Uvod u linearnu algebru i analitičku geometriju
I Vježbe: Vektori u ravni i prostoru. Osnovne operacije sa vektorima
1. Kakav uzajamni položaj imaju vektori a i b ako je:
a) a  b  a  b
d) a  b  a  b
b) a  b  a  b
e) a  b  a  b
c) a  b  a  b
f) a  b  b  a
2. Neka su vektori AC  a i BD  b dijagonale paralelograma ABCD . Izraziti vektore
AB, BC, CD i DA preko vektora a i b .
3. U trouglu ABC označimo sa AA1 , BB1 i CC1 težišnice iz vrhova A, B i C redom.
Izraziti vektore AA1 , BB1 i CC1 kao linearne kombinacije vektora AB i AC .
4. Ako su E i F sredine dijagonala AC i BD ravanskog ili prostornog četverougla
AB  CD AD  CB
.

ABCD , dokazati da vrijedi: EF 
2
2
5. Neka je D tačka duži AB takva da je AD   AB . Ako je O bilo koja tačka u
prostoru pokazati da vrijedi: OD  1    OA   OB , gdje je    0,1 .
6. Dokazati da se težišne duži trougla sijeku u jednoj tački (težištu) koja svaku težišnu
duž dijeli u omjeru 2 :1 računajući od vrha trougla.
7. Dokazati da za tri nekolinearne tačke A, B i C i jednu tačku P važi jednakost
PA  PB  PC  0 ako i samo ako je P težište trougla ABC .
8. Ako su ABC i PQR dva trougla data u prostoru, dokazati da se njihova težišta
poklapaju ako i samo ako vrijedi relacija AP  BQ  CR  0 .
9. Neka je tačka F središte stranice BC paralelograma ABCD i neka se duž AF i
dijagonala DB sijeku u tački E . Doakzati da tačka E dijeli duži AF i DB u omjeru
2 :1 računajući od tačaka A i D .
10. Na pravama određenim starnicama trougla ABC zadane su tačke M , N i P takve
da je AM   AB, BN   BC i CP   CA , pri čemu su  ,  i  skalari. Dokazati
da se težišta trouglova ABC i MNP poklapaju ako samo ako je      .
1
Download

vektori-1