Souřadnice bodů, vektory a operace s nimi
1) Zakreslete kartézskou soustavu souřadnic Oxyz ve volném rovnoběžném promítání. Na každé ose
označte bod odpovídající číslu 1.
a) Zobrazte body A[-1;2;3], B[-1;5,-2] a C[2,-3;4].
b) Určete délky úseček AB a BC.
c) Určete souřadnice středu úsečky AB.
d) Určete souřadnice bodu X tak, aby bod A byl středem úsečky CX.
2) Jsou dány body R[3; -2], S[-4; 5], T[2; 1]. Urči souřadnice bodu X tak, aby čtyřúhelník RSTX byl
rovnoběžník.
3) V rovnoběžnostěnu ABCDA1B1C1D1 známe souřadnice bodů A[2; -3; 1], B[3; -4; 2], D[4; 2; -3],
A1[5; 3; 4]. Vypočítej souřadnice vrcholů C a D1.
4) Jsou dány dva vrcholy trojúhleníku ABC a jeho těžiště T, určete souřadnice třetího vrcholu. A[4;8],
B[-4; 0], T[1; -5].
5) Jsou dány vrcholy trojúhleníku ABC určete souřadnice jeho těžiště T. A[-2;3;1], B[0; 2; 2], C[2;-8;2].
6) Je dán vektor u = (7; -1). Určete vektor v tak, aby platilo: v ║ u ∧  v  = 10.
u = (4; -3; 5).
7) Vypočítej velikost vektoru 
8) Urči číslo y∈R tak, aby velikost vektoru z = (6; y) byla 10.
u = (4; 2),
9) Jsou dány vektory 
1
u + 3 v
w
 =
2
v = (-1; 2). Vypočítej souřadnice a velikost vektoru
u = (3; 2). Urči k∈R tak, aby pro vektor v = (k; -2) platilo
10) Je dán vektor 
u + v =5.
3 
11) Jsou dány body K[1; 2; 3], L[-4; 5; 6], M[4;3;2] Určete reálná čísla m, n, k, p tak, aby body R[0; m; n]
S[k; p; 6] ležely na přímce KL.
u = (1; 1; 3), v = (2;1; -1).
12) Vypočítej skalární součin vektorů 
13) Vypočítej skalární součin vektorů u a v , jejichž úhel je ϕ = 60° a platí  u = 1, v = 2.
14) Vypočítej skalární součin vektorů 
u a v , jejichž úhel je ϕ = 135° a platí  
u = 3, v =
u = (1;1), v = (-1, 1)
15) Vypočítejte úhel vektorů : 
u = (0; 1; 2), v = (3; 3;-1)
16) Vypočítejte úhel vektorů : 
17) Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC. A[0;1], B[-1; 2], C[1; 3].
18) Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC. A[1;1;1], B[-1; 0; 2], C[3; 1; 2]
19) Určete vektorový součin vektorů u , v , jestliže platí: u =−2,−3, 1 , v =3,4 ,−2
20) Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah rovnoběžníku určeného vektory
u
 =−2,−3, 2 , v =3,4 ,−2
u =2 ;3 ; 4 , 
v =−2 ;m ; 0 . Určete hodnotu parametru m∈R tak, aby platilo:
21) Jsou dány vektory 
〚 u x v 〛=4  6
u , v , jestliže platí: u =0,1, 3 , v =1,0,2
22) Určete vektorový součin vektorů 
23) Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah trojúhelníku s vrcholy A[1,3,1], B[4,1,3], C[1,4,-1]
u =3 ;−1 ; 0 , 
v =9 ;−3 ; 2. Určete souřadnice vektoru z tak, aby platilo
24) Jsou dány vektory 
1
2
u ∧z ⊥ v ∧∣z∣=1
z ⊥ 
u =2,−1, 3 , v =4,−2,6
u , v , jestliže platí: 
25) Určete vektorový součin vektorů 
26) Vypočítejte obsah rovnoběžníku KLMN, jestliže znáte souřadnice vrcholů K,L,M. Vypočítejte
souřadnice vrcholu N. K[2,0,1], L[1,-1,3], M[4,2,1]
27) Vypočítejte obvod a obsah trojúhelníku RST, jsou-li souřadnice vrcholů R[4;1;0], S[4;-2;-3], T[1;-2;0].
28) Vypočítejte obsah rovnoběžníku KLMN, jestliže znáte souřadnice vrcholů K,L,M. Vypočítejte
souřadnice vrcholu N. K[1,3], L[2,0], M[4,-1].
29) Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah trojúhelníku s vrcholy A[4,0,-1], B[2,4,-1], C[5,3,4]
30) Vypočítejte vnitřní úhel ∠ RST trojúhelníku RST, jsou-li souřadnice vrcholů R[4;1;0], S[4;-2;-3],
T[1;-2;0].
31) Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah trojúhelníku s vrcholy A[2,-1], B[-1,4], C[3,-2]
32) Vypočítejte vnitřní úhel ∠ STR trojúhelníku RST, jsou-li souřadnice vrcholů R[4;1;0], S[4;-2;-3],
T[1;-2;0].
u , v , jestliže platí:
33) Určete vektorový součin vektorů 
u =B−A , v =C− A , A[−3, 4,6 ], B[−5,3,7] , C [0,8,4 ]

34) Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah trojúhelníku s vrcholy A[3,-6,5], B[4,8,1], C[5,22,-3]
35) Vypočítejte vnitřní úhel ∠ TRS trojúhelníku RST, jsou-li souřadnice vrcholů R[4;1;0], S[4;-2;-3],
T[1;-2;0].
36) Užitím vektorového součinu vypočítejte obsah trojúhelníku s vrcholy
A[  6 ; 1−  6 ;−32  6] , B[  6,2− 6 ;2  6] ,C [ 2 6 ; 22  6 ;  6]
37) Vypočítejte povrch a objem čtyřstěnu ABCD, je.li dáno A[3,1,-2], B[-1;1;-2], C[1;6;10], D[3;4;-2]
Řešení:
1) b) ∣ AB∣= 34
7 1
∣BC ∣= 109 c) S AB [−1 ; ; ] d) X[-4;7;2]
2) X[9;-6]
3) C[5;1;-2], D1[7;8;0]
4) C[3;-23]
5) T[0; -1; 1]
6) v =7  2 ;− 2
u  = 52
7)  
8) y1 = 8, y2 = -8
9) w
 = (-1;7)
10) k1 = -6, k2 = -12
11) k = -4; p = 5, m =
12) 0
13) 1
14)
−3  2
4
2 2
ϕ = 90°
ϕ = 84,11°
α = 71°33'54'' , β = 71°33'54'', γ = 36°52'12''
α = 123°12'39'' , β = 26°59'3'', γ = 29°48'18''
(2,-1,1)
S=3
−1
21) m1 = -1; m2 =
5
22) (2,3,-1)
23) S = 3,5
± 10
10
;±3  ; 0
24) z = 
10
10
25) (0,0,0)
26) N[5,3,-1], S = 4  2
27) O = 9  2
15)
16)
17)
18)
19)
20)
13
,n=
5
18
5
Download

Souřadnice bodů, vektory a operace s nimi