73
İntegral ile Hacim Hesabı
İntegral ile Hacim Hesabı
4.3.2
Teorem :
f :  a, b    , f ( x) fonksiyonu  a, b aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere,
y  f ( x) eğrisi, x  a , x  b ve Ox ekseni ile sınırlanan kapalı bölgenin, Ox ekseni etrafında 360o
b
döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi;
b
V    f ( x) dx    y 2 dx tir.
2
a
a
İspat:
 a, b aralığını n tane alt aralığa ayıralım. Düzgün bölüntü yaparsak, alt
aralıkların uzunlukları eşit olur:
x1  x2  x3  ...  xn 
y  f ( x)
y
ba
n
[ xk -1 , xk ] alt aralığına ait bir t k noktası seçelim. Böylece, tabanı xk ,
yüksekliği f (t k ) olan bir dikdörtgen oluşur. Bu dikdörtgen Ox ekseni
etrafında döndürülürse; yarıçapı f (t k ) , yüksekliği xk olan bir silindir
0
a
x k  1 tk x k b
x
meydana gelir. Bu silindirin hacmi:
Vk    f (t k )  .xk dir.
2
Böylece,
 a, b aralığına ait
n
tane dikdörtgenin
ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen
n
hacimleri toplamı,
   f (t )
2
k 1
k
n
Ox
y  f ( x)
y
tane silindirin
.xk tir. Bu toplam, dönel cismin
hacminin yaklaşık değeridir.
P bölüntüsü ne kadar ince seçilirse, silindirlerin hacimleri
toplamı, dönel cismin hacmine o kadar yaklaşır. O hâlde, n 
0
x
a
b
için limit durumunda bu toplam, dönel cismin hacmine daha yakın
değer alacağından,
n  için limit alınırsa;
n
b
b
V  lim    f (t k )  .xk     f ( x)  dx    y 2 dx olur.
x 
2
k 1
2
a
a
Sonuç :1
 a, b aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y  f ( x)
y  g ( x) olsun. x   a, b  için, f ( x)  g ( x)  0 ise;
y
y  f ( x)
ve
y  g ( x) eğrileri, , x  a , ve x  b doğruları
o
arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360
y  f ( x) ve
y  g(x)
a
x
b
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;
b
V     f 2 ( x)  g 2 ( x)  dx tir.
a
Şekilde görüldüğü gibi oluşan cismin hacmi dıştaki dönel cisim ile içteki dönel cismin hacimleri farkına eşittir.
75
İntegral ile Hacim Hesabı
Sonuç :2
y
x  f ( y ) fonksiyonunun eğrisi, y  c , y  d doğruları ve Oy ekseni
ile sınırlanan düzlemsel bölgenin
x  f ( y)
Oy ekseni etrafında 360o
d
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;
d
c
d
V    f ( y ) dy    x dy dir.
2
2
c
c
Sonuç :3
y
y   c, d  için f ( y )  g ( y )  0 ise;
x  f ( y ) ve x  g ( y ) eğrileri ile y  c ve y  d doğruları arasında
x  f ( y)
d
y ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan
kalan bölgenin
x
0
dönel cismin hacmi;
d
c
V     f 2 ( y )  g 2 ( y )  dy dir.
c

 rnek
x
x  g ( y)
4 123
y  x 2 parabolü, x  0 ve y  2 doğruları arasında kalan bölgenin
Oy ekseni etrafında 360o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin
y
y2
2
hacmini bulalım.
Çözüm :
y  x 2  x  y dır. Oluşan dönel cismin hacmi;
2
2
2
2
V 
y dy    ydy    ydy 

 rnek
4 124
0
0
0
x
2
 2
y  2 bulunur.
2
0
o
ekseni etrafında 360
hacmini bulalım.
x
0
x  y 2 eğrisi ve y  x 2 eğrisi arasında kalan düzlemsel bölgenin Oy
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin
y
y  x2
x  y2
Çözüm :
Önce, bu iki eğrinin kesim noktalarını bulalım.
y  x 2  y   y 2   y 4  y 4  y  0  y1  0 ve y2  1 bulunur.
2
O hâlde, oluşan dönel cismin hacmi;
oluşturduğu hacimden,
çıkartılarak bulunur.
1
V 

0
bulunur.
 y y 
2
y   0,1 da y  x 2 parabolünün
x  y 2 parabolünün oluşturduğu hacim
2 2
y
1
1
2
 dy   y  y 4 dy    y  y5   3



0 

5  0 10
 2
x
Download

örnek sayfalar - Ezbersiz Matematik