Zadaci iz Geometrije 4
ˇ
Srdan Vukmirovi´c, Tijana Sukilovi´
c
2. mart 2015
1
Stereometrija
1. Data je kocka P QRSP1 Q1 R1 S1 ivice a. Dokazati da je tetraedar P RQ1 S1 pravilan i odrediti mu
ivicu.
2. Dat je pravilan tetraedar ABCD ivice d. Neka su M i N redom srediˇsta duˇzi AB i CD. Dokazati
da je M N zajedniˇcka normala mimoilaznih pravih AB i CD. Odrediti duˇzinu duˇzi M N.
3. Dat je pravilan tetraedar ABCD ivice d i njemu dualan tetraedar P QRS.
a) Odrediti vezu izmedu ivica, povrˇsine i zapremine ova dva tetraedra.
b) Ako sa T oznaˇcimo zajedniˇcko teˇziˇste tetraedara, pokazati da su tetraedri homotetiˇcni, sa
centrom homotetije T i koeficijentom − 31 .
4. Dat je pravilan tetraedar ABCD ivice d. Odrediti:
a) visinu tetraedra;
b) ugao izmedu dve susedne pljosni;
c) ugao izmedu ivice AB i pljosni BCD;
d) ugao izmedu ivice AB i visine trougla BCD (iz temena B);
e) ugao izmedu visine tetraedra iz temena D i pljosni BCD.
5. Data je kocka ABCDA1 B1 C1 D1 . Odrediti ugao izmedu:
a) prostorne dijagonale A1 C i ivice BC;
b) prostorne dijagonale A1 C i dijagonale osnove AC;
c) prostornih dijagonala A1 C i B1 D;
d) prostorne dijagonale A1 C i ravni BC1 D;
e) ravni ACD1 i AB1 C1 D.
6. Dat je pravilan oktaedar ABCDEF ivice a. Odrediti:
a) ivicu kocke opisane oko oktaedra;
b) ivicu kocke upisane u oktaedar;
c) odnos zapremina upisane i opisane kocke.
7. Dokazati da su kocka i oktaedar cetralno simetriˇcna tela.
Primedba: Odavde sledi da su naspramne pljosni oktaedra paralelne.
8. Dat je pravilan oktaedar ABCDEF ivice a. Odrediti:
a) visinu oktaedra EF ;
b) ugao izmedu dve susedne pljosni.
9. Data je kocka ABCDA1 B1 C1 D1 . Neka je M srediˇste ivice A1 D1 i S srediˇste kocke. Dokazati da
je prava M S ortogonalna na prostornu dijagonalu B1 D. Odrediti presek kocke i ravni koja sadrˇzi
taˇcku S i ortogonalna je na pravu B1 D.
10. Odrediti ravan ˇciji je presek sa kockom paralelogram koji nije pravougaonik. Da li presek kocke i
ravni moˇze biti trapez?
11. Odrediti ravan ˇciji je presek sa oktaedrom pravilan ˇsestougao.
12. Dat je tetraedar ABCD. Neka su M i N redom srediˇsta duˇzi BD i CD. Odrediti presek tetraedra
sa ravni koja sadrˇzi pravu M N i paralelna je ivici AD.
2
Projektivna preslikavanja
1. Odrediti sliku taˇcke M (1, 3) pri rotaciji oko taˇcke C(−2, 3) za ugao φ = 5π
.
6
Doma´ci: Odrediti sliku taˇcke M (2, 5) pri homotetiji sa centrom C(1, 2) i koeficijentom k = 3.
2. Konstruisati sliku 4ABC pri homotetiji sa centrom u taˇcki A sa koeficijentom k = −2.
Doma´ci: Konstruisati sliku kvadrata ABCD pri rotaciji oko taˇcke A za ugao φ = π4 .
3. Odrediti afino preslikavanje (kao kompoziciju translacije i homotetije) koje pravougaonik ABCD,
A(2, 3), B(5, 3), C(5, 9), D(2, 9), preslikava u pravougaonik A0 B 0 C 0 D0 , A0 (0, 0), B 0 (1, 0), C 0 (1, 2),
D0 (0, 2). Skicirati!
4. Odrediti afino preslikavanje (kao kompoziciju rotacije, homotetije i translacije) koje kvadrat
ABCD, A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2), preslikava u kvadrat SCP D, gde je S = AC ∩ BD,
a P se odreduje kao ˇcetvrta taˇcka kvadrata. Skicirati!
5. Odrediti formule afinog preslikavanja f koje preslikava kanonski” trougao A0 B0 C0 , A0 (0, 0),
”
B0 (1, 0), C0 (0, 1), u trougao ABC, A(1, 2), B(2, 4), C(3, 3).
6. Odrediti formule afinog preslikavanja koje trougao ABC preslikava u trougao A0 B 0 C 0 , ako je
A(1, 1), B(1, 2), C(4, 4) i A0 (5, −4), B 0 (7, −8), C 0 (4, 1). Odrediti odnos povrˇsina tih trouglova.
Da li trouglovi imaju istu orijentaciju? Da li je preslikavanje izometrija?
7. a) Odrediti jednaˇcinu u homogenim koordinatama prave koja sadrˇzi taˇcke A(1, 25 ) i B(−3, 0).
b) Pokazati da taˇcka C(−1 : 5 : 3) pripada pravoj AB.
c) Odrediti presek prave AB sa pravama m : x1 + 2x2 − x3 = 0, n : 2x1 − x2 + 3x3 = 0.
d) Odrediti taˇcku D takvu da vaˇzi H(A, B; C, D).
e) Odrediti dvorazmeru (ABM N ), gde je M = AB ∩ m, N = AB ∩ n.
f) Odrediti prave a i b koje sadrˇze presek pravih m i n, i pri tom vaˇzi a k AB, b 3 C.
g) Odrediti dvorazmeru (amnb).
Primedba: Ovde se moˇze koristiti i dvorazmera preseˇcnih taˇcaka jer je AB ∩ a beskonaˇcno daleka.
8. Date su kolinearne taˇcke A(1, 1), B(5, 5), C(−1, −1), D 32 , 32 . Koriste´ci afini smisao dvorazmere,
izraˇcunati (A, B, C, D).
9. Telefonski stubovi A, B, C, D, E, F . . . su u stvarnsoti udaljeni 40m i kolinearni. Koja je pozicija
slika stubova D,E, F na perspektiivnom crteˇzu ako je A0 B 0 = 5cm, B 0 C 0 = 4cm?
10. U euklidskoj ravni date su taˇcke A(−1, 1), B 0, 23 i C 25 , 52 . Ako je projektivno preslikavanje f
zadato matricom:


−5 −11
8
5 −2  ,
P =  −1
6
12 −6
odrediti sliku unutraˇsnjosti trougla 4ABC. Nacrtati sliku.
11. Odrediti projektivno preslikavanje kojim se pravougaonik ABCD, A(−2, −1), B(2, −1), C(2, 1),
D(−2, 1) slika u trapez A0 B 0 C 0 D0 , A0 (−3, −1), B 0 (3, −1), C 0 (1, 1), D0 (−1, 1).
Primedba: Srediˇsta duˇzi AB i CD, kao i beskonaˇcno daleka taˇcka prave AB jedine su fiksne taˇcke
ovog preslikavanja. Zaˇsto?
12. Dokazati da su osa s, protivosa u i horizont v 0 medusobno paralelne prave.
13. Dokazati da je perspektivno kolinearno preslikavanje odredeno sa
a) centrom S, osom s i parom taˇcaka A, A0 ;
b) centrom S, osom s i parom pravih a, a0 ;
c) centrom S, osom s i protivosom u;
d) centrom S, osom s i horizontom v 0 ;
e) centrom S, protivosom u i horizontom v 0 .
14. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovaraju´cih taˇcaka M, M 0 . Konstruisati sliku kvadrata u toj homologiji.
15. Dati su centar S, osa s i protivosa u homologije. Ako kvadrat seˇce protivosu, konstruisati njegovu
sliku.
Doma´ci: Dati su centar S, osa s i protivosa u homologije. Ako trougao seˇce protivosu, konstruisati
njegovu sliku.
16. Afina homologija je zadata osom s i parom odgovaraju´cih taˇcaka S i S 0 . Konstruisati sliku kruga
sa centrom S u toj homologiji.
17. Data je ve´ca osa AB elipse i taˇcka M koja pripada elipsi. Konstruisati manju osu elipse.
18. U proizvoljan ˇcetvorougao upisan je trapez ˇcije su osnove paralelne jednoj dijagonali ˇcetvorougla.
Dokazati da se boˇcne strane trapeza seku na drugoj dijagonali ˇcetvorougla.
19. Date su prave a i a0 koje se seku u taˇcki S van crteˇza i taˇcka P van pravih a i a0 . Konstruisati
pravu P S.
3
Krive II reda
1. Pokazati da je krug projektivno ekvivalentan hiperboli/paraboli.
2. Odrediti centar krive II reda date jednaˇcinom x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 0. Odrediti tangentu iz taˇcke
A(2 : 2 : −1) na tu krivu.
3. Direktrisa elipse/hiperbole/parabole je polara odgovaraju´ce ˇziˇze. Dokazati.
4. Dokazati da srediˇsta tetiva elipse i hiperbole koje su paralelne jednom dijametru te krive pripadaju
ˇ se deˇsava u sluˇcaju parabole?
njemu konjugovanom dijametru. Sta
5. Date su taˇcke A, B, C, D, E nedegenerisane krive II reda Γ i prava p 3 A. Konstruisati drugu
preseˇcnu taˇcku krive Γ i prave p.
6. Date su asimptote p, q i jedna tangenta t na hiperbolu Γ. Iz taˇcke S ∈ t konstruisati drugu
tangentu na hiperbolu Γ.
7. Date su taˇcke A, B, C i pravac o0 ose parabole, kao i prava p 3 A. Konstruisati drugu preseˇcnu
taˇcku prave p i parabole.
Download

Задаци за рад на вежбама