FTN, Pripremna nastava
Inženjerstvo zaštite životne sredine,
Inženjerstvo zaštite na radu,
Upravljanje rizikom od
katastrofalnih dogadaja
i požara,
¯
ˇ
Ciste
energetske tehnologije
Zoran Ovcin
Školska 2014/15
1
Program rada
Linearna funkcija, linearna jednaˇ
ˇ
cina,
linearna nejednacina
Kvadratna funkcija, trinom, jednaˇ
ˇ
cina,
nejednacina,
Vietove formule
Racionalni izrazi, funkcije, jednaˇ
ˇ
cine,
nejednacine
2
Polinomi
Stepenovanje, korenovanje, jednaˇ
ˇ
cine,
nejednacine
ˇ
Eksponencijalna funkcija, jednacine,
ˇ
nejednacine
3
ˇ
Logaritamska funkcija, jednacine,
ˇ
nejednacine
Trigonometrijske funkcije, jednaˇ
ˇ
cine,
nejednacine
4
Planimetrija
Stereometrija
ˇ
Analiticka
geometrija u ravni
Rad na kalkulatoru, limesi, izvodi
Probni kolokvijum
5
Zadaci
Linearna funkcija, linearna jednaˇ
ˇ
cina,
linearna nejednacina
Izraˇcunati
1.
2.
(−1)
0.32 + 2.5(−2) − 34
2(−2)
0.75+ 12 −1
6
3.
2 2−2
·
3−2 3
4.
1
1− 34
2
: − 32
−2
− 1−1 1
1− 21
Izraziti y kao linearnu funkciju po x i x kao linearnu funkciju po y
5. 3x + 4y = 1
6. 34 x − 65 y = − 12
7. x − 4y + 1 = 0
8.
x−3y
2+x
9.
1
2−y
= 1, (x 6= −2)
=1
Skicirati pravu u ravni
y
x
2+3
10. y = 1 − x
13.
11. y = −2 + 2x
14. x − 3y = 2
12. y = 2 + 0x
15. x = 2
7
=1
Rešiti nejednaˇcinu
16. 1 − x > 0
18.
1
x−1
17. −2 + 2x < 0
19.
1
1
x − x−1
>1
>0
Kvadratna funkcija, trinom, jednaˇ
ˇ
cina,
nejednacina,
Vietove formule
Rešiti jednaˇcinu
20. x2 + x − 6 = 0
21. 6x2 + 5x = 6
8
22. −x2 − x + 43 = 0
24. x2 + 1 = 0
23. 32x2 + 112x + 48 = 0
25. x2 + x + 1 = 0
Faktorisati kvadratni trinom
26. x2 + x − 6
30. x2 − 1
27. x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2
31. x2 + 1
28. ax2 + bx + c
32. x2 − x + 1
29. 5 x2 + 5 x − 30
33. x2 − 16 x − 61
9
Skicirati grafik funkcije
34. y = x2 + x − 6
37. y = x(x − 3)
35. y = −x2 + 4x + 21
38. y = 4 − x2
36. y = x2 + x + 1
39. y = x2 + 2x + 1
Rešiti nejednaˇcinu
40. x2 + x < 6
44. −x2 + 4x + 5 < 0
41. x2 > 4x + 21
45. x2 + 4x + 4 > 0
42. x2 + x > −1
46. (x + 2)(x + 1)(x − 1) > 0
43. x(x − 3) < 0
47. x3 + 2x2 − 15x > 0
10
Odrediti parametar tako da jednaˇcina nema rešenja u skupu
realnih brojeva
48. 3x2 + 6x − a = 0
49. (k − 2)x2 + 2(k − 2)x + 2 = 0
50. Za koje m je zbir korena jednaˇcine x2 + (2 + m − m2 )x − m2 =
0 jednak nuli?
51. Za koje m je nejednakost mx2 − (m + 2)x + m + 2 > 0 taˇcna
za svako x ∈ R?
52. Odrediti m tako da jednaˇcina x2 −(m+1)x−4 = 0 ima realna
i razliˇcita rešenja.
11
53. Za koje k jednaˇcina (2k − 5)x2 − 2(k − 1)x + 3 = 0 ima samo
jedno realno rešenje?
54. Za koje k jednaˇcina (k − 2)x2 + 2(k − 2)x + 2 = 0 nema realna
rešenja?
55. Izraˇcunati x13 + x23 gde su x1 i x2 koreni jednaˇcine 3x2 − ax +
2a − 1 = 0.
56. Odrediti k tako da jedan koren jednaˇcine x2 − 15
4 x+k = 0
bude kvadrat drugog.
12
Racionalni izrazi, funkcije, jednaˇ
ˇ
cine,
nejednacine
Rešiti nejednaˇcinu
57.
9
7
+
<
(x − 2)(x − 3)
x−3
−1
−2x2 + 8x + 162
≤ −3
60.
x2 − x − 56
2x2 − 14
58. 2
>1
x + x − 12
61.
x2 − 2x − 10
≤1
59. 2
x − x − 12
x − 13
≥ 1−x
x−3
3x2 − 7x + 8
62. 1 <
≤2
x2 + 1
13
63. Uprostiti izraz.
a−b
a4 − b4
=
c) 2
a − 2ab + b2 a2 + ab
1
1
−
d) a − x a + x =
1
1
+
a−x a+x
a3 − 1
=
a) 2
a −1
a+b a−b
−
a
−
b
a+b =
b)
a−b
1−
a+b
64. Skicirati grafik funkcije
a) y =
1
x
b) y = 1 −
1
x−1
1
d) y = 2
x
c) y =
1
x
14
Polinomi
Podeliti polinome i proveriti dovodenjem
na zajedniˇcki imenilac.
¯
4 x3 + 12 x2 + 21 x + 17
65.
2 x2 + 3 x + 4
x8 − 16
67. 2
x +2
x4 + x3 − 3x2 − x + 2
66.
x+1
2x5 + x4 − x3 − x2 + 2
68.
x−3
69. Znaju´ci da je p(1) = 4, odrediti nepoznati koeficijent k polinoma p = x3 − x2 + k x + 12, a zatim faktorisati p.
70. Znaju´ci da je p(−2) = 7, odrediti nepoznati koeficijent k polinoma p = x4 + x3 + kx2 + x + 1, a zatim faktorisati p.
15
71. Odrediti a i b tako da jednakost
bude taˇcna za svako x ∈ R.
a
5x + 13
b
=
+
x2 + 5x + 6 x + 2 x + 3
a
x2 − 4 − 5 x
=
72. Odrediti a, b, c, tako da jednakost
+
(x − 2) (x2 + 1) x − 2
bx + c
bude taˇcna za svako x ∈ R.
x2 + 1
16
Stepenovanje, korenovanje, jednaˇ
ˇ
cine,
nejednacine
73. Uprostiti izraz.
a) (5 − 2( 43 )0 )−2 =
2
b) (a3 )5 =
g)
h)
2
35
c) a =
qp
3 √
4 12
d)
x =
√
√
√
4
4
4
2
3
3
e) 5a 5a b 25a3 b =
q q 2 q
f) yx2 z 3 xzy 4 xy
=
z3
i)
j)
k)
l)
17
q
5
x4 y4
z
p
3
q
x9 y2
z8
q
:
: 15
5 q 2 4
10
x−4 y−6
z−9
3 x
=
xy2
y
p
√ p √
5
x3x: 4 x3x=
p √ 3 p√ √
x x : 3x x=
p
(a < 0) , a2 (a − 1)4 =
p
(x ≤ −1) , (x + 1)2 =
=
74. Proveriti jednakost.
p
p
√ p
√
√
3
6
a) 2 + 3 2 − 3 = 2 + 3
√
√
b) x2 − 6x + 9 + x2 + 6x + 9 = 6
75. Racionalisati izraze.
1
√ =
3+ 5
1
e) √
=
3
3−1
1
a) √ =
2
1
=
b) √
5 3
2
1
c) √
=
2−2
d) √
18
ˇ
Eksponencijalna funkcija, jednacine,
ˇ
nejednacine
76. Rešiti jednaˇcinu
√
3
x2
√
3 2
5 · 3 x −1
3
2
=
3
.
5
1
77. Rešiti jednaˇcinu 3 x − 12 · 3 x + 27 = 0 .
78. Rešiti 23x 3x − 23x−1 3x+1 + 288 = 0 .
79. Rešiti jednaˇcinu 8x − 7x = 7x−1 .
√x+2
1
≥ 5−x .
80. Rešiti nejednaˇcinu 5
81. Rešiti nejednaˇcinu
x+1
5 1−2x < 0.2−3 .
19
p
√
3
82. Rešiti jednaˇcinu log10 75 + 5 x−1 = 1 .
ˇ
Logaritamska funkcija, jednacine,
ˇ
nejednacine
83. Da li je taˇcno? (Precrtati netaˇcno)
log2 1 = 0
log 1 = 0
ln 1 = 0
ln e = 1
log2 23 = 3
ln − e = −1
log2 (2 + 3) = (log2 2)(log2 3)
ln 56 = ln 7 ln 8
log(−3)2 = 2 log(−3)
log((−2)(−3)) = log(−2) log(−3)
log −2
−3 = log 2 − log 3
20
84. Izraˇcunati.
a) log 0.01 =
d) log2 e ≈
b) log2 32 =
e) log2 10 ≈
c) log2 0.125 =
85. U istom koordinatnom sistemu nacrtati grafike funkcija.
a) y = 2x , y = 2−x
b) y =
86. Skicirati grafike funkcija.
a) y = 3x + 1
x
b) y = 21 − 12
1 x
2 ,
c) y = 2x+2
d) y = log 1 x
2
21
y = log 1 x
2
87. Odrediti oblast definisanosti funkcije.
c) y = log2x−x2 5
a) y = log3 (2x − 12 )
b) y = log5 x+3
x+1
88. Rešiti jednaˇcinu.
a) 4x = 8
x
1
b)
= 125
25
x
9
c)
= 0.75
16
d) 3x
e)
22
2 −4x
1
81−x
=
1
27
= 163x−5
89. Rešiti jednaˇcinu.
a) 4x : 32 = 42x : 80.5
9 r
2
7 3
1.55x
b) 1.5−1.5x =
3
2
s
−1.5 −x
3x
4
4
−3 7
c)
= 1.75
7
4
7
2
1
d) 3x −4x =
27
90. Rešiti jednaˇcinu.
a) 4x − 3 · 2x + 2 = 0
b) 9x = 8 · 3x + 9
c) 4x − 2x+2 + 4 = 0
23
√
√
d) 3 x 81 − 10 x 9 + 3 = 0
e) 34x+8 − 4 · 32x+5 + 27 = 0
91. Rešiti jednaˇcinu.
a) 3x+1 + 3x = 108
b) 5x + 3 · 5x−2 = 140
c) 7 · 3x+1 − 5x+2 = 3x+4 − 5x+3
d) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 7x−2 + 7x−1
92. Rešiti jednaˇcinu.
a) log x = log 2 + log 10 − log 5
b) log x = − log 2 − 3 log 3 − log 4
24
c) log(x + 1) + log x = 3
d) log2 (x − 1) + log2 x = 1
93. Rešiti nejednaˇcinu.
a) 23−6x > 1
x
b) 31 > 91
x2 + 2
c) 0.2 x2 − 1 > 25
d) 52x+1 > 5x + 4
e) 2x + 2 · 2−x − 3 < 0
94. Rešiti nejednaˇcinu.
a) log2 (9 − 2x ) > 3
25
b) log 1 (x − 1/2) + log 1 (x − 1) ≥ 1
2
c) log3
2
(13 − 4x ) > 2
d) log0.5 (2x + 1) + log0.5 2x ≥ 1
Trigonometrijske funkcije, jednaˇ
ˇ
cine,
nejednacine
95. Da li je taˇcno? (Precrtati netaˇcno)
cos 0 = 0
sin(−x) = − sin x
cos 1 = 1
sin 92π = 1
sin π6 = 12
cos π3 = 21
26
cos(−x) = − cos x
sin(− π2 ) = −1
cos(2013π ) = 1
tg π4 = 1
cos 92π = cos 42π
96. Popuniti tabelu.
π
8
2π
3
3π
4
5π
6
5π
4
− π3
sin
cos
tg
97. Skicirati grafik funkcije.
a) y = sin(π /2 − x)
b) y = 1 − sin x
27
9π
2
=
4π
2
98. Rešiti jednaˇcinu u intervalu (−π , π ].
a) sin x = 1/2
d) tg(2x) =
√
b) cos(2x) = − 2/2
√
3/3
e) 2 sin x + tg x = 0
c) sin2 x = −2 cos x + 2
99. Rešiti nejednaˇcinu u intervalu (−π , π ].
a) cos x < 1/2
c) tg (2x) <
√
3
b) 4 sin2 x < 3
100. Izraˇcunati
sin
5π
3π
7π
3π
+ cos
− tg + ctg
.
2
6
4
6
101. (a) U skupu realnih brojeva rešiti jedn. (cos x + sin x)2 = 1.
28
(b) Na skupu (−π , π ] rešiti nejednaˇcinu cos(2x) ≥
√
2
2 .
102. Rešiti pravougli trougao.
a) a = 1/2, α = π /6
√
b) b = 3/2, α = π /6
c) c = 2, a = 1
√
d) a = 3, β = π /6
102. Izraˇcunati vrednost izraza
ugao za koji je tgα =
3
4
10
, gde je α oštar
25 sin(2α ) + 6
.
103. Rešiti nejednaˇcinu 2 sin2 x + 3 cos x > 0 u intervalu (−π , π ].
104. Rešiti jednaˇcinu 4 + 5 sin x = 2 cos2 x.
105. Rešiti jednaˇcinu cos 2x = sin x.
29
Planimetrija
106. Izraˇcunati površinu trapeza cˇ ije su osnovice a = 8 i b = 4, a
uglovi na osnovici α = 450 i β = 300 .
107. Dat je jednakokraki trougao cˇ ija je osnovica a = 30, a polupreˇcnik upisanog kruga je r = 7.5. Odrediti površinu P.
108. Stranica romba je a = 5 a manja dijagonala d1 = 6. Odrediti
površinu upisanog kruga.
109. U jednakokrakom trapezu površine P = 32 visina je h = 4, a
razlika osnovica je 6. Odrediti dužinu dijagonale.
110. U krug obima O = 10π upisan je pravougaonik cˇ ije stranice
30
se odnose kao 3 : 4. Odrediti površinu pravougaonika.
111. Stranica romba je a = 15, a zbir dijagonala d1 + d2 = 42.
Izraˇcunati površinu romba.
112. Oko kruga je opisan jednakokraki trapez cˇ ija srednja linija
ima dužinu 5. Izraˇcunati krak i obim toga trapeza.
113. Obim pravouglog trougla je O = 36, a polupreˇcnik upisanog
kruga je r = 3. Odrediti obim opisanog kruga.
31
Stereometrija
114. Osnova prave prizme je jednakokraki trougao osnovice 30
i polupreˇcnike upisane kružnice r = 10. Izraˇcunati kolika je
zapremina ako je visina prizme jednaka visini trougla koja
odgovara osnovici.
115. Za koliko se mora pove´cati visina pravog valjka pa da površina omotaˇca novodobijenog valjka bude jednaka površini
datog valjka? Za koliko se pri tome pove´cala zapremina?
116. Pravougli trapez osnovica a = 10 i b = 2 i površine P = 90 rotira oko ve´ce osnovice. Na´ci površinu i zapreminu nastalog
tela.
32
117. Osnovna ivica pravilne prave cˇ etvorostrane piramide je a =
2, a ugao boˇcne ivice prema bazi je α = 600 . Na´ci površinu
i zapreminu.
118. Prav jednakoiviˇcni paralelopiped sa rombom u osnovi preseˇcen je ravni koja sadrži manju dijagonalu osnove i središte boˇcne ivice koja je mimoilazna sa tom dijagonalom.
Izraˇcunati površinu dobijene piramide ako je osnovna ivica
romba a = 2, a jedan ugao romba α = 600 .
119. Osni presek kupe je jednakostraniˇcni trougao. Odrediti odnos zapremine kupe i lopte opisane oko posmatrane kupe.
120. Izraˇcunati zapreminu pravilnog tetraedra cˇ ija ivica je dužine
1.
33
ˇ
Analiticka
geometrija u ravni
121. Na´ci taˇcku T simetriˇcnu taˇcki M( 25 , 54 ) u odnosu na
a) y-osu
poˇcetak
b) x-osu
c) pravu x−3y−4 = 0
d) koordinatni
122. Odrediti koordinate taˇcke M koja pripada pravoj l : 2x + 7y −
16 = 0 i jednako je udaljena od taˇcaka A(3, −2) i B(5, 4).
123. Napisati jednaˇcinu prave koja sadrži taˇcku (3, 4) i koja je
normalna na pravu odredenu
taˇckama B(2, 5) i C(1, 2).
¯
Izraˇcunati dužinu duži AC.
124. Dat je kvadrat i oko njega opisana kružnica k.
34
a) Napisati jednaˇcinu kružnice k ako su poznata naspramna
temena kvadrata A(−1, −3) i C(5, 5).
b) Odrediti jednaˇcinu prave koja sadrži preostala dva temena kvadrata i izraˇcunati njihove koordinate.
125. Napisati jednaˇcine tangenti na kružnicu (x − 2)2 + (y − 1)2 =
2 koje su paralelne simetrali II kvadranta.
126. Kroz taˇcku
y2 = 1.
√ √
M( 22 , 22 ),
postaviti tangentu na kružnicu x2 +
127. Odrediti koordinate težišta jednakostraniˇcnog trougla cˇ ija
su dva temena taˇcke A(0, 3) i B(1, 2).
128. Kroz taˇcku T (−1, −1) postaviti pravu p koja pravu q : 3x +
35
2y = 6 seˇce pod uglom ϕ za koji je tgϕ = 12 .
129. Date su taˇcke M(3, 4) i N(1, 2). Kroz taˇcku T koja je simetriˇcna taˇcki N u odnosu na taˇcku M postaviti pravu koja je
normalna na pravu odredenu
taˇckama M i N.
¯
36
Rad na kalkulatoru, limesi, izvodi
130. Koriste´ci kalkulator rešiti jednaˇcinu
a) 1.16 x2 − 0.32 x − 1.361364 = 0.
b) x2 − 3.14 x + 2.4393 = 0.
131. Koriste´ci kalkulator izraˇcunati graniˇcnu vrednost
√
√
a) lim ( n2 + 4n + 1 − n2 + n)
n→∞
√
√
3
3
b) lim ( n3 + n2 − n3 − 1)
n→∞
132. Koriste´ci kalkulator izraˇcunati graniˇcnu vrednost
x2 − 1
x→1 2x2 − x − 1
a) lim
37
√
√
x x−4 x
b) lim
x→4 x2 − 16
133. Koriste´ci kalkulator izraˇcunati graniˇcnu vrednost
1 − cos x
x→0
x2
sin(3x)
x→π sin(2x)
a) lim
b) lim
134. Koriste´ci kalkulator izraˇcunati graniˇcnu vrednost
3
a) lim (1 + 2x) x
b) lim
x→0
x→∞
x2 + 1
x2 − 2
x2
135. Za krivu y = x3 + x + 1, u taˇcki M(1, y0 ) krive, napisati jednacˇ inu tangente i normale, na´ci taˇcke T i N preseka tangente
i normale sa x-osom.
38
136. Postaviti jednaˇcinu tangente i normale na parabolu y2 = 94 x
u taˇcki parabole T (4, 3).
137. Postaviti jednaˇcinu tangente na elipsu 3x2 + 4y2 = 48 u taˇcki
elipse T (2, y0 ), gde je y0 > 0.
138. Pod kojim uglom se vidi parabola y2 = 49 x iz taˇcke A(12, 6)?
39
Probni kolokvijum
1. Uprostiti izraz
n+3 n−3
n3 − 27
·
+
−2 .
5n − 15
n−3 n+3
2. Rešiti nejednaˇcinu
3. Rešiti jednaˇcinu
x2 + 2x + 9
≤ −3.
x−1
5x−1 − 3 · 52−x = 2.
4. Rešiti sistem jednaˇcina
log2 (x + 5)3 +
2
1
= −2, log4 (x + 5)2 + log9 = 4.
logy 3
y
5. Rešiti jednaˇcinu
3 cos x − 2 sin2 x = 0.
40
6. Brojevi a < b < c su prva tri cˇ lana aritmetiˇckog niza. Ako broj a pove´camo za 8,
dobijamo prva tri cˇ lana geometrijskog niza. Ako je zbir ova tri cˇ lana dobijenog
geometrijskog niza 26, odrediti brojeve a,b i c.
7. Neka su a = 3 i b = 2 redom dužine ivica donje i gornje osnove prave pravilne cˇ etvorostrane zarubljene piramide ABCDA1 B1C1 D1 . Ako je α = 45◦ ugao
izmedu
¯ boˇcne ivice s i donje osnove ABCD na´ci površinu piramide.
8. Na´ci jednaˇcine tangente i normale kružnice x2 + y2 + 4y − 21 = 0 u taˇcki (4, y0 ),
y0 > 0 koja joj pripada.
41
1. Uprostiti izraz
n+3 n−3
n3 − 27
·
+
−2 .
5n − 15
n−3 n+3
=
(n − 3)(n2 + 3n + 9) (n + 3)2 + (n − 3)2 − 2(n2 − 9)
·
5(n − 3)
(n − 3)(n + 3)
n2 + 6n + 9 + n2 − 6n + 9 − 2n2 + 18
1
= (n2 + 3n + 9) ·
5
n2 − 9
=
36 n2 + 3n + 9
·
.
5
n2 − 9
ˇ
2. Rešiti nejednacinu
x2 + 2x + 9
≤ −3.
x−1
Polazna nejednakost je ekvivalentna sa
x2 + 2x + 9
x2 + 5x + 6
+3 ≤ 0 ⇔
≤0
x−1
x−1
42
⇔ f (x) =
(x + 2)(x + 3)
≤ 0.
x−1
(−∞, −3)
(-3,-2)
(-2,1)
(1, +∞)
-
-
+
+
x+3
-
+
+
+
x−1
-
-
-
+
-
+
-
+
x+2
f (x)
Poslednju nejednakost rešavamo pomo´cu tabele i dobijamo da je x ∈ (−∞, −3] ∪
[−2, 1) .
ˇ
3. Rešiti jednacinu
5x−1 − 3 · 52−x = 2.
Uvodenjem
smene 5x = t, t > 0 polazna eksponencijalna jednaˇcina se svodi na
¯
jednaˇcinu 15 t − 75 1t = 2, tj. na t 2 − 10t − 375 = 0 , cˇ ija su rešenja t1 = 25 i t2 = −15.
Zbog t > 0 rešenje t2 odbacujemo, a iz t1 = 25 = 52 = 5x sledi da je x = 2 jedino
rešenje polazne jednaˇcine.
43
ˇ
4. Rešiti sistem jednacina
log2 (x + 5)3 +
1
2
= −2, log4 (x + 5)2 + log9 = 4.
logy 3
y
Rešenje mora da zadovoljava uslove x + 5 > 0, y > 0, y 6= 1. Sistem se primenom
pravila logaritmovanja svodi na ekvivalentni sistem
1
3 log2 (x + 5) + 2 log3 y = −2, log2 (x + 5) − log3 y = 4,
2
koji se smenama log2 (x + 5) = t, log3 y = s svodi na sistem linearnih jednaˇcina
1
3t + 2s = −2, t − s = 4,
2
cˇ ije je rešenje (t, s) = (2, −4). Dakle:
t = 2 ⇔ log2 (x + 5) = 2 ⇔ x + 5 = 22 ⇔ x = −1, s = −4 ⇔ log3 y = −4 ⇔ y = 3−4 =
1
).
pa je konaˇcno rešenje sistema (x, y) = (−1, 81
44
1
81 ,
ˇ
5. Rešiti jednacinu
3 cos x − 2 sin2 x = 0.
3 cos x − 2 sin2 x = 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
3 cos x − 2(1 − cos2 x) = 0
2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0
cos x = 12 ∨ cos x = −2
cos x = 21
x = ± π3 + 2kπ , k ∈ Z.
ˇ
ˇ
´
6. Brojevi a < b < c su prva tri clana
aritmetickog
niza. Ako broj a povecamo
ˇ
ˇ
za 8, dobijamo prva tri clana
geometrijskog niza. Ako je zbir ova tri clana
dobijenog geometrijskog niza 26, odrediti brojeve a, b i c.
Brojevi a,b i c su uzastopni elementi aritmetiˇckog niza, pa možemo napisati da je
b = a + d i c = a + 2d. Brojevi a + 8, a + d i a + 2d su uzastopni elementi geometrijskog
niza, odakle sledi da je
(a + d)2 = (a + 8)(a + 2d),
45
a njihov zbir je 26, te imamo
a + 8 + a + d + a + 2d = 26 ⇔ 3a + 3d = 18 ⇔ d = 6 − a.
Uvrštavanjem ovog rezultata u prethodnu jednaˇcinu dobija se:
62 = (a + 12 − 2a)(a + 8) ⇔ a2 − 4a − 60 = 0 ⇔ a = 10 ∨ a = −6.
Rešenje a = 10 odbacujemo budu´ci da iz njega sledi da je d = −4, što protivreˇci
uslovu da brojevi a, b i c predstavljaju uzastopne elemente rastu´ceg aritmetiˇckog
niza, tako da je jedino zadovoljavaju´ce rešenje a = −6, d = 12, odakle su traženi
brojevi a = −6, b = 6, c = 18.
7. Neka su a = 3 i b = 2 redom dužine ivica donje i gornje osnove prave pravilne
ˇ
cetvorostrane
zarubljene piramide ABCDA1 B1C1 D1 . Ako je α = 45◦ ugao izmedu
¯
ˇ
´ površinu piramide.
bocne
ivice s i donje osnove ABCD naci
Trougao AA′1 A1 je jednakokrako pravougli, pa je AA′1 = H, te iz jednakokrakog tra46
peza ACC1 A1 imamo
√
√
2H + b 2 = a 2 ⇒ H =
√
√
2
2
(a − b) =
.
2
2
Popreˇcni presek piramide je jednakokraki trapez PQRS cˇ ije su osnovice a i b, krak
visina boˇcne strane h, a visina jednaka H. Stoga je
r
√
a−b 2
3
h= (
) + H2 =
.
2
2
D1
A1
s
a
A
R
C1
B1
S
D
Q
H
C
h
,
A1
P
B
Površina piramide je P = B1 + B2 + M =
47
a2 + b2 + 4 · a+b
2 h
√
= 13 + 5 3.
´ jednacine
ˇ
ˇ (4, y0 ),
8. Naci
tangente i normale kružnice x2 + y2 + 4y − 21 = 0 u tacki
y0 > 0 koja joj pripada.
ˇ
I nacin.
Jednaˇcina kružnice se može napisati u obliku
x2 + (y + 2)2 = 25,
iz kog se vidi da na kružnici imamo dve taˇcke sa x-koordinatom 4: (4, 1) i (4, −5),
od kojih samo prva zadovoljava uslov y0 > 0. Dakle, jednaˇcinu tangente y − y0 =
kt (x − x0 ) i normale y − y0 = kn (x − x0 ) tražimo u taˇcki (x0 , y0 ) = (4, 1).
√
Eksplicitni oblik jednaˇcine date kružnice je y = −2 ± 25 − x2 . Kako je taˇcka (4, 1)
√
sa gornje polukružnice razmatramo funkciju y = −2 + 25 − x2 . Prvi izvod je y′ =
√ −x , pa je kt = y′ (4) = − 4 . Prema tome jednaˇ
cina tangente je
3
25−x2
4
y − 1 = − (x − 4)
3
⇔
4
19
y = − x+ .
3
3
Kako je kn = − k1t , jednaˇcina normale je
3
y − 1 = (x − 4)
4
⇔
48
3
y = x−2.
4
ˇ
II nacin.
Jednaˇcina prave koja prolazi kroz taˇcku (4,1) je y = k(x − 4) + 1. Zamenivši
y u jednaˇcinu kružnice dobijamo da je
x2 +(k(x−4)+1)2 +4(k(x−4)+1)−21 = 0 ⇔ (1+k2 )x2 +(6k −8k2 )x+16k2 −24k −16 = 0 .
Da bi posmatrana prava bila tangenta kružnice dovoljno je da diskriminanta poslednje kvadratne jednaˇcine po x bude jednaka nuli, tj.
4
D = (6k − 8k2 )2 − 4(1 + k2 )(16k2 − 24k − 16) = 0 ⇔ (3k + 4)2 = 0 ⇔ k = − .
3
Dakle, jednaˇcina tražene tangente je
4
y = − (x − 4) + 1
3
odnosno normale
3
y = (x − 4) + 1
4
⇔
⇔
49
4
19
y = − x+ ,
3
3
3
y = x−2.
4
Download

Ovde