Analitička geometrija u ravni – Prava
Oblici jednačine prave:
1. Eksplicitni oblik jednačine prave: y  kx  n ;
2. Implicitni oblik jednačine prave: Ax  By  C  0 ;
x y
3. Segmentni oblik jednačine prave:   1 ;
m n
4. Normalni oblik jednačine prave: x cos   y sin   p  0 .
Udaljenost tačke M1  x1 , y1  od prave Ax  By  C  0 računa se po formuli
d
Ax1  By1  C
 A2  B 2
.
Ugao  između pravih y  k1 x  n1 i y  k2 x  n2 računa se prema formuli tg 
Prave y  k1 x  n1 i y  k2 x  n2 su međusobno okomite ako je k1  
k2  k1
.
1  k1k2
1
, a paralelne ako je
k2
k1  k2 .
Ako prava ima koeficijent pravca k i prolazi tačkom M1  x1 , y1  onda njena jednačina glasi:
y  y1  k  x  x1  .
Jednačina prave koja prolazi tačkama M1  x1 , y1  i M 2  x2 , y2  glasi:
y  y1
x  x1
.

y2  y1 x2  x1
Skup svih pravih koje prolaze tačkom S zove se pramen pravih sa vrhom u tački S . Ako su
A1 x  B1 y  C1  0 i A2 x  B2 y  C2  0 dvije prave koje se sijeku u tački S , onda je jednačina
njihovog pramena data sa A1 x  B1 y  C1    A2 x  B2 y  C2   0 .
Jednačine simetrala uglova koje obrazuju prave A1 x  B1 y  C1  0 i A2 x  B2 y  C2  0
A x  B1 y  C1 A2 x  B2 y  C2

 0 gdje znak  odgovara simetrali koja prolazi
glase: 1
 A12  B12
 A2 2  B2 2
kroz ugao ( ili njegov unakrsni ugao) u kome ne leži koordinatni početak, a znak  odgovara
simetrali kroz ugao u kome leži koordinatni početak.
1. Na pravoj 4 x  3 y  12  0 nađi tačku podjednako udaljenu od tačaka  1, 2  i
1, 4  .
1
2. Naći jednačinu prave koja prolazi tačkom
 2, 1
ako njen odsječak između paralela
x  y  5  0 i x  y  2  0 iznosi 5 .
3. Zadane su tačke A  3,3 i B  0, 2  . Na pravoj x  y  4  0 nađi tačku iz koje se vidi
segment AB pod uglom od 45 .
4. Vrh pramena 2 x  3 y  20    3x  5 y  27   0 je tjeme kvadrata čija dijagonala
ima jednačinu x  7 y  16  0 . Nađi jednačinu druge dijagonale kao i stranica
kvadrata.
5. Kroz tačku M  1,1 povuci pravu tako da sredina njenog odsječka između paralelnih
pravih x  2 y  1  0 i x  2 y  3  0 leži na pravoj x  y  1  0 .
6. Naći jednačine stranica trougla ABC ako se zna njegovo tjeme B  2, 7  , jednačina
visine ha : 3x  y  11  0 i težišne linije tc : x  2 y  7  0 koje polaze iz različitih
tjemena.
7. Zadana su tjemena trougla A 1, 2  i B  3, 4  te kosinusi uglova uz ta tjemena
3 10
2 5
i cos  
. Napisati jednačine stranica trougla i naći koordinate
10
5
trećeg tjemena.
cos  
8. Na pravoj 2 x  y  5  0 naći tačku P tako da suma rastojanja od tačaka A  7,1 i
B  5,5 bude minimalna.
9. Zadana su tjemena trougla ABC A  0,1 B  2,5 i C  4,9  . Napiši jednačine
stranica romba upisanog u taj trougao ako im je tjeme A zajedničko, dvije stranice
romba leže na stranicama AB i AC trougla , a tjeme suprotno tjemenu A leži na
stranici BC .
10. Zadane su jednačine visina 7 x  y  0 i x  y  0 koje odgovaraju kracima
jednakokrakog trougla. Ako površina trougla iznosi 80 kvadratnih jedinica, naći
njegova tjemena.
2
Download

I Vježbe: Vektori u ravni i prostoru