Centralno projektovanje i perspektiva
Srdjan Vukmirovi´c1
27. maj 2014.
1
slike su preuzete iz [1]
Centralno projektovanje
Neka je π fiksirana ravan u prostoru, koju zovemo projekcijska
ˇna tac
ˇka ili
ravan i O 6∈ π fiksirana taˇcka koju zovemo oc
centar projektovanja.
Definicija
Centralno projektovanje je preslikavanje prostora na ravan
π koje taˇcku M preslikava u taˇcku M c = OM × π.
Centralno projektovanje ima slede´ce osobine:
ˇcuva kolinearnost i konkurentnst
ˇcuva dvorazmeru
ˇ
NE CUVA:
paralelnost, duˇzine, uglove, razmeru . . .
NIJE bijekcija (slika prostor na ravan)
Ravan π0 koja je paralelna ravni π i sadrˇzi taˇcku O zove se ravan
ˇezavanja.
isc
Ako centralno projektovanje posmatramo u projektivnom prostoru
onda se taˇcke ravni π0 slikaju na beskonaˇcno daleke taˇcke ravni π.
Tada je centralno projektovanje definisano za sve taˇcke prostora,
sem za taˇcku O.
Ako bi centralno projekovanje posmatrali u euklidskom prostoru,
ono ne bi bilo definisano na taˇckama ravni π0 .
Nedogled prave i nedoglednica ravni
Neka je p proizvoljna prava prostora i p0 prava koja je paralelna sa
p i sadrˇzi oˇcnu taˇcku O. Taˇcka
c
P∞
= p0 × π
zove se nedogled prave p. Ta taˇcka je centralna projekcija
beskonaˇcno daleke taˇcke p∞ prave p.
Teorema
Dve prave su paralelne ako i samo ako imaju isti nedogled.
Primedba
Ako je p k π tada je p c k p i na toj pravoj projektovanje ˇcuva
ˇ
razmeru. Staviˇ
se, ako je p k q k π tada je p c k q c .
Neka je α proizvoljna ravan prostora i α0 ravan koja je paralelna sa
α i sadrˇzi oˇcnu taˇcku O. Prava
c
a∞
= α0 ∩ π
zove se nedoglednica ravni α. Ta prava je centralna projekcija
beskonaˇcno daleke prave a∞ ravni α.
Teorema
Dve ravni su paralelne ako i samo ako imaju istu nedoglednicu.
Teorema
Prava p je paralelna ravni α ako i samo ako nedogled prave
c ∈ ac . (Napomena: ovo
pripada nedoglednici ravni, tj. p∞
∞
obuhvata i sluˇcaj kada p ⊂ α)
Perspektivno crtanje
Moˇzemo re´ci da je perspektivno crtanje je geometrijska
aproksimacija ljudskog vida koja koristi centralnu projekciju.
Ono daje realniji utisak o prostoru od paralelnog ili kosog
projektovanja. Bliˇzi objekti izgledaju ve´ci, a paralelne prave kao da
se seku u beskonaˇcnosti.
Ono se koristi kako od strane umetnika, dizajnera, arhitekata
. . . tako i u raˇcunarskoj grafici. U raˇcunarskoj grafici se centralno
projektovanje raˇcuna u homogenim koordinatama.
Uvek pretpostavljamo da je ravan projektovanja π
upravna na pravac pogleda, a da je centar
ˇa!
projektovanja O oko posmatrac
Dakle, kako pomeramo pogled, tako se pomera i ravan π. Isto je i
u raˇcunarskoj grafici.
Slika: Primer perspektivnog crteˇza: perspektiva iz jedne taˇcke
Pri perspektivnom crtanju najviˇse koristimo nedoglede i horizont.
Horizont je nedoglednica horizontalnih ravni.
Slika: Paralelne prave imaju isti nedogled. Nedogledi svih horozontalnih
pravih su na horizontu.
Slika: Odredjivanje nedogleda paralelnih ivica kvadra
Slika: Vertikalne ivice se projektuju paralelno jer su normalne na pravac
gledanja (tj. paralelne sa π). Dobijamo perspektivu iz dve taˇcke
Slika: Pogled ”odozgo” i pogled ”odozdo”
Slika: Kod pogleda ”odozgo” horizont je iznad projekcije kocke. Tre´ca
tak¸a perspektive je ispod horizonta (i kocke). Perspektiva je sada iz tri
taˇcke
Slika: Kod pogleda ”odozdo” horizont je ispod projekcije kocke.
Primedba
Moˇze se pokazati da je taˇcka u koju gledamo (tzv. glavna taˇcka)
c Q c R c koji je odredjen nedogledima tri
ortocentar trougla P∞
∞ ∞
pravca medjusobno paralelnih pravih (recimo ivica kvadra ili kocke).
Slika: Zadamo li dva telefonska stuba i nedogled . . .
Slika: Odredjene su slike svih telefonskih stubova (pretpostavljamo da su
u realnosti oni na jednakom rastojanju)
Slika: Centralno projektovanje ne ˇcuva duˇzinu, ali ˇcuva dvorazmeru
Primedba
Duˇzine se prenose tako ˇsto se izabere pomo´cna taˇcka nedogleda
(proizvoljno), pa se duˇzine iz nje projektuju. Pri tome se ˇcuva
dvorazmera (razmera se ne ˇcuva).
Slika: Pokuˇsajte da nacrtate ovaj crteˇz
Slika: ”Poploˇcani pod” je zadat samo jednom ploˇcicom i nedogledima
Slika: Za crtanje koristimo da su dijagonale takodje paralelne, pa imaju
isti nedogled.
Slika: Postoji i nedogled drugih dijagonala. Koje su ˇcetiri taˇcke na
horizontu harmonijski konjugovane?
References
Perspective Drawing Handbook, J. D’Amelio, Dover, 1964.
Download

Слајдови са предавања (перспектива)