –– 4x + 24 = 0
D) 3x + 16 = 0
E) 5x –– 4 = 0
1
deԫeri kaçtr?
x 21
C) 7
D) 9
E) 11
37. 2007 –– ÖSS
(x2 –– x –– 2)(x + 5) = 0
denkleminin köklerinin toplam kaçtr?
A) 3
34. 1999 –– ÖSS
a pozitif bir gerçek (reel) say olmak üzere, kenarlar a cm ve (8 –– 2a) cm olan dikdörtgenin
alan en çok kaç cm2 olur?
A) 64
B) 32
C) 24
D) 16
E) 8
B) 1
C) ––2
D) –– 4
E) ––6
38. 2008 –– ÖSS
x2 –– ax + 16 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
1
+ x 2 = 5 olduԫuna göre, a kaçtr?
x1
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 17
217
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
39. 2009 –– ÖSS
2
3
1 + –– 2 = 0
x x
43. 2011 –– LYS
x (3 –– x) > 0
(2x + 1) (x –– 2) < 0
denklemini saԫlayan x gerçel saylarnn toplam
4
Yukarda verilen eԭitsizlik sisteminin çözüm kü-
kaçtr?
mesi (a, b) açk aralԫ olduԫuna göre, a –– b
A) ––2
B) ––1
C) 0
D) 1
E) 2
fark kaçtr?
A) ––2
B) 0
C) 1
D)
1
2
E)
3
2
40. 2009 –– ÖSS
x2 –– 2x –– 4 = 0
44. 2011 –– LYS
denkleminin kökleri m1 ve m2 dir.
22x –– 2.2x –– 8 = 0
Buna göre, aԭaԫdaki denklemlerden hangisinin
kökleri
oludԫuna göre, x aԭaԫdakilerden hangisidir?
1
1
dir?
ve
m1
m2
A) 2x2 –– x + 4 = 0
B) 2x2 + x + 1 = 0
C) 4x2 + 2x –– 1 = 0
D) 4x2 + 3x –– 4 = 0
A) 2
B) 1
D) ln4
C) ln2
E) 2ln4
2
ESEN YAYINLARI
E) 8x –– 3x + 4 = 0
45. 2011 –– LYS
41. 2010 –– LYS
f(x) = x2 –– 2x + 3
(2x –– 1)(4x2 –– 1) < 0
eԭitsizliԫinin gerçel saylardaki çözüm kümesi
aԭaԫdaki açk aralklarn hangisidir?
A) c –– 3,
––1
m
2
B) c
1 1
D) c , m
4 2
––1
, 0m
2
C) c
––1 1
, m
2 2
f(x) = mx –– 1 +
fonksiyonu veriliyor.
218
ifadesinin deԫeri kaçtr?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
y = x2
1
x
parabolü ile y = 2 –– x doԫrusu arasnda kalan
saԫlayan en küçük m deԫeri kaçtr?
B)
nunun grafiԫi elde ediliyor. Buna göre, |a| + |b|
A) 4
1
E) c , 3 m
2
Buna göre, her x > 0 için f(x) • 0 özelliԫini
1
2
aԭaԫ ötelenerek g(x) = x2 –– 8x + 14 fonksiyo-
46. 2011 –– LYS
42. 2010 –– LYS
A)
fonksiyonunun grafiԫi a birim saԫa ve b birim
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
snrl bölgenin snrlar üzerindeki (x, y) noktalar için x2 + y2 ifadesinin alabileceԫi en büyük
deԫer kaçtr?
A) 25
B) 20
C) 17
D) 13
E) 10
Ԩkinci Dereceden Denklemler, Eԭitsizlikler ve Fonksiyonlar
47. 2012 –– LYS
48. 2012 –– LYS
2
y = x2 –– 2(a + 1)x + a2 –– 1
P(x) = x –– 2x + m
Q(x) = x2 + 3x + n
parabolü y = 1 doԫrusuna teԫet olduԫuna göre,
polinomlar veriliyor.
a kaçtr?
Bu iki polinom ortak bir köke sahip ve P(x) poli-
A) ––
nomunun kökleri eԭit olduԫuna göre, m + n top-
3
2
B) ––
3
4
C) 0
D) 1
E) 2
lam kaçtr?
B) ––3
C) 2
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
A) ––5
219
Download

Formlar - Bilkent Üniversitesi Kariyer Merkezi