7. čas
4. Euklidska
Euklidska geometrija
Uvod
pripremila Tatjana Bajić
Geometrija
„
„
„
„
„
poreklo vuče iz starog Egipta -premeravanje
zemljišta
gea - zemlja, metrio - merenje
kao nauka
nauka, svoje korene vuče iz stare Grčke
induktivni metod zaključivanja zamenjuje se
deduktivnim
Euklid (III vek p.n.e.) - tvorac prvog
aksiomatskog
k i
t k sistema
i t
u naucii
osnovi matematike
2
Realni objekti
Svaki realan objekat
„ ima sopstveni oblik,
oblik
„ zauzima odredjen položaj prema
drugom objektu,
objektu
„ zauzima (zaprema) jedan deo prostora.
osnovi matematike
3
Geometrijsko telo
Odbacivanjem materijalnih odrednica realnih
objekata
j
(boja,
( j , hemijski
j sastav i sl.)) i
zadržavanjem samo pomenutih svojstava:
„ oblika,
oblika
„ položaja i
„ veličine zauzetog prostora
dolazimo do matematičkog
g pojma
p j
geometrijsko telo. osnovi matematike
4
Geometrijska površ
„
„
Misaona granica između geometrijskog
tela i prostora kome telo pripada je
geometrijska površ.
Granice realnih objekata mogu biti
ravne i krive, odatle i površi mogu biti
ravne i krive.
krive
osnovi matematike
5
Rogljasta i nerogljasta
geometrijska tela
Geometrijska tela ograničena:
„ samo ravnim površima nazivaju se
rogljasta tela;
„ bar jednom krivom površi su
nerogljasta tela; Tu spadaju
valjkasta kupasta i sferna geometrijska
valjkasta,
tela.
osnovi matematike
6
Geometrijska ravan
„
„
Zamišljenim ''protezanjem'' ravne površi
po celom prostoru u dve dimenzije,
dobijamo geometrisjku ravan.
Kad se jedan deo ravni misaono izdvoji,
izdvoji
dobijamo zatvorenu ograničenu
ravnu površ.
površ
osnovi matematike
7
Geometrijska linija
„
„
„
„
Presekom dve površi misaono
dobijamo geometrijsku liniju.
Zavisno od vrste površi koje se seku,
preseci mogu biti:
prava linija (dobija se u preseku ravnih
površi)
kriva linija (dobija se u preseku površi
od
d kojih
k h je bar
b jedna
d kriva)
k
)
osnovi matematike
8
Geometrijska prava i duž
„
„
Zamišljenim ''produžavanjem'' prave
linije po celoj ravni u jednoj dimenziji,
dobijamo geometrijsku pravu.
Ako zamislimo da jedan deo prave
izolujemo od ostalog dela, dobijamo
zatvorenu ograničenu pravu liniju
zatvorenu,
koju nazivamo geometrijska duž.
osnovi matematike
9
Geometrijska tačka
„
„
Geometrijska tačka nema nijednu
dimenziju i možemo je shvatiti:
kao granicu izmedju duži i preostalog
dela prave koja pripada duži ili
kao presek odnosno zajednički deo
linija.
linija
osnovi matematike
10
Geometrijske figure
„
„
Geometrijska tela, površi, ravni, linije,
prave duži i tačke su matematički objekti
prave,
odnosno nematerijalni, idealni objekti koji
se mogu samo zamisliti ili predstaviti
modelom i slikom.
U geometriji takvi objekti se nazivaju
geometrijske figure.
osnovi matematike
11
Pojmovi i simboli iz teorije
skupova
„
„
Geometrijske figure - neprazni
skupovi tačaka koji zadovoljavaju
odredjene zakonitosti.
Odatle u geometriji se koriste pojmovi i
Odatle,
simboli iz teorije skupova, relacijski
simboli =,, ∈,, .
osnovi matematike
12
Savremena euklidska geometrija
Formalna teorije koja se sastoji iz:
„ skupa osnovnih pojmova i simbola
„ skupa osnovnih stavova - aksioma
„ skupa
k
pravila
l izvođenja
đ
- zakona
k
dokazivanja
„ stavova kojima se nešto tvrdi i čije
tvrđenje treba dokazati - teorema
osnovi matematike
13
Osnovni geometrijski pojmovi i
simboli
„
„
„
„
„
(euklidski, trodimenzionalni) prostor E
tačke, koje obeležavamo velikim latinskim
slovima A, B, C,...
prave koje obeležavamo malim latinskim
prave,
slovima a, b, c,...
ravni,
i koje
k j obeležavamo
b l ž
malim
li grčkim
čki
slovima α, β, γ,...
i relacije:
l ij izmedju
i
dj i podudarno
d d
( ).
)
osnovi matematike
14
Osnovni stavovi - aksiome
Svrstani su u pet grupa:
I Aksiome pripadanja (ili veze) – 7 aksioma
II Aksiome rasporeda - 6 aksioma
III Aksiome podudarnosti - 7 aksioma
IV Aksiome neprekidnosti - 2 aksiome
V Aksioma paralelnosti - 1 aksioma
osnovi matematike
15
7. čas
pripremila Tatjana Bajić
4.1 Euklidska geometrija
Aksiome p
pripadanja
p
j
Aksiome rasporeda
Aksiome podudarnosti
Aksiome neprekidnosti
Aksioma paralelnosti
Pojmovi koji se definišu
„
„
Tri ili više tačaka koje pripadaju istoj
pravoj nazivaju se kolinearnim
tačkama.
Četiri ili više tačaka koje pripadaju istoj
ravni nazivaju se komplanarnim
tačkama.
tačkama
osnovi matematike
17
I Aksiome pripadanja
(ili veze)
1. Svaka prava sadrži najmanje dve razne
tačke.
2. Postoji najviše jedna prava koja sadrži
dve razne tačke.
3. Svaka ravan sadrži najmanje tri
nekolinearne tačke.
tačke
4. Postoji najviše jedna ravan koja sadrži
tri nekolinearne tačke.
č
osnovi matematike
18
I Aksiome pripadanja
(ili veze)
5. Ako dve razne tačke neke prave
pripadaju
i d j jednoj
j d j ravni,
i onda
d svaka
k
tačka te prave pripada istoj ravni.
6. Ako dve razne ravni imaju jednu
zajedničku tačku, onda one imaju
najmanje još jednu zajedničku tačku.
7. Postoje bar četiri nekomplanarne tačke.
osnovi matematike
19
II Aksiome rasporeda
1 Ako su A,B,C
1.
A B C tri kolinearne tačke takve
da je A-B-C, tada su svake dve od
tačaka A,B,C
A B C razne.
razne
2. Ako su A,B,C tri kolinearne tačke takve
d je
da
j A-B-C,
A B C tada
t d je
j C-B-A.
CBA
3. Ako su A,B,C tri kolinearne tačke takve
da je A-B-C, tada nije A-C-B.
4. Ako su A,B dve razne tačke, tada
postoji tačka C takva da je A-B-C.
osnovi matematike
20
II Aksiome rasporeda
5. Ako su A,B,C tri razne kolinearne tačke,
tada je A-B-C ili B-C-A ili C-A-B.
6. Ako su A,B,C tri nekolinearne tačke i p
prava koja pripada ravni ABC, ne sadrži
tačku A i seče pravu BC u tački P takvoj
da je B
B-P-C,
P C, tada prava p seče pravu
CA u tački Q takvoj da je C-Q-A ili
pravu AB u tački R takvojj da je
p
j A-R-B.
osnovi matematike
21
Ravanske figure
Duž, poluprava, poluravan,
poluprostor
l
t
- definicije -
osnovi matematike
22
Duž - definicija
„
„
„
Neka su A i B dve razne tačke.
Skup tačaka,
tačaka koji čine tačke A i B i sve
tačke izmedju njih naziva se duž.
Tačke A i B su krajnje tačke,
tačke a ostale
tačke su unutrašnje tačke duži AB.
osnovi matematike
23
Pojmovi
j
sa raznih strana
tačke, sa iste strane tačke
„
„
Neka su O, A, B tri kolinearne tačke
takve da je tačka O izmedju tačaka A i
B, u oznaci A-O-B. Tada kažemo da su
tačke:
A i B sa raznih strana tačke O;
O i B sa iste strane tačke A
A.
osnovi matematike
24
Poluprava - definicija
„
„
Skup svih tačaka prave p sa iste
strane tačke O je poluprava sa
početnom tačkom O.
Na svakoj pravoj p bilo koja tačka O
odredjuje dve poluprave Op i Op'.
osnovi matematike
25
Pojmovi
j
sa raznih strana
prave, sa iste strane prave
„
„
„
Neka je p prava neke ravni δ i A i B dve
razne tačke u ravni δ koje ne pripadaju
pravoj p.
Ako na pravoj p postoji tačka C takva da
je A-C-B, onda su A i B sa raznih
strana prave p.
Ako na pravoj p takva tačka C ne postoji,
onda su A i B sa iste strane prave p.
osnovi matematike
26
Poluravan - definicija
„
„
„
„
Neka
N
k jje p prava u ravnii δ.
δ
Unija tačaka prave p i svih tačaka ravni δ
sa iste strane prave p jeste poluravan
pδ sa graničnom pravom p.
Svaka prava p u ravni δ odredjuje dve
poluravni pδ i pδ'.
p
Napomena: Slično se definišu pojmovi
sa raznih strana ravni i sa iste strane
ravni.
osnovi matematike
27
Poluprostor - definicija
„
„
„
Neka je δ ravan u prostoru E.
Unija tačaka ravni δ i svih tačaka
prostora E sa iste strane ravni δ jeste
poluprostor δE sa graničnom ravni δ.
δ
Svaka ravan δ u prostoru E deli prostor
E na dva poluprostora.
poluprostora
osnovi matematike
28
Konveksnost i konkavnost definicija
Geometrijska figura F je
„ konveksna ako za svake dve tačke A i
B koje pripadaju figuri F, duž AB
pripada figuri F;
„ konkavna ako taj uslov nije ispunjen.
osnovi matematike
29
III Aksiome podudarnosti
1 Ako
1.
Ak su A,B,C,D
A B C D tačke
t čk ttakve
k d
da jje
AB ≅ CD i A=B, tada je C=D.
2. Ako su A i B bilo koje dve tačke, tada je
AB ≅ BA.
3. Ako su A,B,C,D,E,F tačke takve da je
AB ≅ CD i AB ≅ EF, tada je CD ≅ EF.
4. Ako su C i C' tačke dveju otvorenih
duži, AB i A
duži
A'B'
B , takve da je AC ≅ A
A'C'
C i
je matematike
i AB ≅ A'B'.
BC ≅ B'C', tadaosnovi
30
III Aksiome podudarnosti
5. Ako su A i B dve razne tačke i C teme
poluprave,
p
, tada na tojj polupravoj
p p
j
neke p
postoji tačka D takva da je AB ≅ CD.
6 Ako su A,B,C
6.
A B C tri nekolinearne tačke i A,
A
B tačke ruba neke poluravni takve da je
AB ≅ A
A'B',
B , tada u toj poluravni postoji
jedinstvena tačka C' takva da je
AC ≅ A
A'C'
C i BC ≅ B
B'C'.
C.
osnovi matematike
31
III Aksiome podudarnosti
7. Ako su A,B,C i A',B',C' dve trojke
nekolinearnih tačaka i D i D' tačke
polupravih BC i B'C' takve da je
AB ≅ A'B',, BC ≅ B'C',, CA ≅ C'A' i BD ≅ B'D',,
tada je i AD ≅ A'D'.
osnovi matematike
32
Posledice aksioma podudarnosti
(dokazuju se)
„
„
Dve ravanske figure su podudarne ako
se premeštanjem mogu dovesti do
poklapanja.
Relacija podudarnosti duži (kao i
podudarnosti figura uopšte) je relacija
ekvivalencije.
ekvivalencije
osnovi matematike
33
Posledice aksioma podudarnosti
(dokazuju se)
ƒ Ako je AB duž i A' početna tačka
poluprave
p
p
A'p,
p, tada na pravoj
p
j p postoji
p
j
samo jedna tačka B', takva da je
AB ≅ A'B'.
ƒ Ako su A,B,C tri razne tačke prave p i A' i
B' dve razne tačke p
prave p'
p takve da
AB ≅ A'B', tada postoji tačka C' prave p'
takva da je AC ≅ A'C' i BC ≅ B'C'.
osnovi matematike
34
Definicije nekih pojmova
vezanih za duž
ƒ Ako je S tačka i AB duž takva da je S∈ AB
i AS ≅ BS,, tada je
j tačka S središte duži
AB.
ƒ Ako su AB i CD dve duži i ako unutar duži
CD postoji tačka E takva da je AB ≅ CE,
tada kažemo da je duž AB manja od duži
CD (AB<CD) ili da je duž CD veća od
duži AB (CD>AB).
osnovi matematike
35
Definicija
j operacija
p
j sabiranja
j i
oduzimanja duži
Neka su AB i CD dve proizvoljne duži. Ako
na nekoj duži EF postoji tačka G takva da
je:
ƒ E-G-F i AB ≅ EG i CD ≅ GF, tada je duž EF
podudarna sa zbirom duži
ž AB i CD, što
š
zapisujemo EF ≅ AB+CD.
ƒ E-F-G
E F G i AB ≅ EG i CD ≅ FG,
FG tada
t d jje duž
d ž EF
podudarna sa razlikom duži AB i CD,
št zapisujemo
što
i j
EF ≅ AB-CD.
AB CD
osnovi matematike
36
Definicija kružnice
ƒ Ako su AB i AC dve podudarne duži
(AB ≅ AC) sa zajedničkom krajnjom
tačkom A,
A tada kažemo da su tačke B i C
jednako udaljene od tačke A.
ƒ Skup tačaka u ravni,
ravni jednako udaljenih od
jedne tačke O te ravni, naziva se
kružnica.
ƒ Tačka O je centar (središte) kružnice,
a odstojanje centra od bilo koje tačke na
kružnici je poluprečnik kružnice r.
osnovi matematike
37
Definicija kruga
Neka je O tačka u ravni i r data duž.
duž
ƒ Skup tačaka M u ravni sa svojstvom da je
OM ≤ r jeste krug.
krug
Odnosno,
ƒ Unija tačaka kružnice i svih tačaka u
njenoj unutrašnjosti je krug.
Oznaka za kružnicu: k(O,r)
g K(O,r).
( , )
odnosno za krug:
osnovi matematike
38
Položaj tačke prema krugu
Neka je K(O,r) dati krug.
j j tačke A od centra kruga
g O
ƒ Odstojanje
naziva se njeno centralno odstojanje
OA.
ƒ Ako je OA<r, tada je tačka A u krugu.
ƒ Ako je OA=r, tada je tačka A na kružnici.
ƒ Ako je OA>r, tada je tačka A van kruga.
osnovi matematike
39
Sečica i tangenta - definicije
„
„
Prava koja sa krugom ima jednu
zajedničku tačku naziva se dirka ili
tangenta kruga.
Prava koja sa kružnicom ima dve
zajedničke tačke naziva se sečica
kružnice.
kružnice
osnovi matematike
40
IV Aksiome neprekidnosti
1. Arhimed-Eudoksova aksioma
Ako
k su AB i CD
C dve
d proizvoljne
i lj duži,
d ži
tada na polupravoj AB postoji konačan
niz
i tačaka
t č k A1, A2,...,A
An takvih
t k ih da
d je
j
A1-A2-...-An, pri čemu je svaka od duži
AA1, A1A2,...,A
An-1An podudarna
pod da na duži
d ži CD i
A-B-An.
osnovi matematike
41
IV Aksiome neprekidnosti
2. Kantorova aksioma
Ako je
Ak
j A1B1; A2B2, ...,A
AnBn,... niz
i duži
d ži
neke prave takvih da svaka od tih duži
sadrži
d ži sledeću,
l d ć ttada
d postoji
t ji tačka
t čk X koja
k j
pripada svakoj duži tog niza.
osnovi matematike
42
V Aksioma paralelnosti
Plejferova aksioma
Za svaku pravu a i tačku B van nje, u
ravni odredjenoj pravom a i tačkom B,
B
postoji jedna i samo jedna prava b koja
sadrži tačku B i koja sa pravom a nema
zajedničkih tačaka.
osnovi matematike
43
Paralelnost pravih - definicija
Paralelnost pravih - definicija
ƒ Prave a i b su p
paralelne,, u oznaci a||b,,
ako i samo ako je
i. a=b (odnosno prave a i b se
poklapaju) ili
ii. prave a i b pripadaju istoj ravni i
nemaju zajedničkih
č
tačaka.
č
ƒ Dve paralelne (različite) prave odredjuju
j d i samo jednu
jednu
j d ravan.
osnovi matematike
44
Paralelnost prave i ravni definicija
ƒ Prava je paralelna sa ravni ako joj
pripada ili sa njom nema zajedničkih
tačaka.
č k
ƒ Dve ravni su paralelne ako su
id tič ili ako
identične
k nemaju
j zajedničkih
j d ičkih
tačaka.
Može se dokazati da je relacija paralelnosti
ravni relacija ekvivalencije
ekvivalencije.
osnovi matematike
45
Prodor prave kroz ravan
T.B.1
ƒ Ako prava i ravan imaju jednu zajedničku
tačku, tada kažemo da prava prodire
ravan.
ƒ Ako je prava koja prodire ravan,
normalna na bar dve prave te ravni koje
prolaze kroz njen prodor, tada kažemo
da je prava normalna na ravan.
osnovi matematike
46
Slide 46
T.B.1
Nije prethodno data definicija kada su dve prave međusobno normalne
Tanja Bajic; 28.3.2012
8. čas
pripremila Tatjana Bajić
4.2
4.
2 Euklidska geometrija
Ugao i mnogougao
Diedar i rogalj
osnovi matematike
47
Ravanske figure
Ugao i mnogougao
- definicije
f
-
osnovi matematike
48
Definicija ugla
„
„
„
Unija dve poluprave Op i Oq sa
zajedničkom početnom tačkom O jeste
ugaona linija pOq.
Poluprave Op i Oq su kraci ugla,
ugla a
tačka O je teme ugla.
Unija ugaone linije pOq i jedne od
ugaonih oblasti odredjenih ovom
ugaonom linijom je ugao ∢pOq.
∢pOq
osnovi matematike
49
Vrste uglova
„
„
Neka poluprava Or pripada oblasti ugla
∢pOq. Uglovi ∢pOr i ∢rOq koji pored
kraka Or nemaju drugih zajedničkih
tačaka su susedni uglovi.
uglovi
Dva susedna ugla čiji slobodni kraci su
poluprave iste prave nazivaju se
uporedni uglovi.
osnovi matematike
50
Vrste uglova
„
„
„
Ugao jednak svom uporednom uglu je
prav ugao, a prave koje ih obrazuju su
uzajamno normalne prave.
Ugao
g čiji
j kraci obrazuju
j pravu
p
(ili
( oblast
ugla je poluravan) je opružen ugao.
Uglovi ∢pOq i ∢p
∢p'Oq'
Oq čiji kraci su Op i Op
Op'
različite poluprave iste prave a, a kraci Oq i
Oq' različite poluprave iste prave b, zovu se
Oq
unakrsni uglovi. osnovi matematike
51
Mnogougaona linija - definicija
Neka su A1, A2,..., An, (n ≥ 3) konačan skup
j tri uzastopne
p
tačaka u ravni,, tako da nikoje
tačke nisu kolinearne. Unija duži A1A2, A2A3,
A3A4,...,An-1An, naziva se izlomljena
j
linija.
j Ako je:
j
ƒ A1 ≠ An, izlomljena linija je otvorena
ƒ A1 ≡ An, izlomljena linija je zatvorena ili
mnogougaona linija.
Tačke A1, A2,..., An su temena, a duži A1A2, A2A3,
A3A4,...,An-1An su stranice izlomljene linije.
osnovi matematike
52
Mnogougao - definicija
Mnogougao je unija tačaka
mnogougaone linije i unutrašnje oblasti.
Mnogougao može biti:
ƒ prost (ako nikoje dve stranice
nemaju zajedničkih tačaka, sem što
svake
k d
dve susedne
d stranice imaju
zajedničko teme)
ƒ složen
l ž
( suprotnom).
(u
t
)
osnovi matematike
53
Uglovi mnogougla
Dve susedne stranice mnogougla obrazuju
ugaonu liniju koja odredjuje dva ugla:
ƒ unutrašnji ugao mnogougla (ugao
koji
oj sadrži
ad unutrašnje
u u a j tačke
a
mnogougla);
ogoug a);
ƒ spoljašnji ugao mnogougla
((naporedan
p
ugao
g unutrašnjem
j
uglu).
g )
osnovi matematike
54
Klasifikacija mnogouglova
Mnogouglovi se mogu klasifikovati prema:
ƒ broju stranica (odnosno temena i uglova) trouglovi, četvorouglovi,
petouglovi,...,n-touglovi.
ƒ konveksnosti - konveksne i nekonveksne
(konkavne)
ƒ odnosu
d
stranica i uglova
l
na - pravilne
il
i
nepravilne. (Mnogougao je pravilan ako
su mu sve stranice
t i jednake
j d k i svii unutrašnji
t š ji
uglovi jednaki.) osnovi matematike
55
Trougao - definicija
Trougao je mnogougao koji ima
„ tri stranice i
„ tri ugla,
odnosno
d
svojstva:
„ trostraničnost i
„ trougaonost.
osnovi matematike
56
Podela trouglova prema
odnosu stranica
„
„
„
jednakostranični trouglovi (sve tri
stranice su podudarne)
jednakokraki trouglovi (imaju dve
stranice koje su podudarne i nazivamo
ih kracima, a treću stranicu osnovicom)
nejednakostranični trouglovi
(nemaju ni jedan par podudarnih
stranica)
osnovi matematike
57
Podela trouglova prema vrsti
uglova
„
„
„
kosougli
k
li trouglovi
l i (svi
( uglovi
l
su manji od
d
pravog ugla odnosno oštri su)
pravougli trouglovi (imaju jedan prav
ugao, a druga dva su oštra; stranica
naspram pravog ugla je najveća i naziva se
hipotenuza, a ostale dve stranice se nazivaju
katete; za njega važi Pitagorina teorema)
tupougli
p g trouglovi
g
(jedan ugao
(j
g je
j tup,
p, a
druga dva su oštra)
osnovi matematike
58
Neka svojstva trougla
„
„
„
„
U bilo kom trouglu naspram veće stranice
je veći ugao i obrnuto.
U jednakokrakom trouglu naspram
podudarnih stranica su podudarni uglovi.
uglovi
Svaka stranica trougla je manja od zbira
druge dve
dve, a veća od njihove razlike.
razlike
Zbir uglova u trouglu jednak je
opruženom
ž
uglu.
l
osnovi matematike
59
Četvorougao
Četvorougao
Četvorougao je mnogougao koji ima:
„ četiri stranice i
„ četiri ugla.
Napomena:
Nadalje razmatramo samo konveksne
četvorouglove
četvorouglove.
osnovi matematike
60
Klasifikacija četvorouglova
Prema broju parova paralelnih stranica:
„ paralelograme (imaju dva para
paralelnih stranica)
„ trapeze (imaju jedan par paralelnih
stranica)
„ trapezoide
id (nemaju
(
paralelnih
l l h
stranica)
osnovi matematike
61
Svojstva paralelograma
„
„
„
„
dve po dve naspramne stranice su
paralelne i jednake
dijagonale se polove
susedni uglovi su suplementni odnosno
njihov zbir jednak je opruženom uglu
zbir
b unutrašnjih
š h uglova
l
jednak
d k je dva
d
opružena ugla
osnovi matematike
62
Pravougaonik, kvadrat i romb
- definicije
„
„
„
Pravougaonik je paralelogram kod
koga je jedan ugao prav.
Kvadrat je jednakostranični
pravougaonik.
pravougaonik
Romb je jednakostranični paralelogram.
Svaki paralelogram je centralnosimetrična
figura.
osnovi matematike
63
PRAVOUGAONIK
KVADRAT
osnovi matematike
ROMB
64
Dijagonale paralelograma
„
„
„
Kod jednakostraničnih
paralelograma (kvadrat, romb),
dijagonale su normalne i predstavljaju
ose simetrije.
Kod pravougaonika dijagonale su
jednake.
jednake
Odatle, dijagonale kvadrata su jednake,
normalne i predstavljaju ose simetrije.
simetrije
osnovi matematike
65
Trapez - definicija
„
„
„
„
Trapez je četvorougao koji ima jedan
par paralelnih stranica.
Paralelne stranice trapeza zovu se
osnovice a druge dve kraci trapeza.
osnovice,
trapeza
Trapez čiji su kraci jednaki naziva se
jednakokraki trapez.
trapez
Trapez čiji je jedan krak normalan na
osnovice naziva se pravougli
li trapez.
osnovi matematike
66
Deltoid - definicija
Deltoid je trapezoid kod koga su dve i
dve susedne stranice jednake.
Karakteristična svojstva deltoida:
„ Dijagonale deltoida su uzajamno
normalne.
„ Dijagonala
l koja
k
spaja temena u kojima
k
se sastaju podudarne stranice je osa
simetrije deltoida
d l d i druge
d
dijagonale.
d
l
„
osnovi matematike
67
Prostorne figure
Diedar i rogalj
- definicije -
osnovi matematike
68
Diedar - definicija
„
„
„
„
Unija dve poluravni sa zajedničkom
graničnom pravom jeste diedarska
površ koja prostor deli na dve oblasti.
Poluravni su strane,, a zajednička
j
prava
p
je ivica diedarske površi.
Diedar je unija diedarske površi i jedne
od oblasti na koje ona deli prostor.
Dve ravni koje se seku obrazuju 4 diedra.
diedra
osnovi matematike
69
Ugao diedra
„
„
„
Diedri mogu biti: konveksni i konkavni,
susedni, uporedni, unakrsni i sl.
Ugao diedra je ugao čiji su kraci dve
poluprave koje su normalne na ivicu
diedra u istoj tački, a pripadaju raznim
stranama diedra.
diedra
Ako je ugao diedra prav onda i za diedar
kažemo da je prav.
prav
osnovi matematike
70
Rogalj - definicija
Neka
N
k jje A1A2...A
An mnogougao i S tačka
t čk van
ravni tog mnogougla.
Skup svih polupravih sa početkom u S,
S koje
sadrže po jednu tačku mnogougla obrazuju
geometrijsku figuru koja se zove rogalj.
rogalj
U zavisnosti od mnogougla rogalj može biti:
ƒ prost ili složen;
ƒ konveksan ili nekonveksan;
ƒ n-tostran, n=3,4,5,...
osnovi matematike
71
Elementi roglja
ƒ tačka S je teme roglja
ƒ poluprave SA1, SA2,..., SAn, su ivice
roglja
ƒ uglovi ∢A1SA2, ∢A2SA3,..., ∢An-1
n 1SAn su
ivični uglovi roglja
ƒ svaka dva susedna ivična ugla obrazuju
diedar roglja.
osnovi matematike
72
9. čas
pripremila Tatjana Bajić
4. 3 Euklidska geometrija
Geometrijska
Geo
et js a tela
te a
osnovi matematike
73
Prosta poliedarska površ
površ
Prosta poliedarska površ je unija konačnog broja
mnogouglova, takvih da:
„ Svaka stranica mnogougla pripada samo tom
mnogouglu ili najviše još jednom susednom
mnogouglu;
l
„ Svaka dva nesusedna mnogougla pripadaju
d
dvema
različitim
ličiti ravnima;
i
„ Svaka dva mnogougla mogu se povezati nizom
mnogouglova iz tog skupa tako da svaka dva
uzastopna člana tog niza
budu susedni.
osnovi matematike
74
Vrste poliedarske površi
površi
Prosta poliedarska površ može biti:
„ otvorena,
otvorena ako postoje stranice koje
pripadaju samo jednom mnogouglu;
„ zatvorena,
zatvorena ako je svaka stranica
zajednička za dva mnogougla.
osnovi matematike
75
Elementi proste poliedarske
površi
„
„
„
mnogouglovi su strane (pljosni)
poliedarske površi;
stranice mnogouglova su ivice
poliedarske površi;
temena mnogouglova su temena
poliedarske površi.
površi
osnovi matematike
76
Prosta, zatvorena poliedarska
površ
Prosta, zatvorena poliedarska površ
razdvaja prostor na dva disjunktna skupa
tačaka:
„ spoljašnju
lj š j oblast
bl
i
„ unutrašnju oblast poliedarske površi.
osnovi matematike
77
Spoljašnja
p j
j oblast
poliedarske površi
„
Predstavlja skup tačaka sa osobinom da
za svaku od njih postoji prava koja sa
poliedarskom površi nema zajedničkih
tačaka
osnovi matematike
78
Unutrašnja oblast poliedarske
površi
Predstavlja
P
d t lj skup
k tačaka
t č k ttakvih
k ih da
d za
svaku od njih postoji prava koja sa
poliedarskom površi ima
„ dve zajedničke tačke - konveksna
poliedarska površ
ili
„ više zajedničkih tačaka - konkavna
poliedarska
li d
k površ.
š
osnovi matematike
79
Poliedar - definicija
„
„
„
„
Poliedar
P
li d je
j unija
ij proste,
t zatvorene
t
poliedarske površi i njene unutrašnje
oblasti.
bl ti
Poliedri - rogljasta tela
Odnos između broja strana (p),
p
temena ((t)) i ivica ((i)) poliedra:
t+p=i+2 (Ojler).
Značajni poliedri: prizme i piramide
osnovi matematike
80
Prizma - definicija
„
„
Poliedar koji ima n+2 strane, od kojih
su 2 strane paralelni i podudarni n
ntougli, a n strana su paralelogrami,
naziva se prizma.
Paralelne strane prizme nazivamo
osnovama a ostale strane bočnim
osnovama,
stranama prizme.
osnovi matematike
81
Klasifikacija prizmi
„
„
„
prema odnosu bočnih ivica i osnove - na
prave i kose
prema broju osnovnih ivica odnosno
bočnih strana - na 3-strane,
3-strane 4-strane,...
4-strane
na pravilne i nepravilne (pravilna
prizma je prava prizma čija je osnova
pravilan mnogougao)
osnovi matematike
82
Paralelopiped, kvadar i kocka definicije
„
„
„
Četvorostrana prizma čije su strane
paralelogrami je paralelopiped.
Paralelopiped čije su sve strane
pravougaonici je pravougli
paralelopiped odnosno kvadar.
Kvadar čije su sve ivice jednake
(odnosno čije su sve strane podudarni
kvadrati) je kocka.
kocka
osnovi matematike
83
Paralelopiped, kvadar i kocka
osnovi matematike
84
Piramida - definicija
„
„
Poliedar koji ima n+1 stranu od kojih je
jedna n
n-tougao,
tougao, a ostalih n strana su
trouglovi sa jednim zajedničkim
temenom naziva se piramida.
Trougaone površi piramide nazivaju se
bočne strane,
strane a n
n-tougao
tougao osnova n
ntostrane prizme.
osnovi matematike
85
Klasifikacija piramida
„
„
na prave i kose (Piramida je prava
ako su bočne ivice jednake. Inače je
kosa.)
na pravilne i nepravilne (Piramida je
pravilna ako je piramida prava i u
osnovi piramide je pravilan n
n-tougao
tougao.
Inače je nepravilna.)
osnovi matematike
86
Tetraedar - definicija
„
„
Trostrana piramida se zove tetraedar.
Tetraedar čije su sve 4 strane
jednakostranični trouglovi jeste
pravilan tetraedar.
tetraedar
osnovi matematike
87
Četvorostrana piramida
Četvorostrana
osnovi matematike
88
Pravilan poliedar - definicija
Poliedri koji su:
„ ograničeni podudarnim,
podudarnim pravilnim
mnogouglovima,
„ svi diedri su im jednaki,
jednaki i
„ u svakom temenu se sastaje isti broj
ivica
nazivaju se pravilni poliedri.
osnovi matematike
89
Broj pravilnih poliedara
Ukupan broj pravilnih poliedara je
ograničen jer:
„ zbir ivičnih uglova (unutrašnjih uglova
mnogougla) kod jednog temena
poliedra mora biti manji od 4 prava
ugla i
„ broj ivičnih uglova kod jednog temena
ne može
ž b
biti manji od
d 3.
3
osnovi matematike
90
Pravilni poliedri
„
„
„
tetraedar, oktaedar, ikosaedar (strane
su jednakostranični trouglovi)
heksaedar ili kocka (svih šest strana su
kvadrati)
dodekaedar (strane su mu 12
podudarnih petouglova)
osnovi matematike
91
osnovi matematike
92
Nerogljasta telatela-definicija
Obrtna telatela-definicija
„
„
„
Geometrijska tela čija bar jedna površ
nije ravna nazivaju se nerogljasta
tela.
Geometrijska figura dobijena obrtanjem
neke površi oko prave (koja se zove osa
obrtanja) jeste obrtno telo
telo.
Obrtna tela spadaju u nerogljasta tela.
osnovi matematike
93
Značajna obrtna tela
„
„
„
valjak - nastaje obrtanjem
pravougaonika oko jedne svoje stranice
kupa - nastaje obrtanjem pravouglog
trougla oko jedne katete
lopta - nastaje obrtanjem kruga oko
svog prečnika;
č ik Površ
P š llopte
t naziva
i se
sfera.
osnovi matematike
94
Valjak, kupa i lopta
Valjak
Lopta
p
Kupa
osnovi matematike
95
Geometrijska tela
„
Rogljaste i nerogljaste geometrijske
figure se jednim imenom zovu
geometrijska tela.
osnovi matematike
96
Download

Еуклидска геометрија