Milutin Kojić
Matematika 1
AKSIOME PRIPADANJA
Ove aksiome se još nazivaju aksiomama veze ili aksiomama incidentncije.
Aksiome pripadanja čini grupa od šest aksioma (zapravo tih aksioma ima više, ali za naše
srednjoškolsko bavljenje matematikom, originalne askiome su „presložene“ u ovih šest
aksioma):
Aksioma 1: Svaka prava sadrži najmanje dve različite tačke. Postoje tri nekolinearne
tačke.
Aksioma 2: Svake dve različite tačke određuju tačno jednu pravu.
Aksioma 3: Svake tri nekolinearne tačke određuju jednu ravan.
Aksioma 4: Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke. Postoje četiri
nekoplanarne tačke.
Aksioma 5: Svaka prava koja sa nekom ravni ima zajedničke dve tačke, pripada toj
pravoj.
Aksioma 6: Ako dve različite ravni imaju jednu zajedničku tačku, onda one imaju tačno
jednu zajedničku pravu.
Veoma je važno razumeti svaku reč u ovim askiomama.
Izostavljanjem neke reči, aksiome gube smisao, jer nije isto reći dve
tačke i dve razne tačke. Sa stanovišta geometrije to je sasvim
različito.
Pre no što pređemo na rešavanje zadataka navešćemo i neke definicije i manja tvrđenja
koja su nam intuitivno poznata:
-
Za dve prave kaže se da se seku ako imaju tačno jednu zajedničku tačku.
Ako zajedničke tačke dve ravni pripadaju tačno jednoj pravoj, kaže se da se ravni
seku.
Za ravni koje se ne seku kažemo da su paralelne.
Ako prava i ravan imaju tačno jednu zajedničku tačku kaže se da prava prodire
ravan. U protivnom, za pravu i ravan kažemo da su paralelne. Naravno po aksiomi
ako prava i ravan imaju više od jedne zajedničke tačke onda ta prava leži u datoj
ravi.
Kada budete videli zadatke iz ove oblasti biće vam u najmanju ruku čudni. Naime, od vas
će neko tražiti da dokazujete nešto za šta je očigledno da važi. Vi na tako nešto niste
navikli ali upravo to je aksiomatska geometrija. Jedino za šta znamo da važi jesu šest
navedenih askioma i ništa više van toga. Na osnovu njih, moguće je izvesti mnoga druga
tvrđenja.
Milutin Kojić
Matematika 1
Pre rešavanja zadataka moramo još
jednom napomenuti neke stvari. Dokazati
neku tvrdnju znači primenom ovih aksioma
dokazati da ona važi. Svaka ideja crtanja
slike i čuvene rečenice „Jasno se vidi sa
slike“ ovde „pada u vodu“.
Crtanje slike nije geometrijski dokaz!
Crtanje slike služi da nam pomogne da
dođemo do rešenja, ali nikako ne
predstavlja konačno rešenje.
ZADACI:
1. Dokazati da prava a i tačka A van nje određuju jednu ravan.
Rešenje: Treba dokazati da postoji ravan α takva da su joj a i { A} podskupovi, a zatim da
je takva ravan jedinstvena. Na osnovu aksiome 1, na pravoj a postoje dve različite tačke
B i C. Tačke A,B i C su tri nekolinearne tačke i one po aksiomi 3 određuju ravan α.
Pretpostavimo da ravan α nije jedinstvena. Tada bi postojala ravan β takva da
a   i { A}   , pa bi po aksiomi 3 moralo biti    .
2. Dokazati da dve prave koje se seku određuju jednu ravan.
Rešenje: Neka se prave a i b seku u tački S. Na pravoj a, postoji po aksiomi 1 i tačka
A  S . Sada posmatramo pravu b i tačku A i rezonujemo kao u zadatku 1.
3. Neka su a i b dve različite prave. Dokazati da one imaju najviše jednu zajedničku
tačku.
Rešenje: Pretpostavimo suprotno da a i b imaju dve različite zajedničke tačke A i B.
Međutim, onda bi po aksiomi 1, bilo a=b, što je suprotno uslovu zadatka.
4. Neka su a i b prave koje pripadaju dvema različitim paralelnim ravnima α i β.
Doakzati da je a  b   .
5. Date su ravan α i tačka P van ravni. Dokazati da prava p, koja sadrži tačku P. ne može
imati sa ravni α više od jedne zajedničke tačke.
6. Ako su α i β dve paralelne ravni, tada je svaka prava a ravni α paralelna sa ravni β.
Dokazati.
7. Dokazati sledeća tvrđenja:
a) za svake dve prave postoji treća prava koja ih obe seče.
b) za svake dve ravni postoji prava koja ih obe seče
c) za svake dve ravni postoji treća ravan koja ih obe seče.
Milutin Kojić
Matematika 1
8. U ravni je dato 6 tačaka, od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Koliko pravih određuju
ove tačke?
Rešenje: Rešenje ovog zadatka baš i nema toliko veze sa geometrijom, zapravo ovo je
više kombinatorika. Iz svake tačke se može povući 5 pravih, pošto imamo šest tačaka,
onda ima 6*5 pravih. Međutim, treba obratiti pažnju da smo svaku pravu brojali dva puta,
tako da je broj pravih koje su određene ovim tačkama 15.
9. Koliko ravni određuju pet tačaka od kojih nikoje četiri nisu koplanarne?
Rešenje: Rešenje ovog zadatka je takođe kombinatoričke prirode. Ima 10 ravni.
10. U skupu od sedam tačaka postoji tačno šest trojki kolinearnih tačaka i ne postoje
četiri tačke koje su kolinearne. Koliko različitih pravih određuju ove tačke?
Rešenje: Tri nekolinearne tačke određuju 3 prave, a tri kolinearne samo jednu. Dakle,
67
tačkama datog skupa određeno je ukupno
 6  2  9 pravih.
2
11. Dat je skup od n tačaka, među kojima ne postoji nijedna trojka kolinearnih tačaka.
Koliko tačaka sadrži taj skup ako je broj pravih određenih tim tačkama tri puta veći od
broja tačaka?
12. Dat je skup od n tačaka, među kojima ne postoje četiri koplanarne tačke. Koliko
tačaka ima ovaj skup ako je broj svih ravni određenih ovim tačkama 12 puta veći od
najvećeg broja pravih koje mogu biti određene tim tačkama?
Rešenje:
n(n  1)(n  2)
n(n  1)
Iz
, dobijamo da je n=7.
 12 
3 2
2
13. Dato je sedam ravni takvih da se svake dve od njih seku. Koliko je najviše pravih
određeno njihovim presecima?
Rešenje:
76
 21
2
14. U skupu od 10 tačaka postoji tačno 6 četvorki koplanarnih tačaka. Koliko ravni
određuje ovih 10 tačaka?
Rešenje:
10  9  8
 6  3  102
3 2
Download

4. - Weebly