Analitička geometrija u prostoru
Ravan
Jednačina ravni koja prolazi tačkom M 1 i normalna je na vektor N   A, B, C  glasi
 r  r1   N  0 ili r  N   , gdje je r1  N   . U skalarnom obliku ove jednačine glase:
A  x  x1   B  y  y1   C  z  z1   0 , odnosno Ax  By  Cz  D  0 .
Jednačina Ax  By  Cz  D  0 je opšti oblik jednačine ravni, a  r  r1   N  0 je vektorski
oblik jednačine ravni.
Ako je D  0 onda to znači da ravan sadrži koordinatni početak.
Ako je A  D  0 , ravan sadrži x  osu. (slično za B  D  0 i C  D  0 ).
Ako je A  B  D  0 onda jednačina ravni glasi Cz  0 , što je jednačina x0 y -ravni ( slično
za A  C  D  0 i B  C  D  0 ).
Ako je A  0 ravan je paralelna 0x  osi (slično, za B  0 i C  0 ).
Ako je A  B  0 ravan je paralelna x0 y  ravni (slično za A  C  0 i B  C  0 ).
x y z
Segmentni oblik jednačine ravni glasi:    1 , gdje su a, b i c odsječci koje ravan
a b c
gradi sa x , y i z-osom redom.
Ugao između dvije ravni date jednačinama: A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 i
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 računa se po formuli:
cos  
A1 A2  B1B2  C1C2
A  B  C  A2  B2  C2
2
1
2
1
2
1
2
2
2

N1  N 2
N1 N 2
.
Pema tome, dvije su ravni paralelne ako su paralelni njihovi vektori normala, tj ako je
A B C
N1   N 2 ili 1  1  1 , a normalne ako su njihovi vektori normala uzajamno normalni,
A2 B2 C2
tj. ako je N1  N 2  0 ili A1 A2  B1B2  C1C2  0 .
Udaljenost tačke M 0  x0 , y0 , z0  od ravni Ax  By  Cz  D  0 data je formulom:
d
Ax0  By0  Cz0  D
.
A2  B 2  C 2
Jednačina svežnja ravni (tj. ravni koje prolaze istom pravom ) glasi:
A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B2 y  C2 z  D2   0      .
Jednačina snopa ravni (tj. ravni koje prolaze istom tačkom ) glasi:
A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B2 y  C2 z  D2     A3 x  B3 y  C3 z  D3   0      .
1. Napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz z  osu i tačku M  2,1,1 . Nacrtati je.
1
2. Napisati jednačinu ravni koja prolazi tačkom M1  0, 1,3 i normalna je na vektor
M1M 2 , gdje je M 2 1,3,5 .
3. Napisati jednačinu ravni koja prolazi tačkom M1  2, 1,3 i :
a) na koordinatnim osama odsjeca jednake odsječke;
b) prolazi kroz x  osu;
c) prolazi kroz koordinatni početak i tačku M 2 1,1,1 .
4. Mapisati jednačinu ravni u obliku r  N   , koja je paralelna sa ravni r   2i  j   5 i
prolazi kroz tačku M1  0,1, 2  .
5. Kroz presjek ravni 4 x  y  3z  1  0 i x  5 y  z  2  0 postaviti ravan koja:
a) prolazi kroz tačku A  3, 0, 2  ;
b) paralelna je sa x0 y  ravni;
c) normalna je na ravan 2 x  y  5z  3  0 .
6. Izvesti vektorsku i skalarnu jednačinu ravni koja prolazi kroz kroz tri date
nekolinearne tačke.
7. Napisati jednačinu dvije uzajamno normalne ravni koje prolaze kroz presjek ravni:
x  y i z  0 ako jedna od traženih ravni prolazi kroz tačku  0, 4, 2  .
8. Napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku M1  2,5, 3 i presjek ravni:




r  3i  j  k  5 i r  i  2k  0 .
9. Naći ugao između ravni koja prolazi tačkama M1  0,0,0  , M 2  2, 2,0  i M 3  2, 2, 2  i
x0 y  ravni.
10. Napisati jednačinu simetralne ravni ugla diedra ravni x  y  z  0 i
x  y  z  2  0 .
11. Odrediti parametar  tako da se ravni x  y  z  0, 3x  y  z  2  0 i
4 x  y  2 z    0 sijeku po istoj pravoj.
12. napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz presjek ravni x  y  z  1  0 i
x  y  z  1  0 , a koja sa prvom ravni zaklapa ugao od 60 .
13. Napisati jednačinu ravni  koja je paralelna sa ravni 1 : 3x  6 y  2 z  14  0 i
udaljena je od nje za tri jedinice.
 x  2 y  3z  4  0
14. Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu 
i odsjeca jednake
 3x  z  5  0
odsječke na 0x  i 0y  osi.
2
Download

AG u prostoru