Matematiˇcka radionica mladih
- ord¯e Barali´c
D
Zadaci sa povrˇsinama
1. Dokazati da je povrˇsina trougla jednaka proizvodu poluobima i
polupreˇcnika upisanog kruga.
P =r·s
2. Neka je ABCD konveksan ˇcetvorougao i E, F, G, H srediˇsta stranica
AB, BC, CD, DA redom. Dokazati da je EF GH paralelogram ˇcija je
povrˇsina jednaka polovini povrˇsine ˇcetvorougla ABCD.
3. Neka su P, Q i R taˇcke na stranicama BC, CA i AB trougla ABC,
respektivno. Prave AP, BQ i CR seku se u T . Dokazati da je
TQ
TR
TP
+
+
= 1.
AP
BP
CR
ˇ
4. Dvanaestougao
je upisan u kruˇznicu. Sest
stranica tog dvanaestougla ima
√
duˇzinu 3, a ˇsest ima duˇzinu 4. Izraˇcunati povrˇsinu dvanaestougla.
5. Dat je pravilan ˇsestougao ABCDEF i proizvoljna taˇcka P untar tog
ˇsestougla. Dokazati da je zbir povrˇsina trouglova P AB, P CD i P EF jednak
zbiru povrˇsina trouglova P BC, P DE i P F A.
6. Dijagonala trapeza
√ ABCD(AB k CD) deli srednju liniju na odseˇcke od 3cm
i 4cm. Ako je krak 5cm, izraˇcunati povrˇsinu trapeza.
7. Izraˇcunati povrˇsinu pravilnog dvanaestougla ˇcija je najve´ca dijagonala 2 cm.
8. Dat je jednakostraniˇcni trougao 4ABC ˇcija je povrˇsina 7cm2 . Na
stranicama AB, BC i CA date su redom taˇcke P, M i N , tako da je
AP : P B = BM : M C = CN : N A = 2 : 1. Prave AM, BN i CP seku se u
taˇckama Q, R i S. Odrediti povrˇsinu trougla 4QRS.
9. Neka je ABCD konveksan ˇcetvorougao i E, F, G, H srediˇsta stranica
AB, BC, CD, DA redom. Taˇcka M se nalazi unutar ˇcetvorougla ABCD i
ˇcetvorougao AEM H je paralelogram. Dokazati da je tada i ˇcetvorougao
M F CG paralelogram.
10. U oˇstrouglom trouglu 4ABC taˇcka D je srediˇste stranice BC. Neka taˇcka
E deli duˇz AD, tako da je AE : ED = m : n i neka prava BE seˇce stranicu
AC u taˇcki F . odrediti odnos povrˇsina trouglova 4ABF i 4BCF .
1
11. Odrediti povrˇsinu trapeza ako su osnovice a = 30, b = 16, a kraci c = 15 i
d = 13.
12. Data su dva paralelograma ABCD i DEF G, takva da duˇz AB sadrˇzi
taˇcku E, a duˇz F G sadrˇzi taˇcku C. Dokazati da ova dva paralelograma imaju
jednake povrˇsine.
13. Oˇstri uglovi nejednakokrakog trapeza su komplementarni. Izraˇcunati obim
i povrˇsinu trapeza, ako je jedan krak 15 cm, manja osnovica 14 cm i visina 12
cm. Odrediti povrˇsinu trapeza.
14. Ako je S bilo koja taˇcka unutar jednakostraniˇcnog trougla, a M, N, P
podnoˇzja normala iz taˇcke S na stranice trougla, dokazati da je
SM + SN + SP = h
gde je h visina tog jednakostraniˇcnog trougla.
15. Dokazati da u svakom trouglu vaˇzi jednakost:
1
1
1
1
+
+
=
ha
hb
hc
r
gde se ha , hb , hc visine i r polupreˇcnik upisanog kruga.
16. U trouglu 4ABC su date stranice a i b tako da je hc = ha + hb . Izraˇcunati
stranicu c.
17. Da li je mogu´ce kvadrat dimenzija 9 × 4 izrezati na dva dela od kojih se
moˇze sastaviti kvadrat?
18. Neka su x, y, z rastojanja unutraˇsnje taˇcke T trougla 4ABC od stranica
a, b, c, a ha , hb , hc odgovaraju´ce visine. Dokazati da je:
x
y
z
+
+
= 1.
ha
hb
hc
19. Neka je ABCD konveksan ˇcetvorougao povrˇsine S i taˇcke M i N dele duˇz
AB na tri jednaka dela, a taˇcke P i Q dele duˇz CD na tri jednaka dela.
Odrediti povrˇsinu ˇcetvorougla M N P Q u zavisnosti od S.
20. Dva ˇcetvorougla imaju zajedniˇcka srediˇsta stranica. Dokazati da onda oni
imaju jednake povrˇsine. Isti zadatak uraditi i za ˇsestouglove.
2
Download

Matematicka radionica mladih