Milutin Kojić
Matematika 1
PARALELNOST
Definicija 1: Za prave p i q se kaže da su paralelne, u oznaci p  q ako je p=q ili prave p
i q pripadaju jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.
Aksioma paralelnosti: Za svaku pravu p i svaku tačku A van te prave, postoji tačno jedna
prava koja sadrži tačku A i paralelna je pravoj p.
Već smo pominjali geometriju Lobačevskog. Po toj
geometriji, kroz tačku A je moguće povući dve različite
prave koje ne seku pravu p. Iako deluje nelogično i
teško nam je to da zamislimo, i ta geometrija je jednako
moguća kao i Euklidova. Ipak, mi se njom nećemo dalje
baviti.
Definicija 2: Za prave p i q se kaže da su mimoilazne ako ne postoji ravan kojoj
pripadaju obe te prave.
Definicija 3: Prava p je paralelna datoj ravni α u oznaci p   ako je p   ili
p    .
Milutin Kojić
Matematika 1
Definicija 4: Ravni a i ß su paralelne u oznaci α||ß ako je α=ß ili      .
Teorema o paralelnosti prave i ravni: Prava a je paralelna ravni α ako i samo ako u ravni
α postoji prava paralelna pravoj a.
ZADACI:
1. Relacija paralelnosti je relacija ekvivalencije. Dokazati.
Rešenje: Potrebno je samo ispisati osobine relacije ekvivalencije. Više nego očigledno je
da svaka od tih osobina važi.
2. Dokazati da dve različite paralelne prave a i b određuju jednu ravan.
3. Neka su a, b i c tri prave ravni π. Ako je a  b i prava c seče pravu a, dokazati da prava
c seče i pravu b.
Rešenje: Pretpostavimo suprotno, da c ne seče b. Pošto su to prave jedne ravni znači da je
c  b . Neka je c  a  {M }. Sada postoje dve prave a i c koje sadrže tačku M i obe su
paralelne pravoj b. ovo je suprotno aksiomi paralelnosti. Dakle, mora prava c seći i pravu
b.
4. Da li su istiniti sledeći iskazi:
a) Postoji prava c paralelna sa dve mimoilazne prave b i c.
b) Svake dve prave koje su paralelne jednoj ravni paralelne su među sobom.
c) Svake dve ravni koje su paralelne jednoj pravoj paralelne su među sobom.
Rešenje: Nijedan od iskaza nije tačan.
5. Koliko najviše ravni određuju mimoilazne prave p i q i tačke A,B i C?
6. Koliko najviše ravni određuju paralelne prave p i q i tačke A,B i C?
7. Neka su a, b, c, d četiri paralelne prave, među kojima nikoje tri ne pripadaju jednoj
ravni. Koliko ravni određuju ove prave?
8. Koja od svojstava refleksivnost, simetrija, antisimetrija i tranzitivnost ima relacija
„mimoilaznih pravih“?
9. Ako jedna prava prodire jednu od dve paralelne ravni, dokazati da prodire i drugu.
Milutin Kojić
Matematika 1
Download

PARALELNOST