www.ismailhacihaliloglu.com
Cebir Notları
İsmail HACIHALİLOĞLU, Matematik ve Geometri Eğitim Danışmanı
Ardışık Sayılar
Örnek: 1
ARDIÞIK TAM SAYILAR
3x + 2 ile x + 11 sayılarını ardışık yapan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
n tam sayý olmak üzere,
...., n – 2, n – 1, n, n+1, n+2, .....
sayýlarýna ardýþýk tam sayýlar denir.
n çift tam sayý olmak üzere,
...., n – 4, n – 2, n, n+2, n+4, .....
sayýlarýna ardýþýk çift tam sayýlar denir.
n tek tam sayý olmak üzere,
...., n – 4, n – 2, n, n+2, n+4, .....
sayýlarýna ardýþýk tek tam sayýlar denir.
Örnek: 2
TERÝM SAYISI
(2n+1) ile (4n – 1) sayýlarý ardýþýk iki tek sayý olduðuna gö-
Ardýþýk sonlu sayý dizilerinde,
re, n nin alabileceði farklý deðerler toplamý kaçtýr?
Terim Sayýsý =
(Son Terim) – (Ýlk Terim)
+1
Ortak Fark
ARDIÞIK SAYILARIN TOPLAMI
Ardýþýk Toplam =
(Ýlk Terim+ Son Terim)
(Terim Sayýsý)
2
Örnek: 3
a < b < c olmak üzere a, b, c ardışık çift tam sayılardır.
Buna göre
(a – c)3 − (b − a) + (c − b)2
işleminin sonucu kaçtır?
1
Ardışık Sayılar
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek: 4
Örnek: 7
a, b, c sayıları a < b < c şartını sağlayan ardışık doğal
sayılardır.
⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ c
⎜ + 1⎟ ⋅ ⎜ + 1⎟ =
⎝a ⎠ ⎝b ⎠ 9
olduğuna göre a kaçtır?
Örnek: 5
Örnek: 8
a, b, c, d ve e ardýþýk çift sayý ve a<b<c<d<e dir.
Ardýþýk pozitif iki tek sayýdan, küçük sayýnýn 5 katý ile
büyük sayýnýn 3 katýnýn toplamý 142 olduðuna göre,
büyük sayý kaçtýr?
a+d+e=2(b+c)
olduðuna göre, c kaçtýr?
Örnek: 9
Örnek: 6
Bir sokakta, yolun üst tarafýndaki evler ardýþýk tek sayýlarla, alt
tarafýndakiler ise ardýþýk çift sayýlarla numaralandýrýlmýþtýr. Numaralar soldan saða doðru artmaktadýr.
tekler
A
C
Sağ
Sol
B
D
çiftler
A ve B evlerinin numaralarý için A – B=15 olduðuna göre,
C ve D evlerinin numaralarý için C – D farký kaçtýr?
Örnek: 10
İkisi ardışık tek sayı, diğer ikisi ardışık çift sayı olan dört
sayının toplamı 70’dir. Buna göre küçük tek sayıyla büyük
çift sayının toplamı kaçtır?
2
Ardışık Sayılar
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek: 11
Örnek: 15
Ardýþýk üç çift sayýnýn toplamý 246 olduðuna göre, bu
Ardýþýk 5 çift doðal sayýnýn toplamý S olduðuna göre, bu
sayýlardan en büyüðü ile en küçüðünün toplamýnýn S cinsinden eþitini bulunuz.
sayýlarýn en büyüðü kaçtýr?
Örnek: 12
Örnek: 16
Ardışık 17 tane tam sayının toplamı 17 dir. Bu sayıların
çarpımı kaçtır?
Örnek: 13
Örnek: 17
Ardışık 2008 tane tam sayının çarpımı 0 dır.
Bu sayılardan en büyüğü en çok kaç olabilir?
Örnek: 18
Örnek: 14
3 ün tam katlar› ve çift olan ard›fl›k dört tane do€al
say›n›n toplam› 204 oldu€una göre, bu say›lardan
en küçü€ü kaçt›r?
Ardışık en çok kaç sayının toplamı 50 dir?
3
Ardışık Sayılar
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek: 22
Örnek: 19
a)
1 den 200 e kadar olan sayılardan kaç tanesi 6 ya tam
olarak bölünebilir?
b)
83 ile 242 arasında bulunan ve 4 ile kalansız
bölünebilen kaç tane sayı vardır?
c)
8≤ x < 105 aralığında kaç tane çift sayı vardır?
a)
40’dan küçük doğal sayıların toplamı kaçtır?
b)
1 + 3 + 5 + .... + 35 toplamının eşiti kaçtır?
c)
2 + 4 + 6 + .... + 40 toplamının eşiti kaçtır?
Örnek: 20
d) 25 + 26 + 27 + ... + 74 + 75 toplamının sonucu kaçtır?
a, b, c ve d en az biri diğerlerinden farklı dört rakamdır.
Buna göre a + b + c + d toplamı kaç farklı değer alabilir?
e)
10 + 13 + 16 + …+ 58 + 61 toplamı kaçtır?
Örnek: 21
Ard›fl›k 3 tane do€al say›n›n toplam› x tir.
Örnek: 23
40 < x < 60
5 ile bölündü€ünde 3 kalan›n› veren iki basamakl›
oldu€una göre, kaç farkl› x de€eri vard›r?
do€al say›lar›n toplam› kaçt›r?
4
Ardışık Sayılar
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek: 24
Örnek: 28
A= 6+12+18+ ... +126
Yukarıdaki ardışık toplamda her terim 2 artırılırsa, A ne
kadar artar?
Örnek: 25
Örnek:29
2 + 4 + 6 + ... + 100 = 2550
olduğuna göre, 1 + 3 + 5 + ... + 99 toplamının sonucu kaçtır?
Örnek: 26
n bir doğal sayı olmak üzere; 1 den n ye kadar doğal sa-
Örnek: 30
yıların toplamı A, 5 ten n ye kadar doğal sayıların toplamı
12 – 22 + 32 – 42 + ... + 192 – 202
B ile gösteriliyor.
işleminin sonucu kaçtır?
A + B = 370
olduğuna göre, A nın değeri kaçtır?
Örnek: 27
Örnek: 31
12 + 22 + 32 + ... + 102 = A
olarak veriliyor.
Karesi alınan sayılar birer artırılırsa toplamın sonucu
kaç olur?
5
Ardışık Sayılar
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek: 32
Örnek: 36
A= 1 .3 + 2.4 + 3.5 + ... + 19.21
Bir sayı dizisinin her bir terimi kendinden bir önceki terimin
rakamları toplanarak elde ediliyor.
toplamının her bir teriminin birinci çarpanı 2
artırılırsa A kaç artar?
ğuna göre, 2008 inci
Bu sayı dizisinin ilk terimi 2008 oldu
terimi kaçtır?
Örnek: 33
Örnek: 37
A= 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + 21.22
2
2
2
Bir sayı dizisinin her bir terimi, kendinden bir önceki terimin –1
ile çarpılmasıyla elde ediliyor.
2
olduğuna göre, 2 + 4 + 6 + ... + 22 toplamı
Bu sayı dizisinin ilk terimi 116 oldu ğuna göre, 14 üncü
A dan kaç fazladır?
terimi kaçtır?
Örnek: 38
Örnek: 34
Pozitif tamsayılardan son rakamı 0 olan sayıların atılması
sonucunde elde edilen,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, ...
sayı dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
Örnek: 39
Örnek: 35
Doğal sayılardan tam karelerin atılması sonucunda
elde edilen,
2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ...
dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
6
İsmail HACIHALİLOĞLU
Ardışık Sayılar
Örnek: 40
Örnek: 44
Pozitif çift tam sayılardan son rakamı 2 olan sayıların
atılmasıyla elde edilen,
4, 6, 8, 10, 14, 16, 18, 20, 24, ...
sayı dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
a)
Örnek: 41
b)
Pozitif tam sayılar dizisinden 3 ün tam katlarının atılması
sonucunda elde edilen;
1, 2, 4, 5, 7, 8, 19, ...
dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
Örnek: 45
Örnek: 42
100 sayfalık bir kitabın sayfalarını numaralandırırken 4 rakamı
5 e tam olarak bölünemeyen pozitif tamsayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
kaç kez kullanılır?
Bu sıralamadaki 100. sayı kaçtır?
Örnek: 43
Örnek: 46
7
İsmail HACIHALİLOĞLU
Ardışık Sayılar
Örnek: 47
Örnek: 51
11, 18, 25, ...
1 den 55 e kadar olan tam sayılar soldan sağa
doğru yazılarak,
aritmetik dizisinin 1000 inci terimi kaçtır?
N = 1234...9101112...5455
şeklinde 101 basamaklı bir N sayısı oluşturuluyor.
Buna göre, N nin soldan 55. rakamı kaçtır?
Örnek: 48
Örnek: 52
Bu sayı dizisinin 21. terimi kaçtır?
Örnek: 53
Örnek: 49
{1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, ...
İçinde “5” rakamı bulunmayan doğal sayılar
küçükten büyüğe sıralanıyor. Baştan 73. sayı
kaçtır?
a) küme dizisindeki 100. kümenin en büyük elemanı kaçtır?
b) küme dizisindeki 100. kümenin en küçük elemanı kaçtır?
Örnek: 50
8
İsmail HACIHALİLOĞLU
Ardışık Sayılar
Örnek: 54
Örnek: 57
Örnek: 55
Ayný uzunluktaki kibrit çöpleriyle aþaðýdaki þekiller elde
•
•
•
ediliyor.
1. şekil
2. şekil
3. şekil
Buna göre, 20 tane üçgenin bulunduðu þekilde kaç
tane kibrit çöpü kullanýlmýþtýr?
Örnek: 58
MASA
Örnek: 56
..
.
Yukar›daki flekilde, tamam› efl kare motiflerle ifllenmifl bir masa örtüsünün, masadan
sarkan parças› gösterilmifltir. Bu parçan›n
yan kenarlar›nda bulunan karelerin içi dolu,
di€erlerininki ise bofltur.
Sarkan parçadaki dolu karelerin say›s› 21
oldu€una göre, bofl karelerin say›s› kaçt›r?
...
15 tane
En alt sırasında 15 tane bidon bulunan şekildeki gibi
bir istifte, toplam kaç bidon vardır?
9
İsmail HACIHALİLOĞLU
Ardışık Sayılar
Örnek: 59
Örnek: 62
Örnek: 60
Örnek: 63
Örnek: 61
Örnek: 64
10
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek:65
Ardışık Sayılar
Örnek: 68
Örnek:66
Örnek: 69
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + ………… + n = 92 + 122
olduğunagöre,nkaçtır?
Örnek: 70
1444442444443
x tane 1 rakamı
Örnek: 67
99
1 3 5 7
1 3 5 7
1 3 5 7 7 7
1 3 5 5 5 5
1 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
14444442444443
x tane 1 rakamı
Yukarıdaki tabloda gösterilen düzen dikkate alınırsa x kaç
olmalıdır?
11
İsmail HACIHALİLOĞLU
Ardışık Sayılar
Örnek: 71
Örnek: 73
I. Şekil
Aþaðýdaki tribünün koltuklarý þekildeki gibi numaralandýrýlmýþtýr. Örneðin, 24. sýra ile 25. sütunun kesiþimindeki koltuðun
numarasý 1152 dir.
2.
3.
Buna göre, 24. sýradaki koltuk numaralarýnýn toplamýný
bulunuz.
4.
5.
2. sıra
... ... ...
50 51 52
1. sıra
500.
•
•
•
1152
•
•
•
3. sıra
... ...
•
•
•
Tribün
24. sıra
1 2 3 4
5 ...
1.
... ...
2.
3.
48 49
4.
5.
...
25. sütun
1. sütun
2. sütun
3. sütun
4. sütun
II. Şekil
... ...
25
...
1.
...
500.
I. şekilde içi taralı olan çember sayısı T dir.
Bunagöre,II.şekildeiçitaralıolançembersayısınınTtüründenifadesi nedir?
Örnek: 74
Örnek: 72
1
1
2+2
4
3+3+3
9
4+4+4+4
16
5+5+5+5+5
25
y + y + y + y + y + ………… + y
A
x + x + x + x + x + x + x + ……… + x
Yukarıda belli bir düzende altıgenler ile oluşturulmuş şeklin
en dış tarafında kalan içi taralı altıgen sayısı 96 dır.
10x + 200
Bunagöre,buşekildetaralıolmayankaçtanealtıgenvardır?
YukarıdagösterilendüzenegöreAkaçtır?
12
İsmail HACIHALİLOĞLU
Ardışık Sayılar
Örnek:77
Örnek:75
Ardışık ilk n sayma sayısının toplamını veren sayılara
üçgensel sayılar denir.
……
1
2
3
4
1 + 2 + 3 + ... + n =
500
Bir firmanın 2 çalışanı elindeki reklam broşürlerini yukarıda
gösterilen bir bulvar üzerindeki 1 den 500 e kadar olan kapı
numaralı evlere dağıtacaktır.
n(n + 1)
2
n(n + 1)
şeklinde yazılabilen sayılardır.
2
n ∈ N+ için
1, 3, 6, 10, 15, ... gibi.
Bu 2 çalışandan
●
biri olan Asım, kapı numaralarında 2 veya 3 rakamı olan-lara
●
diğeri olan Tümer, kapı numaralarında 4 veya 5 rakamı
olanlara
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
Aşağıdaki sayılardan hangisi üçgensel sayıdır?
birer tane olacak şekilde broşür dağıtımı yapacaktır.
B) 24
A) 16
Bunagöre,buşekildeyapılanbirdağıtımdaevlerdenkaç
C) 32
D) 36
E) 48
tanesine2tanebroşürverilmişolur?
Örnek: 78
●
n pozitif doğal sayı iken 1 den n'e kadar olan ardışık doğal
sayıların toplamı şeklinde yazılabilen sayılara "üçgensel
sayılar" denir.
Örneğin : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Örnek: 76
●
Her bir terimin karesi alınarak oluşturulan sayılara "karesel
sayılar" denir.
Örneğin : 1, 4, 9, 16, 25,……, n2
Herhangi ardışık 2 üçgensel sayı toplanırsa sonuç karesel sayı olur.
36 +
Örneğin :
45
= 81
Bunagöre,hangisibudurumauygunbirörnekdeğildir?
A)
B)
C)
D)
E)
13
10
+
15 = 25
21
+
28 = 49
11
+
25 = 36
45
+
55 = 100
28
+
36 = 64
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek: 79
Örnek: 81
Örnek: 82
Örnek: 80
14
Ardışık Sayılar
İsmail HACIHALİLOĞLU
Örnek: 83
Örnek:84
Örnek:85
Bir öğrenci 1 den n ye kadar olan sayıları (1 ve n dahil)
topluyor ve sonucu 7148 buluyor. İşlemi kontrol ettiğinde
sayılardan birini unuttuğunu farkediyor.
Unutulan sayı kaçtır?
15
Download

Ardışık Sayılar