Milutin Kojić
Matematika 2
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku),
ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
skupovi.
Definicija 1: Skupovi predstavljaju kolekcije matematičkih objekata koji su međusobno
slični po određenim kriterijumima.
Na primer, kolekcija učenika u jednoj učionici jeste jedan skup.
U matematici se skupovi najčešće obeležavaju velikim slovima A,B,C... a ako se radi o
skupovima brojeva koriste se oznake: N , Z , Q, R .
Iako je većina ovih stvari svima poznata, nije na odmet da se zajedno toga podsetimo.
Oznake koje se uobičajeno koriste su: a  A -element a pripada skupu A
a  A - element a ne pripada skupu A
A  {a |  (a)} -skup svih elemenata za koje važi  (a)
Takođe moguće je definisati i prazan skup. Kao što mu ime kaže, to je skup koji u sebi
ne sadrži nijedan element i obeležava se oznakom  .
U matematici se skupovi mogu zadavati na tri različita načina:
1) analitički, na primer A  {1, 2,3, 4}
2) sintetički (opisno), na primer A  {x  N | x  7}
3) grafički- putem Venovih dijagrama.
Definicija 2: Skupovi A i B su jednaki ako su svi elementi jednog skupa elementi i
drugog i obrnuto, tj: A  B akko (x)( x  A  x  B) .
Definicija 3: Skup A je podskup skupa B ili u oznaci A  B ako i samo ako važi:
(x)( x  A  x  B) . Drugim rečima skup A je podskup skupa B ako se čitav skup A
nalazi unutar skupa B. U tom slučaju se kaže i da je skup B nadskup skupa A.
Teorema 1: Za skupove A i B važi: A  B akko A  B i B  A .
Dakle jednakost skupova se pored tradicionalnog načina
(po definiciji) kada dokazujemo da je svaki element
jednog skupa sadržan i u drugom i obratno, može
dokazati i primenom ove teoreme, i to u dva koraka.
Milutin Kojić
Matematika 2
Veoma je važno napomenuti da se elementi nekog skupa prilikom
navođenja mogu bezbroj puta ponavljati a da to nema apsolutno nikakav
efekat.
Primer: Neka je A  {1, 2,3,1, 2,3,1, 2,3,1,1,1,1}, B  {1, 2,3} Postavlja se
pitanje da li su ova dva skupa jednaka? Neko bi rekao da nisu jer nemaju isti
broj elemenata. Zaista na prvi pogled izgleda da je skup A veći od skupa B
ali to zapravo nije tako. Ovi skupovi jesu jednaki. Ponavljanje istih
elemenata unutar jednog skupa isto je kao i njegovo jedinstveno navođenje!
Takođe, redosled navođenja elemenata nije bitan. To znači da je potpuno
svejedno da li ćemo skup zapisati kao A  {1, 2} ili A  {2,1} .
Uvešćemo sada neke skupovne operacije: presek, uniju, razliku i komplement:
Definicija 4: Presek skupova A i B u oznaci A  B je skup {x | x  A  x  B} .
Definicija 5: Unija skupova A i B u oznaci A  B je skup {x | x  A  x  B} .
Definicija 6: Razlika skupova A i B u oznaci A \ B je skup {x | x  A  x  B} .
Milutin Kojić
Matematika 2
Definicija 7: Komplement skupa A oznaci A ' je skup {x | x  A} .
Ovo Ω predstavlja neki širi skup u kome se nalazi naš
skup A. To je na primer, skup realnih brojeva
Definicija 8: Skup svih podskupova skupa A naziva se partitivni skup tog skupa i
obeležava se oznakom P ( A) .
ZADACI:
1. Dati su skupovi A  {a, b, c, d} i B  {a, c, e} . Odrediti skupove A  B, A  B, A \ B .
2. Dati su skupovi A  {m, n, p, q}, B  {m, n, r}, C  {m, p, q} . Odrediti skupove:
a) ( A  B)  C; b) ( A  C )  B; c) ( A \ B) \ C.
3. Dati su skupovi:
A  {x | x    x 2  4}, B  {x | x    x  2  3}; C  {x | x    x |12};
D  {x | x je prost broj  x  8}; E  {x | x    | x | 3}; F  {x | x    | x | 4}
Odrediti skupove:
a) ( A  B) \ (C  D); b) ( A \ B)  (C \ D); c) ( A  B) \ (C  D);
d ) ( A \ B)  (C \ D); e) ( E  C )  ( F  D); f ) ( F \ D)  ( B \ E ).
4. Ako su [a, b],[a, b), (a, b], (a, b) uobičajene oznake za zatvorene, poluotvorene i
otvorene intervale na brojnoj osi, izračunati:
a)[0,3]  (1, 7); b) ( 5, 2]  (2, 4);
c) (, 0)  (2,3); d ) ( , 1)  ( 2, );
e) ((, 1)  (1, ))  (2, 2); f ) (( 5, 4]  (7,9])  (0,10];
g ) ((,3)  [0, ))  (5,5]; h) ((2, 0]  (2, ))  [ 1,3).
Milutin Kojić
Matematika 2
5. Dokazati da važi:
a ) A  A  A; b) A  A  A; c ) A  B  B  A;
d ) A  B  B  A; e) A  ( B  C )  ( A  B )  C ;
f ) A  ( B  C )  ( A  B )  C ; g ) A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C );
h) A  ( A  B )  A; i ) A  ( A  B )  A;
j ) ( A  B) '  A ' B '; k ) A  A '  ;
Rešenje: Zadaci ovakvog tipa rešavaju se primenom definicije o jednakosti skupova. Dva
skupa su jednaka ako i samo ako se svaki elemenat jednog nalazi i u drugom i obratno.
Na taj način zadatak koji rešavamo svodimo na iskaze i dokazujemo da je neki iskaz
tautologija. Ovo ćemo pokazati na primeru pod i) A  ( A  B)  A . Pošto se radi o
skupovima potrebno je da važi: (x) x  ( A  ( A  B))  ( x  A) . Ako dalje primenimo
definiciju za osnovne operacije nad skupovima možemo dobiti da je:
( x  A)  ( x  ( A  B))  ( x  A) pa je dalje: ( x  A)  (( x  A)  ( x  B))  ( x  A)
sada ćemo izvršiti neku vrstu smene u ovoj formuli i napisati da je ( x  A)  p i ( x  B)  q
i onda imamo p  ( p  q)  p , što primenom već stečenog znanja bez problema
možemo rešiti.
I ostali primeri se rešavaju na isti način, za slučaj da se u nekom izrazu pojavi na pr.
x  A , taj iskaz ćemo zameniti identičnim iskazom ( x  A) .
6. Dokazati da važi:
a) A  ( A ' B )  A  B; b) A  B  ( A  B )  ( A ' B )  ( A  B ');
c) ( A  B)  ( A  B ')  A; d ) ( A  B ')  ( A ' B ')  B '.
7. Dokazati da važi:
a) A \   A; b) A \ ( B  C )  ( A \ B)  ( A \ C );
c) A  ( B \ C )  ( A  B) \ (C \ A);
d ) ( A \ B) \ C  A \ ( B  C ).
8. Dokazati da važi:
a) A  B  A  B;
b) ( A  B) \ (C  D)  ( A \ C )  ( B \ D)
9. Odrediti partititivne skupove sledećih skupova:
a) A  {a}; b) B  {a, b}; c) C  {a, b, c}.
Rešenje:
P( A)  {,{a}}; P( B)  {,{a},{b},{a, b}};
P(C )  {,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}.
10. Unija dva skupa ima 15 elemenata, jedan od njih ima 8, a njihov presek 5 elemenata.
Koliko elemenata ima drugi skup?
11. U prevodilačkoj agenciji radi 52 prevodioca. Među njima 20 govori ruski, 19
Milutin Kojić
Matematika 2
francuski, a 35 engleski. Dalje, poznato je da ruski i engleski govori 11 prevodilaca,
francuski i ruski 7, a francuski i engleski njih 9.
a) Koliko prevodilaca govori sva tri jezika?
b) Koliko njih govori samo ruski?
Uputstvo: Ovakvi zadaci najlakše se rešavaju crtanjem Venovih dijagrama.
DODATAK – SIMETRIČNA RAZLIKA I ZADACI
Osim operacija nad skupovima koje smo do sada videli, postoji još jedna, i to je
simetrična razlika. Simetrična razlika skupova A i B, u oznaci AB jeste skup
AB  ( A \ B)  ( B \ A) .
1. Dokazati da za ovu operaciju važi:
a) AB  ( A  B) \ ( A  B); b) AB  BA;
c) AA  ; d ) A( BC )  ( AB)C;
e) A( AB)  B;
f ) A  B  ( AB)( A  B);
2. Naći sve skupove X za koje je AX  B ako je A  {a, b, c, d}, B  {b, c, e}.
3. Ako iz S  A  B sledi S  A , ili S  B , dokazati da je A  B ili B  A .
4. Dokazati:
a ) P ( A  B )  P ( A)  P( B)
b) P ( A)  P ( B )  P ( A  B)
Rešenje: Ovaj zadatak se radi primenom stava da su dva skupa jednaka ako i samo ako je
prvi podskup drugog i drugi podskup prvog. Dakle, potrebno je dokazati dve stvari:
Prvo da je P( A  B)  P( A)  P( B) i drugo da je P( A  B)  P( A)  P( B) .
Da bismo dokazali da je: P( A  B)  P( A)  P( B) , po definiciji je potrebno da
dokažemo da je ako X  P( A  B)  X  ( P( A)  P( B)) . Iz tvrđenja da X  P( A  B)
znači da je X  ( A  B) , što dalje znači da je X  A  X  B što je ekvivalentno sa
X  P( A)  X  P( B)  X  P( A)  P( B) što je i trebalo dokazati.
Sada dokazujemo drugu stranu, tj. da je P( A  B)  P( A)  P( B) . Iz tvrđenja
X  P( A  B)  X  ( P( A)  P( B)) znamo da je X  P( A)  X  P( B) , što dalje znači
da je X  A  X  B , pa ako je neki skup istovremeno podskup i skupa A i skupa B,
Milutin Kojić
Matematika 2
mora biti da je i podskup njihovog preseka. Dakle, to znači da je X  ( A  B) što znači
da je X  P( A  B) a to je i trebalo dokazati.
5. Rešiti skupovne jednačine:
a){1, 2}  X  {1, 2,3};
c){1, 2,3}  X  {1, 2}.
b){1, 2}  X  {1, 2,3};
6. Na jednom skupu, među 20 učesnika, 16 govori engleski, 15 francuski, a 17 nemački
jezik. Dokazati da bar osam učesnika govori sva tri jezika.
7. Odrediti P(), P({}), P({,{}}).
Rešenje:
P()  {}; P({})  {,{}};
P({,{}})  {,{},{{}},{,{}}}
Download

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE