XIV BEOGRADSKA GIMNAZIJA
ZADACI IZ MATEMATIKE
ZA MATURSKI ISPIT
1
I
1.
2.
3.
4.
5.
RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI I POLINOMI
 a  b 2
  a b  a3  b3

Uprostiti izraz 
.
 3      :
ab
ab

 b a
 2
2x
x 2  xy  y 2 
4y2

Uprostiti izraz 
 3

:
3
 x 2  2 xy  y 2 .
x y
x y x  y

1
1
1
1
Uprostiti izraz
.



1
1
1
1
a
b
b
a
1
1
a
b
b
a
a
b
1
1
1
Uprostiti izraz

:
1
1
babc  a  c 
a
a
1
b
b
c

 p2  q2
3
1
1
1
Izračunati 
 3
:

 1 :  p 2  p  ako je p  i q  7 .
3
2
2 
2
2
 p  q p  q p  pq  q  2 p
8  a 2  4   1 1 
 :    za aR\-2,0,2.
6. Uprostiti izraz 1  2
1 
4a   a 2 
a  4 
  a  1  2
  a 12
  a 3  1 2a
7. Uprostiti izraz
, a1.
 3 :  
 3  : 3

 


  a  1
 a  1 a  1
  a  1 
 

2
 a 4  a 2  2a  1
a 2  1  a 2  a 2  2a

8. Uprostiti izraz

:
4
3
2
 a2 1 2  a2
 a3 1
a

2
a

a

1


2
a3
a 5
2a 3  5a 2  a  1


9. Ako je a1/2 uprostiti izraz
.
2a  1 4a 2  4a  1 8a 3  12a 2  6a  1
 x2  y2
  1
1  x3  y3 
.
10. Za xy0 i xy uprostiti izraz 
 y  :   2  2   2
2 
x
x
y
x

y



 


11. Skratiti razlomak
12. Skratiti razlomak



a 2  2ab  b 2  4
a 2  4a  b 2  4
a 2 bc  b 3 c  2b 2 c 2  bc 3

4a 2 b 2  a 2  b 2  c 2



2
 
 
a3  b3  a b 2  c 2  b a 2  c 2
13. Skratiti razlomak 3
a  b3  a b 2  c 2  b a 2  c 2
14. Skratiti razlomak
x x  3  x2  9
2 x 3  3x 2  9 x
x2 1 x 1
15. Skratiti razlomak
.
x x  2
.
1 x2  x4
16. Skratiti razlomak
1 x  x2
2


17. Odrediti realne brojeve l, m, n i p da se razlomak
x 4  lx 3  mx 2  nx  p
posle skraćivanja
x 3  3x 2  x  5
x 2  4x  5
x 1
2


a  b   b a  a 3  b 3
3
6

   :
18. Izračunati vrednost izraza  3 
za a 
ib

10
5
ab   a b 
ab

 a2  b2
  a2  b2

19. Ako je a=30 i b=6 izračunati vrednost izraza 
 2  : 
 2 
 ab
  ab

svede na razlomak
20. Dokazati da vrednost izraza
21. Dokazati identitet
a  12  b  12  c  12
a  ba  c  b  a b  c  c  a c  b
a  14  a  1

a 4  a 2  2a  2
22. Rastaviti na činioce
d) m2+2mn+n2-x2+2xy-y2

2

24. Rastaviti na činioce
a2
4
a) a2+2ab+b2-c2
23. Rastaviti na činioce a) 7x3+2x2-63x-18
a)5xn+2-20xn
ne zavisi od a, b, c
b) x2-1-2x-y2
b) p3x2-q3x2-p3+q3
c) x2-y2-x+y
c) a6-1
d) x3y3-x3-y3+1
b) 4a3n-100an
25. Rastaviti na činioce b(b+3)(b-4)-(2b-7)(b+3)+b2-9
26. Rastaviti na činioce a) x4+4 b) 1+x2+x4
c) x5+x+1
27. Rastaviti na činioce a) (x2+5x)(x2+5x+10)+24
d) x12-x8+x4-1
b) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15
28. Dokazati identitet (a-b)3+(b-c)3+(c-a)3=3(a-b)(b-c)(c-a)
29. Dokazati da je polinom P(x)=x12-x9+x4-x+1 pozitivan za svako x
30. Ako je x+y+z=0 i x2+y2+z2=1 izračunati x4+y4+z4
31. Rastaviti na činioce x5-3x4-5x3+15x2+4x-12.
32. Rastaviti na činioce x5+3x4-11x3-27x2+10x+24.
33. Rastaviti na činioce x5-x4-13x3+13x2+36x-36
34. Odrediti realne parametre m i n tako da polinom P(x)=6x5+mx4+27x3+nx2-5x+6 bude deljiv sa
F(x)=3x2-5x+6.
35. Odrediti realan parametar m tako da polinom P(x)=x5+mx3+3x2-2x+8 bude deljiv sa x+2.
36. Odrediti realne parametre p i q tako da polinom P(x)=x5-3x4+px3+qx2-5x-5 bude deljiv sa x2-1.
37. Za koje je vrednosti realnih parametara a,b i c polinom P(x)=x3+ax2+bx+c deljiv binomima
x-1 , x+2 i x-3?
3
38. Za koje je vrednosti realnih parametara a,b i c polinom P(x)=3x4-5x3+ax2+bx+c deljiv
binomima x-1 , x+1 i x-2?
39. Odrediti realane parametare a i b tako da polinom P(x)=ax3-bx2-5x+4 pri deljenju sa x+1 daje
ostatak 6, a pri deljenju sa x-1 daje ostatak 2.
40. Odrediti realane parametare a , b i c tako da polinom P(x)=x4 +x3+ax2+bx+c pri deljenju sa
x-1 , x-2 i x-3 daje redom ostatke 1 , 2 , 3.
41. Za koje je realne vrednosti parametra m polinom P(x)=mx3+11x2+7x+m deljiv sa 2x+3?
42. Polinom P(x)=x2-kx+l , k,lR daje pri delejnju sa x-3 za 6 veći ostatak nego pri deljenju sa
x-1 , a pri deljenju sa x+1 daje dva puta veći ostatak nego pri deljenju sa x-1. Odrediti k i l.
43. Odrediti realne parametre a, b, c tako da polinomi P(x) i Q(x) budu jednaki
a) P(x)=x3-2x2+3 i Q(x)=(x+1)(ax2+bx+c)
b) P(x)=2x3-x2+x+4 i Q(x)=(x+2)(ax2+bx+c)
II
LINEARNE JEDNAČINE NEJEDNAČINE I SISTEMI
LINEARNIH JEDNAČINA
1. Rešiti jednačinu 4x-6-2x-12=0.
2. Rešiti jednačinu x-3+2x+1=7.
3. Rešiti jednačinu 3x-2+x=2.
4. Rešiti jednačinu 2 x  3  x  1  4 x  1
5. U jednačini (k2-1)x+k+1=0 odrediti realan parametar k tako da jednačina nema rešenja.
6. Diskutovati rešenja jednačine a(ax+1)=2(2x-1) u zavisnosti od parametra a.
7. Diskutovati rešenja jednačine a(a-5)x=a2-6x-4 u zavisnosti od parametra a.
3x  10
 2.
8. Rešiti nejednačinu 1 
x7
x3
1
2x
9. Rešiti nejednačinu u skupu prirodnih brojeva 2
.


x  4 x  2 2  x2
10. Rešiti nejednačinu xx-4x<0.
11. Rešiti nejednačinu x+1>2x+2.
x2
 1.
12. Rešiti nejednačinu
x 1
4
x2
1
x  3x  2
2x  1 3 y  2
3x  1 3 y  2
14. Rešiti sistem jednačina

 2

 0.
5
4
5
4
15. Diskutovati rešenja sistema jednačina 3kx-4y=9 i 3x-ky=1 u zavisnosti od parametra k.
13. Rešiti nejednačinu
2
16. Diskutovati rešenja sistema jednačina 4x-my=6+m i mx-y=2m u zavisnosti od parametra m.
17. Rešiti sistem u zavisnosti od prametra a
(a-1)x+(a+1)y=20
4x+5y=a+1
18. Diskutovati rešenja sistema jednačina
x+y+z=6
ax+4y+z=5
6x+(a+2)y+z=13
u zavisnosti od parametra a.
16. Diskutovati rešenja sistema jednačina
ax+y-z=1
x+2y-z=1
x-y-2z=1
u zavisnosti od parametra a.
III
PROCENTNI RAČUN
1. Cena košulje je 64 dinara. Posle poskupljenja od 20 došlo je do pojeftinjenja od 20.
Kolika je nova cena košulje?
2. Preduzeće treba da podeli 1 386 000 dinara na 21 visokokvalifikovanog radnika, 63
kvalifikovanog radnika i 126 nekvalifikovanih radnika po ključu 12:8:5. Odrediti
pojedinačnu dobit svakog radnika iz ove tri kategorije.
3. Koliko časova dnevno treba da rade 16 radnika da bi za 15 dana iskopali 3600 tona uglja,
ako 24 radnika za 12 dana radeći po 7 časova dnevno iskopaju 3780 tona?
4. 15 radnika završe posao za 24 časa. Posle 10 časova rada posao napuste tri radnika. Koliko
još treba da rade preostali radnici da bi završili posao?
5. Jedan posao su odradila 3 radnika i zaradila 246 000 dinara. Prvi radnik je radio 15 dana po
6 časova, drugi 9 dana po 8 časova i treći 12 dana po 7 časova. Koji deo zarade pripada
svakom radniku?
6. Koliko časova dnevno treba da rade četiri traktora da bi za 35 dana poorali 3640ha ako tri
takva traktora radeći dnevno po 14 časova za 25 dana pooru 1820ha?
5
7. Za izradu hleba koriste se dve vrste brašna po ceni od 0,72 i 0,64 dinara po
kilogramu.Koliko treba uzeti od svake vrste da bi se dobila mešavina od 1600 kg po ceni
od 0,70 dinara po kilogramu?
8. Jedan posao su započela 33 radnika i po poanu bi ga završili za 80 dana. MeĎutim posle 16
radnih dana, 9 radnika napusti posao. Za koliko dana je posao završen?
9. Radeći 8 časova dnevno 20 radnika je zaradilo 12 000€ za 15 dana. Koliko časova dnevno
treba da rade 40 radnika da bi za 10 dana zaradili 10 000€?
10. U izvesnu kolicinu 80% alkohola dodato je 12 litara vode i dobijen je 60% alkohol.Kolika
je prvobitna kolicina alkohola?
11. Planirano je da 5 radnika izvrši popis robe za 4 dana radeći po 8 časova dnevno. MeĎutim
drugog dana se razbole 2 radnika i ne doĎu na posao, pa se ostali dogovore da svakog dana
rade po 2 sata duže. Da li je popis završen na vreme?
12. Tri sela su izgradila zajednički most. Troškovi izgradnje od 76 000 dinara podeljeni su
srazmerno broju stanovnika. Koliko je platilo svako selo ako imaju redom 1500, 2400 i
1800 stanovnika?
13. Zbog oštećenog puta vozač je morao da smanji brzinu autobusa za 22 u odnosu na
planiranu. Za koliko procenata vozač mora da poveća brzinu da bi se ponovo kretao
planiranom?
14. Sveže pečurke sadrže 90 vode , a suve 12. Koliko kilograma suvih pečurki se može
dobiti od 22 kilograma svežih?
15. Cena neke robe je najpre povećana za 20, a posle mesec dana je smanjena za 20. Posle
ove promene prvobitna cena se smanjila za 60 dinara. Za koliko dinara bi se smanjila
prvobitna cena ako bi najpre bila smanjena , a potom povećana za 10?
16. Ruda sadrži 40 primesa. Metal dobijen iz te rude sadrži 4 primesa. Koliko se metala
dobija iz 24 tone rude?
17. Ako se stranica jednakostraničnog trougla površine 1cm2 prvo smanji za 20 a zatim
stranice tako dobijenog trougla se povećaju za 20, izračunati površinu nastalog trougla.
18. Cena proizvoda je povećana za 15, a zatim je nova cena povećana za još 8 tako da sada
iznosi 1863 dinara. Kolika je prvobitna cena?
19. Cena hleba povećana je za 150, za koliko procenata treba da se smanji nova cena da bi
bila ista kao i pre poskupljenja?
6
IV
STEPENOVANJE I KORENOVANJE
3
4
 3 y   2x 
1. Uprostiti izraz  2    2 
 4x   3 y 
2. Izračunati vrednost izraza ( 3 +
2
 1 
:  2  , x0 , y0.
 2x y 
2 )3
0
1
2  5 
2
3. Izračunati vrednost izraza
2
2
3 
3
-1
4. Izračunati vrednost izraza 0,5 +0,25-2+0,125-3+0,0625-4
2
5. Uprostiti izraz a a  4 a 3 , za a0.
6. Izračunati vrednost izraza 16 2   16 2  .
2 3
2 3
7. Izračunati vrednost izraza

2  2 3
2  2 3
2 2
2 2
8. Izračunati vrednost izraza 2 3  5  13  48
9. Izračunati vrednost izraza
1 5

1 5
1
2
1
2

1
2
5 5
4

1
2
.
 32
1   32
1 


10. Izračunati vrednost izraza 




3  3  3  3
3  1 
 3 1
1
4
1



 3 

1 1  4
11. Izračunati vrednost izraza   :  8      1
3  25 
  16 



2 1
 2 11  6 2 . Tada je broj M: a) prirodan b) ceo ali nije pozitivan
12. Neka je M 
2 1
c) racionalan ali nije ceo d) iracionalan manji od 8 e) iracionalan veći od 8
13. Izračunati vrednost izraza a)

2
1
 1  3
25     1000 3 b) 320,6-160,75+1,440,5
 27 
15
4
12 


  6  11
6 1
6 2 3 6 

1
2


16. Izračunati vrednost izraza a  1  b  1 ako je a  1  2


17. Izračunati vrednost izraza [f(4)]-1∙[f(16)]-1 ako je f x   x  3
x

14. Izračunati vrednost izraza 

3 1
15. Neka je A  4  2 3 
Tada je broj A: a) prirodan b) ceo ali nije pozitivan
3 1
c) racionalan ali nije ceo d) iracionalan manji od 3 e) iracionalan veći od 3
1
1
7
1

 b  1 2

1
18. Ako je x 
1 a
b
2a x 2  1
2b x 2  1

 izračunati
i

2  b
a 
x  x2 1 x  x2 1
1
2
1
2
3
4
3
4
x 1 x  x
x 1
za x=16

 3
1
x 1
4
4
xx
x 1
19. Izračunati vrednost izraza
 m x n x  mx nx 

20. Izračunati vrednost izraza 

m

x
n

x

m

x
n

x


22. Ako je
za x  mn
a  a2  b
a  a2  b

, a  0, b  0, b  a 2
2
2
a b 
21. Dokazati Lagranžov identitet
2
2
3
2
3
x  x y  y  x y  a dokazati da važi x  y  a
2
3
4
2
2
2
3
1
23. Ako je x>0 i y>0 uprostiti izraz
x  4 3
2
1
32. Uprostiti izraz
1
2
1 3 2  2 3
2 3 6
1
3
xy
1
a 3 b
1
4
x 1
x 4 y
:
1
2
x  x 1
a  b 1
x 0,5  1
2
 0,5
1, 5
x 1 x
b 1

abc  a  c
x≠1
a  cbc  1
  5 x 5  2  y 1  3 
33. Uprostiti izraz   2    1   : 10 x 2 y 3
  2 y   5x  


34. Uprostiti izraz
35. Uprostiti izraz
1
xy
a x y
yz
a y  z zx a z  x
xx y  y x  y
x y
8
1
x y  x  y
ako je a 
a b  a b
29. Racionalisati imenilac
31. Uprostiti izraz
1

2
3
za x  3  3 2
1
26. Racionalisati imenilac
30. Racionalisati imenilac
3
a  a   b  b 
25. Izračunati vrednost izraza
28. Racionalisati imenilac
x y  x  y
x 2  2x 3  3 4  3
24. Izračunati vrednost izraza
27. Racionalisati imenilac
4
2 3
2 3
b 
3 2
3 2
36. Uprostiti izraz
x  3 x 2 y  3 xy 2  y
3
a  a 2
37. Uprostiti izraz
38. Uprostiti izraz
a  a 1
A
1  a 2

a  a 1

2
 a
  ab 
b  a b   a b
ab 2  a 1b 2
a
i b=10
x 3 y
2
4
1 2
1 3
1
i izračunati njegovu vrednost za a=10-3
-2
39. Ako je A 
 a 1
1
a 2  b 2
b 1  1

  a  b 1  a 2  b 2  dokazati da je
i
B


1
1
1
1
1
1 

a b
a b 
a b
A=B-1
40. Izračunati vrednost izraza [(a+a-1)-(b+b-1)]1/2 za a 
41. Izračunati vrednost izraza
4
23  7  4
2 3
2 3
,b 
3 2
3 2
.
23  7  6 5 2  7  6 5 2  7 .
42. Izračunati vrednost izraza A  x 2  6 x  9  2 x 2  x 2  6 x  9 , za x R
12  6 3  12  6 3
43. Izračunati vrednost izraza
44. Izračunati vrednost izraza
45. Uprostiti izraz a)
4 6
3
7 5 2  3 2 2
a 5  12 a 3  3
8
a9 
12
a
x 2 x 1  3 x 1 x  3 x 1 x x  x 2 x x 1
a b
ab
a 1
a 1
46. Uprostiti izraz a) 1
b) 2
 1

1
1
1
1
b)
3
3
a2  b2
a2  b2
a  a2
x  y 1
x y 
y
y 




47. Uprostiti izraz
x  xy
2 xy  x  xy x  xy 
 x y

 3 xy  : 3 x  3 y
48. Uprostiti izraz  3
 x 3 y



 1
1
2 a  10
:


49. Uprostiti izraz 
 a 1
a

1
a

1
a

1


a 3  a3 1


2
50. Uprostiti izraz
51. Uprostiti izraz
 x y
x y 

  x y

 x y
x  y 
2 xy

 a3  b3
2 b
1 



1 
a  b  a  b
ab  2 

9
52. Uprostiti izraz
3 3  2 2 2  3
ax  ax
53. Uprostiti izraz
ax  ax
za x 
2  2 3  18  8 2 .
2ab
, gde je a>0, 0<b<1
b2 1
 3
3a  x a 2 x  2a  x  4 
2a  x  2
3
 : 2 x
54. Uprostiti izraz   x
.
 3 x

 x
x
x
a 2
 a  2 a 8
 a  4a  4 a  2
 3a  x
2a  x
ax 
ax
:
55. Pokazati da vrednost izraza 
ne zavisi od a i x


x
1  a  x a 2 x  1  a x  a  x
1 a
56. Dokazati da je
57. Uprostiti izraz
1  ax 1  ax
4a 2 x   1  a  x
a 2x 




 2 x
x
x
 : 1  a 2 x  a  x  1   4
1

a
1

a
a

1

 

a
2 x
1
2
1

 2 x
x
2 x
a
1 a
a  a x
 3 n
3 n
4  3 n   3 n  4 
:

58. Uprostiti izraz 
 n

n
3  2 32 n  4   3n  2 
 6  33
59. Uprostiti izraz
V
2  2 2  2 3  ...  2 n
.
2 1  2 2  2 3  ...  2 n
KOMPLEKSNI BROJEVI
3  i 5  2i

5  2i 3  i
2. Ako realni deo x i imaginarni deo y kompleksnog broja z=x+iy predstavljaju rešenja
z
17
sistema 3 x 1  2 y 
 3 x  2 y 1  4 izračunati z  z  2 .
2
z
3. U skupu kompleksnih brojeva rešiti jednačinu z3-1=0.
1. Naći realni i imaginarnieo broja
4. Ako je z=3+2i izračunati z2-2iz-9-6i
5. Ako je (2+i)(a+ib)=5-5i gde su a i b realni brojevi izračunati a+b
1 i 
6. Odrediti imaginarni deo kompleksnog broja 

1 i 
1 i 
7. Izračunati vrednost izraza 

1 i 
2000
10
3
 1  ix 
8. Naći zbir rešenja jednačine 
  1.
 1  ix 
9. Ako je i imaginarna jedinica izračunati i+i2+i3+...+i2000
4
10. Izračunati vrednost izraza
11. Izračunati
4
1 i  1 i
i
12. Koliko ima kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju jednakost zz+4z+5 z +2i=0?
i 1998  i 1997
13. Izračunati vrednost izraza 1996 1995 .
i
i
738
1  i  i 748
14. Izračunati vrednost izraza
.
i 757
1 i 3
1 i 3
15. Izračunati vrednost izraza z13+z23 ako je z1 
i z2 
2
2
1998
1998
1 i 3 
1 i 3 
 

16. Izračunati vrednost izraza 

 2  .
 2 


17. Koliko ima kompleksnih brojeva za koje važi z  z 2 ?
2z  3
18. Izračunati 6
ako je z=1+i
z 1
(rešenje svesti na algebarski oblik kompleksnog broja z=a+ib).
2  i 1  i  izračunati modul od z.
19. Ako je z 
3i
200
198

1  i  6  2i   1  i  3  i 
20. Izračunati moduo kompleksnog broja z 
.
1  i 194 10  2i   1  i 196 23  7i 
21. Neka su a, b, c kompleksni brojevi modula 1.Dokazati da jeab+bc+ca=a+b+c.
VI
KVADRATNA FUNKCIJA , JEDNAČINA, NEJEDNAČINA
1. Naći sve realna vrednosti parametra r za koje je polinom (r2-1)x2+2(r-1)x+1pozitivan za
svako realno x.
x2
 2.
2. Naći rešenja jednačine 2
x  3x  2
3. Rešiti jednačinu x 2  3  2 5 x  7  3 5  0






4. Rešiti jednačinu 1  2 x 2  2 1  2 x  3 2  1  0
xx  1x  2x  3x  4
5. Odrediti proizvod svih rešenja jednačine
 0.
x2 x2
6. Odrediti zbir celobrojnih rešenja nejednačine x2-4x5.
11
7. Ako su x1=p , p0 i x2=q, q0 rešenja jednačine x2+px+q=0 izračunati zbir p+q.
8. Odrediti parametar pR tako da rešenja kvadratne jednačine x2-(p-2)x+3=0 zadovoljavaju
1
1
uslov

 1.
x1 x 2
9. Odrediti parametar m tako da rešenja jednačine x2-2(m-2)x-(2m-4)=0, po x budu jednaka
10. Odrediti parametar a tako da jednačina 2x2+(a-9)x+a2+3a+4=0 ima realna rešenja
11. Odrediti skup svih vrednosti realnog parametra m za koje je razlika većeg i manjeg rešenja
kvadratne jednačine x2+6x+m=0 veća od 4
12. U jednačini x2+mx+m-1=0 odrediti realna parametar m tako da rešenja jednačine budu
različitog znaka i da se meĎusobno razlikuju za 4
13. Odrediti parametar m tako da rešenja jednačine 4x2=(3-m)(4x-1) budu realna, različita i
x
x
14
zadovoljavaju relaciju 1  2 
x2 x1
3
14. U kom intervalu treba da leži parametar a da bi trinom x2-2ax-6a+12 bio veći od -4 za
svako realno x
15. U zavisnosti od parametra k odrediti prirodu rešenja jednačine (k-2)x2-(k+1)x+4=0
1
1
16. Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja x1 
.
 x2 
2  3i
2  3i
17. Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja x1  3  3i i x2  3  3i
18. Odrediti skup svih realnih vrednosti parametra p tako da rešenja jednačine x2-px+6=0
zadovoljavaju uslov x1-x2=1.
15
19. Odrediti parametar a tako da jedn od korena x 2  x  a  0 bude kvadrat drugog korena.
4
20. Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine 6x2-5x+1=0 ne rešavajući tu jednačinu formirati
x 1
x 1
jednačinu po y čija su rešenja y1  1
 y2  2
x1  1
x2  1
21. Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja četvrti stepeni jednačine x2+px+q=0
22. Rešenja x1 i x2 kvadratne jednačine zadovoljavaju uslove x1+x2-2x1x2=0 i
mx1x2-(x1+x2)=2m-1. Napisati ovu kvadratnu jednačinu i odrediti za koje vrednosti
parametra m ta jednačina ima realna rešenja.
23. Neka su x1 i x2 koreni jednačine x2-(p+1)x+p2=0 odrediti jednačinu az2+bz+c=0 čiji su
x
x
koreni z1  1  z 2  2 , u tako dobijenoj jednačini odrediti parametar p tako da jedan
x2
x1
1
koren te jednačine bude
i za dobijenu vrednost parametra p naći odgovarajuće x1 i x2
4
12
24. Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine 5x2-3x-1=0 ne rešavajući tu jednačinu izračunati
2
1
x
x
x
x
1
vrednost izraza a)
b) 1  1  2  2    
x2 x2  1 x1 x1  1  x1 x2 
2
25. Naći vezu izmeĎu rešenja jednačine 3(m-1)x -4mx-2m+1=0 koja ne zavisi od parametra m
2x13-3x12x2+2x23-3x1x22
26. Naći vezu izmeĎu rešenja jednačine 8x2-4(p-2)x+p(p-4)=0 koja ne zavisi od parametra p
27. U jednačini (k-1)x2+(k-5)x-(k+2)=0 odrediti parametar k tako da važi :
1
1
a)
b) x12+x22<2
c) x12x2+x1x22<2

2
x1 x 2
28. Za koje vrednosti parametra m jednačine 2x2-(3m-2)x+12=0 i 4x2-(9m-2)x+36=0 imaju
zajedničko rešenje
29. Za koje vrednosti parametra m jednačine x2+mx-2m=0 i x2-2mx+m=0 imaju zajedničko
rešenje
30. Odrediti skup svih vrednosti parametra m za koje je funkcija
negativna za svako realno x.
f(x)= -x2+(m+3)x+m-6
31. Odrediti tri broja od kojih je srednji po veličini za 5 veći od najmanjeg i za 5 manji od
najvećeg, ako se zna da je proiyvod najvećeg i najmanjeg jednak 0.
32. Cifra desetica nekog dvocifrenog broja je za 2 veća od cifre jedinica. Ako se taj broj podeli
zbirom njegovih cifara, dobija se količnik za 40 manji od broja napisanog istim ciframa
obrnutim redom i ostatak 4. Koji je to broj?
 4x  2
33. Rešiti nejednačinu 2
 1 u skupu realnih brojeva .
x  3x  4
34. Rešiti nejednačinu x+x-1-42.
x 2  3x  4
0
35. Rešiti nejednačinu
1 x2
 x 2  2x  5
 1
36. Rešiti nejednačinu
2x 2  x  1
2 x 2  mx  4
 4 važi za svako realno x
37. Za koje vrednosti parametra m nejednačina  6 
x2  x 1
x2  x  6
5
38. Odrediti prizvod svih rešenja jednačine 2
 .
x  x  12 7
39. Odrediti parametar a tako da jednačina x 2  2 x  3  a ima maksimalan broj različitih
rešenja.
40. Odrediti zbir svih celobrojnih vrednosti x za koje je tačna nejednakost
41. Rešiti nejednačinu
x 2  5x  4
1
x2  4
42. Rešiti nejednačinu x 2  2 x  3  3x  3
13
x4
 0.
4 x 2  8 x  21
x 2  3x  4
2
x2  x 1
44. Odrediti skup vrednosti parametra a tako da rešenja jednačine x2-ax+a+3=0 budu
negativna.
43. Rešiti nejednačinu
45. Odrediti razliku najveće i najmanje vrednosti funkcije y=x2-4x+7 na segmentu [1,4].
3x 2  17 x  18
46. Odrediti skup rešenja nejednačine
2 .
x 2  5x  4
47. Odrediti parametar a tako da jednačina x2-5x+6=a ima maksimalan broj rešenja.
48. Odrediti interval iz koga je parametar m, ako su oba korena jednačine x2+mx+1=0 iz
intervala (0,2).
49. Odrediti najmanji prirodan broj k takav da nejednakost (k-2)x2+8x+k+4>0 važi za svako x.
50. Data je funkcija y  rx 2  2r  2x  2r  4 odrediti realan parametar r tako da funkcija
bude negativna za svako x


51. Data je funkcija y  r 2  1 x 2  2r  1x  2 odrediti realan parametar r tako da funkcija
bude pozitivna za svako x
52. U jednačini kx2-2(k-2)x+k-3=0 odrediti realan parametar k tako da rešenja jednačine budu
istog znaka
53. ispitati promene znaka rešenja kvadratne jednačine (m-4)x2+2(m-3)x+m+3=0 u zavisnosti
od parametra m
54. Data je jednačina (m-4)x2+(m+2)x-m=0. Za koje vrednosti realnog parametra m su rešenja
jednačine suprotnog znaka?
55. Odrediti skup rešenja nejednačine x2-x-6>4.
56. Neka su  i  rešenja jednačine x2-(m+3)x+m+2=0. Odrediti parametar m tako da važi
-1+-1>2-1 i 2+2<5.
57. Odrediti realan parametar m tako da razlika rešenja jednačine x2+4mx+5m2-6m+5=0 bude
maksimalna.
58. Data su dva trinoma f1(x)=x2-(a+b)x+ab i f2(x)=x2-(a-b)x-ab
a) Dokazati da nijedan od ova dva trinoma ne može imati isti znak za sve realne
vrednosti argumenta x.
b) Odrediti zbir argumenata x za koje ovi trinomi imaju najmanju vrednost i zbir tih
najmanjih vrednosti.
59. dat je skup funkcija f(x)=ax2+6x+c gde su a i c realni brojevi. Iz tog skupa izdvojiti onu
funkciju koja ima nulu x=6 i čiji grafik sadrži tačku M(2,8), zatim skicirati grafik i ispitati
tok te funkcije
14
60. Dat je skup funkcija f(x)=ax2+bx+c. Odrediti koeficijente a, b i c tako da važi f(2)=0, f(3)=7
i f(-2)=8, azatim skocirati grafik i ispitati tok te funkcije.
61. U skupu funkcija f(x)=(m-1)x2+(m-4)│x│-m-1 odrediti parametar m tako da funkcija
dostiže najmanju vrednost za x=1. Za tako odreĎen parametar m skicirati grafik i ispitati tok
funkcije.
62. Iz skupa funkcija y=(p-1)x2+(p+4)│x│+p+3 odrediti onu funkciju koja ima nulu x=5 a
zatim konstruisati grafik i ispitati tok te funkcije.
63. Dat je skup funkcija y=ax2-2x-5. Odrediti parametar a tako da odgovarajuća funkcija
dostiže maksimalnu vrednost y=-2. Za tako odreĎenu funkciju skicirati grafik i ispitati njen
tok
64. Rešiti funkcionalnu jednačinu f(x+2)=x2-2x-2
65. Rešiti funkcionalnu jednačinu f(x-1)=x2+3x+2
66. Duž a podeliti na dve duži tako da zbir kvadrata prve i dvostrukog kvadrata druge duži
bude minimalan
67. Odrediti stranicu najmanjeg kvadrata, koji se može upisati u dati kvadrat stranice a=8cm
68. U trougao osnovice a i visine h upisati pravougaonik maksimalne površine, tako da dva
njegova temena leže na osnovici trougla, a druga dva na ostalim dvema stranicama.
Odrediti stranice i površinu tog pravougaonika.
69. U polukrug prečnika 10cm upisati trapez kome je duža osnovica prečnik, tako da njegov
obim ima maksimalnu vrednost.
VII
JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE I SISTEMI
KVADRATNIH JEDNAČINA
1. Naći zbir rešenja jednačina x4-2x3-x2-2x+1=0 i 12x5-23x4-135x3+135x2+23x-12=0
2. Rešiti jednačinu x4-(9+a2)x2+9a2=0
3. Rešiti jednačinu x6-28x3+27=0
4. Rešiti jednačinu (x2+x+1)(x2+x+2)-12=0
x 2  2x  7
 x 2  2x  4
5. Rešiti jednačinu 2
x  2x  3
6. Rešiti jednačinu (x2-5x+7)2-(x-2)(x-3)=1
7. Rešiti jednačinu 2x5+5x4-13x3-13x2+5x+2=0
15
8. Rešiti jednačinu 15x6-128x5+275x4-275x2+128x-15=0
9. Ako je x2+y2=34 i xy=-15 izračunati x-y.
10. Rešiti sistem jednačina x2+y2-xy+x=5 i x+2y=4
11. Rešiti sistem jednačina (x-y)2+4(x-y)=21 i xy=28
12. Rešiti sistem jednačina x2-3xy+2y2=0 i x2+2xy+y-y2=8
13. Rešiti sistem jednačina 2x2-3xy+y2=12 i x2+3xy-2y2=-13
14. Rešiti sistem jednačina 10x2+5y2-2xy-38x-6y+41=0 i 3x2-2y2+5xy-17x-6y+20=0
15. Rešiti sistem jednačina y2(x2-3)+xy+1=0 i y2(3x-6)+xy+2=0
x
2 y
16. Rešiti sistem jednačina x  y  2  i x  y  1  9
y
3 x
17. Rešiti sistem jednačina y2-│xy│+2=0 i 8-x2=(x+2y)2
18. Rešiti sistem jednačina │xy-2│=6-x2 i 2+3y2=2xy
VIII
IRACIONALNE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
1. Rešiti jednačinu
2. Rešiti jednačinu
3. Rešiti jednačinu
4  2x  x 2  x  2 .
x  2  2x  3  1.
2x  1  x  3  4
4. Rešiti jednačinu
2 x  3  x  1  3x  8 .
5. Rešiti jednačinu
x2  2  x  2  x .
6. Rešiti jednačinu
2 x  2x  1  x  3  0
x  x 2  1  x  x 2  1  2x  1 .
7. Rešiti jednačinu
8. Rešiti jednačinu
9. Rešiti jednačinu
3
x2  3 x  0 .
3
x  1  3 3x  1  3 x  1 .
10. Rešiti jednačinu
11. Rešiti jednačinu
x  3 3 5 x  2 13

 .
5x  2
x3
6
4
x  2  4 x  2.
3
4
12. Rešiti jednačinu
x  3  2 x  2  x  27  10 x  2  4 .
13. Rešiti jednačinu
x  3  2 x  2  x  3  2 x  2  2.
14. Odrediti interval u kome se nalaze rešenja jednačine
15. Odrediti broj rešenja jednačine
x  2  3 x  3
3x  13  x  1  2 x  3
16. Odrediti broj rešenja jednačine 3  x  x  5  1
16
17. Odrediti broj rešenja jednačine
18. Odrediti broj rešenja jednačine
3x  4  x  4  2 x
x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  1.
19. Rešiti jednačinu
20. Rešiti jednačinu
2x  7  2x  1
x 2  10 x  25  x  5
21. Odrediti zbir svih rešenja jednačine
2x 2  x  3  x  1
22. Odrediti zbir svih rešenja jednačine
x 2  4x  4  2x  1
23. Odrediti zbir kvadrata rešenja jednačine x x  x  1  3x
a  x  2a  x 
24. Rešiti jednačinu u zavisnosti od parametra a
x3 x  1
3
x2 1

3
3
x2 1
x 1
 6.
27. Rešiti jednačinu
53 x  53 x  3 x .
28. Rešiti jednačinu
x5 x  5 x x  56 .
29. Rešiti jednačinu
ax
x2  2 x 1  1.
25. Rešiti jednačinu
26. Rešiti jednačinu
a
5
16 x 5 x  1 5

 .
x 1
16 x 2
30. Rešiti nejednačinu .  x 2  x  6  1  x
31. Rešiti nejednačinu
x 2  x  12  x  2 .
32. Rešiti nejednačinu
3x  x 2  4  x .
33. Rešiti nejednačinu
34. Rešiti nejednačinu
35. Rešiti nejednačinu
x 2  3x  10  8  x .
3x  5  x  2  4 x  3 .
36. Rešiti nejednačinu
3x 2  2 x  1  2x  1
x  6  x  1  2x  5 .
37. Odrediti broj celobrojnih rešenja nejednačine
38. Rešiti nejednačinu
3x  1
 1.
x  x2
39. Rešiti nejednačinu
x2 1
 1.
x 2  3x  4
4t 2  4t  1  3t  10  0
2
x 2  16 3

x 1
2
41. Konstruisati grafik funkcije f(x+1) ako je f x   2 x  6  3 6  x  10
40. Rešiti nejednačinu
17
, a>0.
EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA , JEDNAČINE , NEJEDNAČINE
I SISTEMI EKSPONENCIJALNIH JEDNAČINA
IX
x
1. Rešiti jednačinu
 1 5
 
2
4
x

5
 2
3x
5
 4.
1
2. Rešiti jednačinu 16 x  8 x
3.
4.
5.
6.
Rešiti jednačinu
Rešiti jednačinu
Rešiti jednačinu
Rešiti jednačinu
0.5 x  2 2 x1  64  1
2x∙3x+1=18
4x+1+4x=320
2∙3x+1-4∙3x-2=450
2
2
1
7. Rešiti jednačinu 4 x  5  4 x  4  0
8. Rešiti jednačinu 5x-53-x=20
9. Rešiti jednačinu 9x+6x=2∙4x
10. Rešiti jednačinu 4  3
x
x
1
2
3
x
1
2
 2 2 x 1
x
x
11. Rešiti jednačinu  2  3    2  3  =4

 

12. Odrediti interval kome pripada rešenje jednačine 3x+2+9x+1=810
13. Rešiti jednačinu 9x-10∙3x+9=0
14. Rešiti jednačinu 25
x
 124  5
x
 125
2 x 3
1
20
15. Rešiti jednačinu 2 2 x 1  21 
2
16. Izračunati proizvod kvadrata rešenja jednačine 4x-6∙2x+8=0
17. Rešiti jednačinu 3∙16x+2∙81x=5∙36x
18. Rešiti jednačinu 9x-1-36∙3x-3+3=0
19. Rešiti jednačinu 22x+3-3∙10x=2x∙5x+2-20∙52x

20. Izračunati proizvod svih realnih rešenja jednačine 5  2 6
21. Izračunati zbir rešenja jednačine 12∙9x-35∙6x+18∙4x=0
22. Rešiti jednačinu 5x-1+5∙0,2x-2=26
2
1
23. Naći zbir kvadrata rešenja jednačine 2 x 2 x 10 
4
24. Rešiti jednačinu 2
 x 2  2 x 3

x 2 4 x  4

 52 6

x 2 4 x  4
 10
 4 x 2 .
x 17
25. Rešiti jednačinu x 7 32 x 5  0,25  128 x 3 .
26. Odrediti zbir svih vrednosti realnog parametra m za koje jednačina 4x2-4(2m-1)x-3(22m-2m)=0
ima dva relna i jednaka rešenja.
27. Rešiti jednačinu 4 x
x 2 2
 3  2 x1
x 2 2
 10 .
28. Rešiti jednačinu 516x+2625x=7100x .
29. Odrediti zbir kvadrata rešenja jednačine 3 x
2
 2 x 10
18

1
.
9
30. Rešiti nejednačinu 52x+1>5x+4 .
x 2 2 x
 3  x2
31. Rešiti nejednačinu  
1
7
32. Rešiti nejednačinu 2x<7x
33. Rešiti nejednačinu 25x<6∙5x-5
34. Rešiti nejednačinu
35. Rešiti nejednačinu
x  x  1
x  x  1
x 2
2
2
1
x 5
x2


 x2  x 1
3
36. Rešiti nejednačinu x  3
1
1+x
1-x
37. Rešiti nejednačinu 7 +7 <50
2
2
38. Rešiti nejednačinu 41 x  2 2 x  3
2 x 2 7 x
39. Rešiti nejednačinu 2x+2-2x+3-2x+4>5x+1-5x+2.
40. Rešiti sistem jednačina 32x+y-52x-y=172 , 52x+y-42x-y=304.
41. Rešiti nejednačinu 4-x+0,5-72-x-4<0.
x y
3
2
42. Rešiti sistem jednačina
   
2
3
x+2 -x+1
43. Rešiti nejednačinu 2 -2 -2<0.
x y

65
 xy  x  y  118 .
36
44. Rešiti sistem jednačina 2x+2y=12 , x+y=5.
45. Rešiti sistem jednačina 3∙2x-3y=11 i 2x+4∙3y=8
46. Rešiti sistem jednačina 4∙4x=8y i 2∙2y=2x
47. Rešiti nejednačinu 4x+4x+1+4x+2>7x+1-7x-1 .
48. Rešiti sistem jednačina 3x-2y/2=25 , 32x-2y=725 .
49. Rešiti sistem jednačina 3 x  2 x y 1  5  3 x1  2 x y  1
50. Rešiti sistem jednačina 3  2 x y  5  2 x y  172  5  2 x y  4  2 x y  304
X
LOGARITAMSKA FUNKCIJA , JEDNAČINE , NEJEDNAČINE
I SISTEMI LOGARITAMSKIH JEDNAČINA
1
1
 2 2
2


1. Odrediti vrednost izraza  log 1 4   log 2 4 2 .
2


3log5 25
2. Odrediti vrednost izraza 5
 32log3 3  5  2 4log2 5
1


3. Odrediti vrednost izraza log 1  log 2  log 2 8 
2

9


19
4. Odrediti vrednost izraza 4  2 log 2  log 25  9 log3 2
5. Odrediti vrednost izraza 361log6 3  25 log5 6
ab 1
6. Ako je a2+b2=7ab dokazati da je log
 log a  log b 
3
2
7. Ako je log32=a izračunati log218
8. Izračunati log 54 168 ako je log 7 12  a  log12 24  b
9. Izračunati log 35 28 ako je log14 7  a  log14 5  b
10. Izračunati log 30 80 ako je log 30 3  a  log 30 5  b
2x  3
.
x
11. Odrediti oblast definisanosti funkcije f x   log 1
2
12. Odrediti oblast definisanosti funkcije f x   log
x 2  2x  3
x 1
2x  1
x2
-1
14. Izračunati vrednost izraza [(log32) -log20,75+log162]-3/2 .
13. Odrediti oblast definisanosti funkcije f x   log 2
15. Rešiti jednačinu log5(log2(log7x))=0 .
16. Izračunati vrednost izraza (log34+log23)2-(log34-log23)2 .
17. Rešiti jednačinu log3(3-23x+1)=2+2x .
18. Odrediti vrednost izraza 9 log3 2  2 log10 2  log100 25 .
19. IzmeĎu koja dva cela broja se nalazi vrednost izraza
1
1
ako je log 2 log 3 log 2 x   1

x x 1
20. Rešiti nejednačinu logx2>1 .
21. Odrediti proizvod svih rešenja jednačine log10 x3log10 x4=108 .
22. Rešiti jednačinu log 5 x  log 25 x  log 0, 2 3
23. Rešiti jednačinu log x  5  log 2 x  3  1  log 30


24. Rešiti jednačinu log x 2  11x  2  log 1 x  1
10
25. Rešiti jednačinu logx+log(x+3)=log(x-6)
26. Rešiti jednačinu
log x
x  10 x
4
27. Rešiti jednačinu log3(3x-8)=2-x
28. Rešiti jednačinu 15log5 x  x log5 45x  1
20
1
29. Rešiti jednačinu  
 x
 1 
2 

 log x 
2
1
 30 
 x
 1 
 log x 


2
 200  0
30. Rešiti jednačinu log3(log3(2x-5))=0
31. Rešiti jednačinu log4x+log16x+log2x=7


32. Rešiti jednačinu log 2 4 x  16 
33. Odrediti zbir rešenja jednačine
2
 x 1
log 5 4
log 9 3x  10
1
log 3 x
ln
34. Odrediti interval kome pripada rešenje jednačine

3
x 1 1
ln x  40
3
2
35. Naći proizvod kvadrata svih rešenja jednačine 3log3 x  x log3 x  162
36. Izračunati proizvod svih rešenja jednačine 2 log2 x  0,5log2 x  2,5
37. Izračunati zbir rešenja jednačine x1log2 x  4
2
38. Odrediti zbir svih rešenja jednačine log10
x  5 log10 x  6  0 .
2x  1 

39. Rešiti nejednačinu log x  4  log 2
  0.
3 x 
2 
40. Rešiti nejednačinu log2(x2+1)<1
1
41. Neka je 0<a<1 rešiti nejednačinu
1
log a x
42. Rešiti nejednačinu
log
1
log x
2
x
2
 10 x  22  0
43. Rešiti nejednačinu log3(1-x)<log 1 x  2
3
2
44. Rešiti nejednačinu log log2 o,5 x  5x  10 x  22  0 .
45. Rešiti sistem jednačina 3 x 5 y  225  0  log1995x  y  1  0
46. Rešiti sistem jednačina log 2 x  2  log 3  y  1  6  log 4 x  2  log 9
3
2
1
4
y 1
x 1
log y  2 log 2
x 1
log x 2  y 2  1  log 8  logx  y   logx  y   log 3
47. Rešiti sistem jednačina xlogy=log8 i
48. Rešiti sistem jednačina
4


21
XI
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE
 3

1. Izračunati tg ako je tg     .
4 4

a2  4
2. Odrediti ostale trigonometrijske funkcije ugla α ako je ctg  
4a
3. Odrediti parametar R tako da jednačina po x 3sinx+4cosx= ima rešenja u skupu realnih
brojeva.
4. Odrediti broj rešenja jednačine 1-sin2x=cosx-sinx koja pripadaju segmentu [0,2].
sin   cos 
1  2 cos 2 
2
5. Dokazati identitet
.


2
2
sin   cos  cos  tg   1 1  tg
cos x  sin x


 tg   x 
6. Dokazati identitet
cos x  sin x
4



7. Naći sva rešenja jednačine (cosx+sinx)2=cos2x.
1  cos 2 x
8. Proveriti tačnost formula
 1
2 cos x
9. Rešiti jednačinu tgx=2cos
sin 4 x  cos 4 x  1 2
 .
sin 6 x  cos 6 x  1 3
x
.
2
1
 cos 2 x .
cos x  cos x sin 2 x  sin 2 x  tg 2 x
11. Rešiti jednačinu sinxcosx+cosx-sinx=0.
10. Dokazati identitet
12. Rešiti jednačinu
4
2
2 sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2 x  1 .
13. Koji je najveći od brojeva : cos2 , cos4 , cos6 , cos8 , cos10 , cos12?
14. Rešiti sistem jednačina tgx+tgy=m , x+y=n.
15. Koliko rešenja ima jednačina x=4sinx.
1
1
1 
 1
16. Ako je 2 
 221 2 
  1996 i ugao x je u II kvadrantu izračunati
2
2
tg x ctg x
 sin x cos x 
sin2x.
1
17. Izračunati
 2 sin 70 0 .
2 sin 10 0
18. Odrediti broj rešenja jednačine sin2x-cosx+1=0 na segmentu [1996,1997].
19. Rešiti jednačinu 2cos2x+3sinx-3=0.
 tg  ctg  tg  ctg    1
1 
   2 
20. Uprostiti izraz 

.
2
 tg  ctg  tg  ctg    sin  cos  
21. Rešiti jednačinu 3tg2x-8cos2x+1=0.
22
1  2 sin x  cos 2 x
.
1  2 sin x  cos 2 x
23. Rešiti jednačinu sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0.
22. Uprostiti izraz
24. Koliko rešenja ima jednačina 3sinx+4cosx=0 na segmentu [-,].
25. Koliko rešenja ima jednačina sin 2 x  cos x na segmentu [0,3π]
 x
26. Odrediti broj rešenja jednačine 1  cos  x   sin
 0 na segmentu [1997,1998].
2
cos 198 0
1
27. Dokazati ctg 72 0 
.

0
1  cos 108
cos 18 0
1  cos x
1  cos x
2
28. Dokazati
.


1  cos x
1  cos x sin x
4
2 sin   cos 
29. Ako je tg  , onda je
?
3
4 sin   3 cos 
1  cos 2  sin 2
30. Dokazati
 tg .
1  cos 2  sin 2
1
31. Rešiti jednačinu sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x .
4
3
32. Dokazati sin 20 0  sin 40 0  sin 80 0 
.
8
33. Rešiti nejednačinu cos2x>sin2x za x[0,2].
34. Rešiti nejednačinu sinx+sin3x0.
35. Naći uglove trougla čije su stranice a=10 , b=18 i c=9
XII
ANALITIČKA GEOMETRIJA
1. Data je kružnica x2+y2=169. Odrediti dužinu njene tetive čije je središte u tački S(3,4) .
2. Samo jedna od pravih p1:x+y-2=0 , p2:x+y-4=0 , p3:x+2y-3=0 , p4:2x+y-3=0 ,
p5:x+y+1=0 nije ni tangenta ni sečica kružnice (x-1)2+(y-1)2=2. Koja?
3. Odrediti rastojanje presečne tačke pravih 4x-3y=0 i y-x=1 od koordinatnog početka.
4. Odrediti tačku R simetričnu sa tačkom P(-5,13) u odnosu na pravu 2x-3y-3=0 .
5. Odrediti ortogonalnu projekciju tačke A(8,9) na pravu x+2y+5=0
6. Odrediti jednačinu simetrale duži čije su krajnje tačke A(4,1) i B(2,5)
7. Naći ugao pod kojim se elipsa x2+3y2=12 vidi iz tačke P(0,4) .
8. Naći ortogonalnu projekciju tačke T(1,2) na pravu x+y+1=0 .
23
9. Odrediti rastojanje izmeĎu tangenti hiperbole x2-4y2=20 koje su normalne na pravu
4x+3y+8=0 .
10. Odrediti rastojanje tačke M(1,1) od centra kruga x2+y2-4x-4y+4=0 .
11. Odrediti rastojanje centra kružnice x2+y2+2x-6y+6=0 od koordinatnog početka.
12. Ako je dužina tetive kružnice (x-3)2+(y-4)2=r2 na osi Ox jednaka 6, naći dužinu tetive te
kružnice na osi Oy .
13. Prave p i q sadrže tačku T(3.6;4.8), meĎusobno su normalne i sa osom Ox grade trougao
površine 24. Odrediti obim tog trougla.
14. Odrediti parametar p tako da prava y=2x+p u ravni Oxy dodiruje parabolu y=x2-x.
15. Date su tačke A(-6,2) i B(-3,4) i elipsa 4x2+9y2=72. Odrediti tačku C na elipsi tako da
trougao ABC ima najveću površinu.
16. Temena trougla su tačke A(-5,-8) , B(-5,2) i C(3,0).Izračunati jednačine simetrala stranica
trougla i poluprečnik opisanog kruga.
17. Naći presčne tačke parabole y2=4x i kružnice x2-9x+y2+4=0 kao i površinu figure koju te
tačke obrazuju.
18. Naći parametar a tako da prava y=ax+11 dodiruje elipsu 3x2+2y2=11.
19. Odrediti ugao pod kojim se elipsa x2+3y2=12 vidi iz tačke P(0,4)
20. Napisati jednačinu tangenti kružnice (x-2)2+y2=1 koje prolaze kroz koordinatni početak.
21. Napisati jednačinu kružnice čiji je centar presek pravih x+y=3 i 3x-y=5, a koja dodiruje
pravu x-y=2.
22. Odrediti geometrijsko mesto tačaka iz kojih se kružnica x2+y2=r2 vidi pod uglom od 900.
23. Date su tačke A(1,2) , B(2,3) i C(2,5). Napisati jednačinu kružnice kojoj je centar tačka
C, a tangenta je prava odreĎena tačkama A i B.
24. Napisati jednačinu prave kojoj pripada tetiva kružnice x2+y2-4x+2y+1=0, a čije je središte
tačka A(3,0).
25. Odrediti jednačinu elipse koja dodiruje prave x+y-8=0 i x+3y+16=0.
26. Odrediti rastojanje tačke A(2,1) od prave 3x+4y+1=0.
27. Odrediti površinu trougla ako njegove stranice pripadaju pravama x+y-4=0 , x-y+2=0 i
3x-y-8=0.
28. Napisati jednačinu kružnice koja je koncentrična kružnici x2+y2-2x+4y-4=0 i prolazi kroz
tačku M(3,2).
24
29. Ako tačka M(x,y) pripada pravoj 2x+y-6=0 i ako je jednako udaljena od tačaka A(3,5) i
B(2,6) , odrediti proizvod xy.
30. Napisati jednačinu prave koja sadrži presek pravih x-3y+1=0 i 2x+5y+13=0, a
ortogonalna je na pravu 2x-y+3=0.
31. Dva naspramna temena kvadrata su A(-1,3) i C(5,1). Napisati jednačinu prave odreĎene
dijagonalom BD.
32. Date su tačke A(1,1) i B(3,11). Odrediti zbir koordinata tačke S koja deli duž AB u
razmeri AS:SB=3:7.
33. Odrediti najkraće rastojanje tačke M na krugu (x-2)2+(y+3)2=4 od tačke N na krugu
(x+4)2+(y-5)2=9.
34. Prava 2x-3y+4=0 seče parabolu y2=4x u dvema tačkama. Napisati jednačine tangenti
parabole u tim tačkama.
35. Data je parabola y2=2px ikružnica sa centrom u žiži te parabole i poluprečnikom r=2p
1. Naći ugao pod kojim se seku te krive
2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom figure ograničene parabolom i
kružnim lukom koji preseca pozitivan deo x-ose.
33. Prava 3x-5y+25=0 je zajednička tangenta elipse b2x2+a2y2=a2b2 i parabole y2=2px ,
koja sa elipsom ima zajedničku žižu.Dokazati da je trougao čija su temena tačke
dodira i zajednička žiža pravougli.
36. Prava x-2y+8=0 je zajednička tangenta elipse b2x2+a2y2=a2b2 i sa njom konfokalne
parabole . Odrediti jednačine ovih krivih , Jednačinu kružnice koja sadrži obe dodirne
tačke i čije središte pripada datoj tangenti, kao i zapreminu tela koje nastaje rotacijom
oko x-ose figure ograničene elipsom, parabolom i datom tangentom.
37. U tački P(3,y>0) parabole y2=2(x-1) povučena je tangenta na tu parabolu. Izračunati
površinu figure ograničene tom tangentom , parabolom i x-osom , kao i zapreminom
tela koje nastaje rotacijom iste figure oko x-ose.
38. Odrediti ostala temena i površinu trougla ako je dato teme A(4,-1), hc: 2x-3y+12=0 i
tc: 2x+3y=0.
3
36. Kružnica prolazi kroz tačku A(-3,4) i obe žiže hiperbole čije su asimptote y   x i
4
prava 5x-4y=16 je tangenta te hiperbole. Odrediti jednačinu kružnice.
39. Odrediti jednačinu onog prečnika elipse x2+5y2=25 Čija je dužina jednaka
meĎusobnom rastojanju žiža i ugao pod kojim se ta elipsa vidi iz tačke A(0, 30 ).
40. Izračunati površinu površi koja je ograničena elipsom koja sadrži tačke A(4,1) i
B(-2,-2) i hiperbolom xy=4.
25
41. Odrediti koordinate tačke C koja je podjednako udaljena od tačaka A(2,3) i B(5,6), ako je
njeno rastojanje od koordinatnog početka d  5 2 . Na duži AB odrediti tačku D tako da
je AD:DB=2:1, a zatim izračunati površinu trougla CDB
42. Data su dva temena trougla ABC A(-2,-1), B(4,1) i ortocentar H(1,3). Odrediti
koordinate temena C, Zatim dužinu visine iz temena B kao i ugao kod temena A.
43. Na krugu x2+y2-2x-4y=20 naći tačku A najbližu pravoj 3x+4y+34=0 i izračunati
rastojanje tačke A od te prave.
44. Odrediti jednačine tangenti elipse x2+3y2=28 koje sa pravom x-5y-20=0 grade ugao
od 450.
45. Iz tačke A(5,9) konstruisane su tangente na parabolu y2=5x. Odrediti jednačinu prave
odreĎene dodirnim tačkama.
46. Hiperbola b2x2-a2y2=a2b2 sadrži tačku M(2,3), a jedna njena asimptota gradi sa x-osom
ugao od 600. Naći jednačinu te hiperbole.
XIII
PLANAMETRIJA I STEREOMETRIJA
1. Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom u temenu C i neka su njegove katete BC=a
i AC=b. Ako je D presečna tačka simewtrale pravog ugla i hipotenuye AB i D 1 normalna
projekcija tačke D na katetu AC. Izračunati DD1.
2. Težišne duži AD i CE trougla ABC seku se u tački T. Središte duži AE je tačka F. Izračunati
odnos površina truglova TFE i ABC
3. U oštrouglom trouglu su date dve stranice a=15cm i b=13cm i poluprečnik opisane kružnice
R=8,125cm. Izračunati treću stranicu tog trougla.
4. Simetračle dva unutrašnja ugla trougla zaklapaju ugao od 1370. Izračunati treći ugao tog
trougla
5. Izračunati odnos poluprečnika upisane i opisane kružnice trougla čije su stranice a=5cm,
b=8cm i c=11cm
6. Zbir kateta pravouglog trougla je 17, a dužina njegove hipotenuze 13. Kolika je površina tog
trougla.
7. Naći uglove jednakokrakog trougla čija je površina 4 3 , a visina koja odgovara osnovici je
dužine 2.
8. Kvadrat i jednakostraničan trougao imaju jednake obime. Površina trougla je 9 3 .
Izračunati dijagonalu kvadrata.
26
9. Oko kruga poluprečnika 15cm opisan je jednakokraki trapez čija je dužina kraka 17cm.
Izračunati manju osnovicu trapeza.
10. Ako je poluprečnik opisanog kruga pravouglog trougla 5cm, a poluprečnik upisanog 2cm.
Izračunati dužine njegovih kateta.
11. Dat je kvadrat ABCD stranice 8cm. Kružnica sadrži temena A i D i dodiruje stranicu BC.
Izračinati poluprečnik te kružnice.
12. Ako tačka dodira upisanog kruga pravouglog trougla i hipotenuze deli hipotenuzu na odsečke
dužine 5cm i 12cm, izračunati razliku kateta tog trougla.
13. Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela čije se površine odnose kao 7:5. Odrediti odnos
osnovica tog trapeza
14. Površina paralelograma stranica 10cm i 12cm je 60cm2.Izračunati zbir dužina visina tog
paralelograma.
15. oko kružnice poluprečnika 2cm opisan je jednakokraki trapez površine 20cm2. izračunati
dužinu kraka tog trapeza.
16. U datu pravu kupu poluprečnika osnove r i visine H=r 2 upisana je kocka ABCDA1B1C1D1
tako da osnova ABCD pripada osnovi kupe a temena A1 , B1 , C1 i D1 pripadaju omotaču
kupe. Naći odnos zapremina kupe i kocke .
17. U kocku ABCDA1B1C1D1 upisana je četvorostrana piramida ABCDA1. Ako je površina piramide
1cm2, odrediti površin kocke .
18. Jednakostraničan trougao stranice a=2 cm rotira oko prave p koja je normalna na osnovicu AB
trougla i sadrži teme A tog trougla.Odrediti zapreminu nastalog tela .
19. Kanal za vodu dugačak je 5m i može da prihvati 1440l vode . Poprečni presek kanala je
jednakokraki trapez čiji je krak 52cm, a visina 48cm.Koliko vode prihvata kanal do polovine
svoje visine .
20. Na ravan sto su stavljene tri lopte poluprečnika različitih dužina. One dodiruju sto u tačkama
A , B i C i svake dve se meĎusobno dodiruju. Ako su stranice trougla ABC jednake AB=4cm
, BC=6cm i CA=8cm , odrediti proizvod dužina poluprečnika te tri lopte.
21. Odrediti zapreminu paralelepipeda čije su sve strane rombovi stranice a i oštrog ugla 600 .
22. Sfera S1 poluprečnika r1 upisana je u kocku ivice 1 , a sfera S2 poluprečnika r2 opisana je oko
te kocke. Naći zbir r12  r22 .
23. U jednakostraničan trougao stranice a  6 3cm upisan je krug. Ako ova figura rotira oko
visine trougla , naći odnos zapremina rotacionih tela dobijenih rotacijom trougla i kruga .
24. Osnova trostrane piramide je jednakostraničan trougao stranice a, a ortogonalna projekcija
vrha te piramide na ravan osnove je težište tog trougla . Ako bočne strane grade sa ravni
osnove uglove od 600, izračunati površinu piramide .
27
25. Visina i izvodnica prave kupe odnose se kao 4:5 , a njena zapremina je 96cm3. Izračunati
površinu te kupe .
26. Osnovna ivica pravilne četvorostrane piramide je a=18 cm , a bočna ivica je za 3 cm duža od
visine piramide. Izračunati površinu piramide .
27. Osni presek prave kupe je jednakostraničan trougao. Ako se omotač kupe razvije u kružni
isečak , odrediti centralni ugao tog kružnog isečka .
28. Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 6, a bočna ivica zaklapa sa ravni osnove
ugao od 450. Odrediti zapreminu piramide.
29. kada se omotač kupe razvije u ravni, dobije se četvrtina kruga poluprečnika 4 5 . Izračunati
zapreminu kupe.
30. Ako je  ugao diedra pravilnog tetraedra odrediti cos .
31. Izvodnica prave zarubljene kupe je s=5cm, a poluprečnici osnova su r1=5cm i r2=2cm. U
kupu je upisana pravilna zarubljena četvorostrana piramida tako da je donja osnova piramide
upisana u donju osnovu kupe, a gornja osnova piramide u gornju osnovu kupe. Izračunati
zapreminu piramide .
32. Osnova piramide je jednakokraki trapez sa paralelnim stranicama a=5cm i b=3cm i krakom
c=7cm. Podnožje visine piramide je u preseku dijagonala osnove , a veća bočna ivica
piramide je 10cm. Izračunati zapreminu piramide .
33. Dužina visine pravilnog tetraedra je H=2
3 cm. Odrediti dužinu ivice tog tetraedra .
34. Dužina osnovne ivice pravilne četvorostrane piramide je 18 cm, a visina bočnih strana je za 3
cm duža od visine piramide. Izračunati površinu piramide.
35. Odrediti rastojanje temena B od dijagonale AC’ kocke ABCDA’B’C’D’ ivice 1 cm .
36. Poluprečnik osnove prave kupe je r, a dve uzajamno normalne izvodnice dele omotač te kupe
u odnosu 1:2. Naći zapreminu kupe.
37. Površina pravilnog valjka je 8cm2, a visina mu je za 1cm kraća prečnika osnove. Naći
zapreminu valjka .
38. Odrediti zapreminu pravilnog tetraedra upisanog u sferu poluprečnika R.
39. Romb stranice a i oštrog ugla od 600 obrće se redom oko kraće i duže dijagonale. Izračunati
razliku zapremina tako nastalih tela.
40. Bočna ivica pravilne četvorostrane piramide je 3dm i sa ravni osnove gradi ugao od 450. Naći
zapreminu piramide.
41. Odrediti zapreminu pravilne četvorostrane piramide čija je bočna ivica s, a  ugao koji ona
zaklapa sa ravni osnove.
28
42. Kocka ABCDA’B’C’D’ je stranice a. Naći zapreminu piramide čija su temena DCA’D’ .
43. U sferu poluprečnika 6cm upisati pravilnu trostranu priymu najveće zapremine. Izračunati
visinu dobijene prizme
44. U pravilnu trostranu piramidu upisana je pravilna trostrana prizma čija gornja osnova je
paralelni presek piramide, a donja osnova prizme pripada osnovi piramide. Osnovna ivica
piramide je a=8 i visina H=10. Površina omotača prizme je M=45. Odrediti odnos zapremina
prizme i piramide.
45. Dat je pravilan tetraedar ivice a. Ako je r poluprečnik upisane , a R poluprečnik opisane lopte
tog tetraedra odrediti odnose a:r, a:R i r:R.
46. U jednakoivičnu četvorostranu piramidu upisana je kocka tako da se temena gornje osnove
kocke poklapaju sa središtima strana piramide, a donja osnova leži u osnovi piramide. Naći
odnos zapremina ta dva tela
47. U pravilan tetraedar ivice a upisana je pravilna jednakoivična trostrana prizma tako da
temena gornje osnove prizme pripadaju bočnim ivicama tetraedra, a donja osnova prizme
pripada osnovi tetraedra. Izračunati odnos zapremina ta dva tela
48. U jednakoivičnu četvorostranu piramidu ivice a upisana je kocka četvorostrana tako da se
temena gornje osnove kocke nalaze na bočnim ivicama piramide, a donja osnova kocke
pripada osnovi piramide. Izračunati odnos zapremina ta dva tela
49. U pravilan tetraedar ivice a upisana je pravilna trostrana prizma tako da se temena gornje
osnove prizme poklapaju sa centrima strana tetraedra, a donja osnova prizme pripada osnovi
tetraedra. Izračunati odnos zapremina ta dva tela
50. Izračunati površinu i zapreminu tela koje nastaje rotacijom pravougaonika oko njegove
dijagonale ako se zna da su stranice pravougaonika 20cm i 15cm
51. U pravilan tetraedar ivice a je upisan valjak čija gornja osnova dodiruje strane tetraedra u
njihovom centru, a donja osnova pripada donjoj osnovi tetraedra. Odrediti odnos zapremina
ta dva tela
52. Jednakokraki trapez čije su osnove 25cm i 7cm i čija je dijagonala normalna na krak rotira
oko kraka. Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela
53. U kupu poluprečnika r i visine H upisana je kocka.Izračunati odnos zapremina ta dva tela
54. Romb čije su dijagonale 3dm i 4dm rotira oko visine koja prolazi kroz centar romba.
Izračunati površinu i zapreminu nastalog tela
55. Dijagonale jednakokrakog trapeze su normalne na njegove krake. Izračunati površinu i
zapreminu tela koje nastaje rotacijom trapeze oko jednog kraka ako su osnovice tog trapeze
a=3 i b=5.
29
XIV
ARITMETIČKA I GEOMETRIJSKA PROGRESIJA
1. Ako je n-ti član aritmetičke progresije jednak m, a m-ti član jednak n odrediti an-m.
2. Zbir tri broja koji obrazuju rastuću geometrijsku progresiju je 126, ako je srednji član jednak
24 odrediti najmanji član.
3. Treći članovi aritmetičkog i geometrijskog niza su jednaki i iznose 6. Ako su i prvi članovi
ovih nizova jednaki, a zbir prvih 6 članova aritmetičkog niza je 42,75 odrediti šesti član
geometrijskog niza.
4. Dužina dijagonale pravouglog paralelopipeda je 6cm , apovršina 72cm2. Izračunati osnovne
ivice tog paralelopipeda ako se zna da one obrazuju geometrijsku progresiju.
5. Cifre jednog trocifrenog broja obrazuju rastući aritmetički niz. Ako ovaj broj podelimo
zbirom njegovih cifara , dobija se količnik 12 i ostatak 3. Ako se broju doda 594, dobija se
broj napisan istim ciframa obrnutim redom. Odrediti taj broj.
6. Rešiti jednačinu x x x x...  4 .
7. Rešiti jednačinu 5 246...2n  0,04 21 gde je n prirodan broj.
8. Zbir prva četiri člana aritmetičke progresije je za 8 manji od dvostrukog zbira prva tri člana
te progresije. Ako je četvrti član te progresije 19 odrediti njen peti član.
9. Zbir k uzastopnih prirodnih brojeva je 66(prvi može, a i ne mora biti 1). Koliko različitih
vrednost broja k ima?
10. Naći tri broja koja čine aritmetičku progresiju, ako je njihov zbir 18, a proizvod 162.
11. Brojevi a1 , a2 i a3 su tri uzastopna člana geometrijske progresije sa količnikom q=2 , a
brojevi a2 , a3 i a4 su tri uzastopna člana aritmetičke progresije sa razlikom d=6. Naći zbir
a1+a2+a3+a4.
12. Peti član aritmetičke progresije je 16 a jedanaesti je 31. Izračunati zbir prvih 17 članova te
progresije.
1
1
1
13. Da li brojevi
mogu da budu prva tri člana aritmetičke progresije.
,
,
log 3 2 log 6 2 log 12 2
14. Brojevi a1,a2,a3,...,a21 čine aritmetičku progresiju. Poznato je da je zbir članova sa neparnim
indeksima za 15 veći od zbira članov asa parnim indeksima. Ako je a20=3a9 izračunati zbir
cifara srednjeg člana ove progresije.
15. U jednakostraničan trougao ABC upisan je trougao A1B1C1 tako da su A1 , B1 i C1 središta
stranica trougla ABC. U trougao A1B1C1 upisan je trougao A2B2C2 , tako da su A2, B2 i C2
središta stranica trougla A1B1C1 itd. Izračunati zbir površina svih ovih trouglova.
16. Četiri pozitivna broja čine geometrijsku progresiju. Ako je prvi veći od drugog za 36, a treći
od četvrtog za 4 izračunati njihov proizvod.
30
17. Zbir prav tri člana geometrijske progresije je 26, a zbir njenog prvog i trećeg člana je 20.
Izračunati zbir prvog člana i količnika te progresije.
18. Tri broja čiji je zbir 26 čine geometrijski niz. Uveća li se srednji član za 4 dobija se
aritmetički niz . Koji su to brojevi?
19. Zbir prav tri člana geometrijske progresije je 14, a zbir prvog i trećeg člana je dva puta veći
od zbira drugog i četvrtog člana. Odrediti treći član te progresije.
20. Zbir tri uzastopna člana aritmetičke progresije je 150. Ako je najveći od njih četiri puta veći
od najmanjeg izračunati njihov proizvod.
7
21. Zbir tri broja je 21, a zbir njihovih recipročnih vrednosti je
. Ako ti brojevi obrazuju
12
rastući geometrijski niz izračunati njihov proizvod.
22. Četiri broja čine rastući aritmetički niz. Njihov zbir je 16 , a zbir njihovih kvadrata je 84.
Izračunati zbir njihovih kubova.
23. Tri broja čiji je zbir 63 obrazuju aritmetički niz. Ako od prvog oduzmemeo 7, od drugog 9, a
od trećeg 5 dobija se geometrijski niz. Koji su to brojevi?
24. Odrediti x-ti član geometrijske progresije čija su prva tri člana 11-xlogx , xlogx-5 , 35-xlogx.
25. Zbir prva tri člana geometrijskog niza je 91. ako tim članovima dodamo redom 25, 27 i 1
dobićemo tri broja koja obrazuju aritmetički niz. Odrediti sedmi član datog geometrijskog
niza.
XV
FUNKCIJE
1. Odrediti oblast definisanosti, nule, znak i parnost funkcije y 
x3 1
.
x2
x2 x
y
ln .
2 2
x 2  2x  1
y
.
x2 1
x2 1
y 2
.
x  x 1
x 2  5x  7
y
.
x2
y=(2x2-3x)ex.
x3
y
.
3  x2
y  1  x ln 1  x  .
31
2. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije y 
3. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
4. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
5. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
6. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
7. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
8. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
9.
Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
1  ln x
1  ln x
x 2  2x  3
.
2x  x 2
10. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
y
11. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
y  xe 1 x .
1
x2  4
.
9  x2
12. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
y
13. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
y  x  2e x .
14. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
y
1
15. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
16. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
17. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
x 2  x  12
.
x4
1 x
.
y  ln
1 x
3x  x 2
.
y
x4
y  ln 4  x 2  .
x 2  4x
.
y 2
x  4x  3
18. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
1
x2
19. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
y  xe
20. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
y  x2
.
6
.
x 1
1  ln x
.
x2
22. Data je funkcija f(x)=x3+ax2+9x+4. Odrediti parametar a tako da funkcija ima ekstremum
za x=-1 i za tako odreĎenu vrednost parametra a skicirati grafik i ispitati tok funkcije.
Izračunati površinu ograničenu krivom x-osom i y-osom.
21. Skicirati grafik i ispitati tok funkcije
XVI
y
IZVODI I NJIHOVA PRIMENA
1. Odrediti ekstremne vrednosti i ispitati monotonost funkcije y  (3  x 2 )  e x .
1 x
2. Naći prvi izvod funkcije y  ln
.
1 x
3. Naći izvod funkcije y  ln 4
x2  x 1
1 
2x  1
2x  1 

 arctg
 arctg

2
x  x 1 2 3 
3
3 
x  1  1 arctg 2 x  1
1
4. Naći izvod funkcije y  ln 2
6 x  x 1
3
3
2
x 1
x2 1 1
 3 ln 4 2
 arctgx
x 1
x 1 2
2

1
x  1
1
2x  1

arctg
6. Naći izvod funkcije y  ln 2
6 x  x 1
3
3
5. Naći izvod funkcije y  ln 4
1 1 x2
x
x
e
8. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije y 
.
x
32
7. Naći drugi izvod funkcije y  1  x 2  ln
1
y  sin x  sin 3 x .
3
10. Odrediti ekstremne vrednosti funkcije y  x 2 e 2 x .
9. Naći prvi izvod funkcije
11. Napisati jednačinu tangente krive y=x4-x2+3 u tački M(1,y).
x 2  2x  1
.
x2 1
x3
13. Odrediti prevojne tačke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije y  2
x  12
14. Odrediti ekstremne vrednosti i intervale rašćenja i opadanja funkcije y  x  ln x
12. Odrediti ekstremne vrednosti i intervale rašćenja i opadanja funkcije y 
15. Dokazati da funkcija y  2 cos 3x  3 sin 3x zadovoljava jednačinu y”+9y=0.
2x
16. Odrediti ekstremne vrednosti i prevojne tačke funkcije y 
.
1 x2
x2
17. Napisati jednačinu tangente krive y 
u tački u kojoj ta kriva seče y-osu.
2x  1
18. Naći prvi izvod funkcije y  x 2 e 2 x .
19. Tačka M(9,0) spojena je sa tačkom N(x<9,y) na paraboli y2=8x. Površina ograničena lukom
parabole, delom njene ose i dužinom MN rotira oko x-ose. Odrediti koordinate tačke N, tako
da zapremina nastale kupe bude maksimalna i naći odnos u kome ona stoji prema zapremini
nastalog tela.
20. Od metalne lopte poluprečnika R treba iseći pravilnu četvorostranu prizmu maksimalne
zapremine. Odrediti dimenzije te prizme.
21. Odrediti dimenzije pravog valjka upisanog u loptu poluprečnika R , tako da mu površina
omotača bude maksimalna.
22. Odrediti dimenzije pravog kružnog valjka, maksimalne zapremine koji se može upisati u
pravu kružnu kupu poluprečnika osnove R i visine H.
23. Odrediti dimenzije prave kružne kupe , maksimalne zapremine , koja se može upisati u loptu
poluprečnika R.
24. Odrediti dimenzije kupe opisane oko lopte poluprečnika R , tako da njena zapremina bude
minimalna.
25. Oko polulopte poluprečnika R opisana je prava kupa minimalne zapremine čija je osnova u
ravni osnove te polulopte. Odrediti zapreminu kupe.
33
GRANIČNE VREDNOSTI I NJIHOVA PRIMENA
XVII
1. Odrediti graničnu vrednost
 x3  2x 2

a) lim  2
 x 
x 
 x 1

 3x  4 
b) lim 

x  3 x  2


x 1
3
.
2. Odrediti graničnu vrednost

a) lim x x 2  1  x
x 

 x 1 
b) lim 

x  x  2


3. Odrediti graničnu vrednost
1 x  3
a) lim
x  8
23 x
2 x 1
.
ln a  x   ln a
,a  0.
x 0
x
b) lim
4. Odrediti asimptote funkcije y 

x2 1
.
x3
5. Odrediti graničnu vrednost lim 1  x 2
x 0

ctg 2 x
1 x2
.
1 x
x 3  3x
7. Odrediti asimptote funkcije y  2
x  x2
6. Odrediti asimptote funkcije y 
XVIII
INTEGRALI I NJIHOVA PRIMENA
1. Izračunati
2. Izračunati
3. Izračunati
 x e dx .
 x  arctgxdx .
3x  2
 x  4 x  5 dx .
2
x
2
x3
dx .
4. Izračunati  2
x 1
dx
5. Izračunati  3
.
x  2x 2  x
cos x
dx .
6. Izračunati 
1  cos x
7. Izračunati površinu figure ograničene linijama y=7x-2x2 i x+y=
34
7
.
2
8. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko y-ose figure ograničene linijama
y  x  y  x2 .
9. Izračunati površinu figure ograničene parabolom y=2x-x2 i pravom x+y=0.
10. Izračunati površinu figure ograničene pravama y=x , y=-x i tangentom krive y  x 2  5
u tački M(3,2).
11. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograničene parabolom
y=2x-x2 i pravom y=0.
2
12. Izračunati površinu ograničenu lukom krive y  x 3  x 2  4 x , x-osom i ordinatama
3
njenih ekstremnih tačaka.
XIX
KOMBINATORIKA I BINOMNI OBRAZAC


12
1. Naći peti član u razvoju binoma x  y .
2. Odrediti koeficijent uz član a7b8 u razvoju binoma (a+b)15.
3. U razvoju
 a
3
a 1

15
, a>0, odrediti član koji ne zavisi od a.
m
a

4. U razvoju binoma  x 2   , x0 i mN , koeficijenti četvrtog i trinaestog člana su
x

meĎusobno jednaki. Naći član koji ne sadrži x.

a 2
5. Naći srednji član u razvoju binoma  a 2 2  5

a

koeficijenti petog i trećeg člana odnose kao 14:3.
m

 , a>0, mN , ako se zna da se


m
1

6. Zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana u razvoju  x 2   , mN , x0, je 46.
x

Odrediti član koji ne sadrži x.
m
y

7. U razvoju binoma  3 x 2   , x0 , mN, odrediti član koji ne sadrži x ako se zna da
x

je koeficijent trećeg člana za 5 veći od koeficijenta drugog člana.
m
1 

8. Treći član u razvoju binoma  2 x  2  , x0 , mN, ne sadrži x. Odrediti sve vrednosti
x 

x tako da taj član bude jednak drugom članu u razvoju (1+x3)30.
n

1 
 zbir trećeg i petog člana
9. Za koju vrednost x u razvijenom obliku binoma  2 x 
x 1 
2


je 135 , ako je zbir binomnih koeficijenata poslednja tri člana 22?

10. Odrediti x u izrazu 

 x
1
log x 1
6

12

x  , ako je četvrti član razvijenog binoma 200.

35
x
11. Odrediti za koje je x šesti član razvoja binoma  2 log103   2  x 2  log3  jednak 21, ako


su binomni koeficijenti drugog, trećeg i četvrtog člana razvoja redom , prvi, treći i peti
član geometrijske progresije.
n
12. Odrediti x tako da zbir trećeg i sedmog člana u razvoju binoma
bude 7.

cos x  sin x

8
13. Naći prirodan broj n takav da zbir koeficijenata drugog i trećeg člana u razvoju binoma
n
5 2
1 
 x  6  bude 153. Za tako odreĎeno n odrediti član kojine sadrži x.
x

36
Download

null