Stereometrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na
Beogradskom univerzitetu
Stereometrija
1. Prizma
1. 2009. ETF
Ako je D dužina dijagonale kocke, tada je njena površina jednaka:
1
1
B) D 2
C) D 2
D) 6D 2
A) 2D 2
3
2
E) 4D 2
2. 2005. MF
Rastojanje temena A kocke ABCDA1 B1C1 D1 ivice 1 od središta njene ivice B1C1 iznosi:
A)
3
B)
3
2
C)
3
2
D)
2
E) 2
3. 2000. MF
Rastojanje temena B od dijagonale AC ' kocke ABCDA ' B ' C ' D ' ivice 1 jednako je:
1
1
2
3
A)
B)
E) 1
C)
D)
2
3
3
2
4. 2004. MF
Ako je ABCDA1 B1C1 D1 bilo koja kocka, ugao između pravih AB1 i AD1 iznosi:
A) 30o
B) 45o
C) 60o
D) 90o
E) 72o
5. 2006. ETF FiF
Ako je α oštar ugao između prostornih dijagonala kocke, tada je tgα jednak:
A)
2
2
B)
2
C)
2
4
D) 2 2
E) 3 2
6. 2003. SF
Dužina dijagonale kvadra je 29cm, a dužine dijagonala njegovih bočnih strana su 5cm i
Zapremina tog kvadra je:
A) 28cm3
B) 30cm3
C) 24cm3
D) 20cm3
E) 20 2 cm3
13cm.
2. Piramida
7. 2001. ETF MF FiF FH
Osnova piramide SABCD je kvadrat ABCD stranice a = 20 cm, a visina pramide je H = SA = 21cm.
Površina omotača piramide je (u cm 2 ):
A) 960
B) 1000
C) 1121
D) 1200
E) 1260
8. 2000. GF
Bočna ivica pravilne četvorostrane piramide (uspravna piramida čija je osnova kvadrat) ima dužinu
3dm i zaklapa ugao od 45o sa ravni osnove. Zapremina piramide je (u dm3 ):
A) 9
B) 4 6
C) 6 2
D)
1
9 2
2
E)
27 2
4
Stereometrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
9. 2002. TMF
Bočna ivica pravilne četvorostrane piramide ima dužinu 5cm i zaklapa ugao od 60o sa ravni
osnove. Zapremina piramide je:
130 3 3
125 3 3
B) 15cm3
D) 14 cm3
A) 10 3 cm3
cm
C)
E)
cm
13
12
10. 2003. TMF
Bočna ivica pravilne četvorostrane piramide ima dužinu 3 dm i zaklapa ugao od 45o sa ravni
osnove. Zapremina piramide je (u dm3 ):
A) 4 6
B)
9 2
2
D) 9
C) 6 2
E)
27 2
4
11. 2002. GF
Osnova prave piramide je kvadrat čija je stranica dužine 4 dm, a bočne strane su joj
jednakostranični trouglovi. Zapremina te piramide (u dm3 )je:
32
16
A)
B)
D) 9 6
C) 8 3
3
3
E)
32 2
3
12. 2002. MaF
Ako zapremina tetraedra iznosi 27 3, onda je njeova visina:
A) 4
B) 12
C) 5
D) 7
E) 6
13. 2006. FON
Ako je dužina ivice jednakoivičnog tetraedra jednaka
naspramnih ivica tog tetraedra (u cm) jednako:
A)
2
3
B)
3
4
C)
2
2
2 cm, onda je rastojanje između središta
D) 1
3
2
E)
14. 2009. ETF
Ugao koji obrazuju bočna strana i osnova pravilnog tetraedra iznosi:
π
A) arctg 2
C) arctg 4
B)
D) arctg 2 2
3
E)
π
4
15. 2005. MF
Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 6 cm. Ako je kosinus nagibnog ugla bočne
3
strane te piramide prema osnovi jednak , onda je zapremina piramide jednaka:
5
27 3
27 3
A) 12 cm 3
C) 36 cm 3
E)
cm
B) 12 3 cm 3
D)
cm
5
4
16. 2005. ETF FiF FH
Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je 6 cm. Ako je kosinus nagibnog ugla bočne
3
strane te piramide prema osnovi jednak , onda je zapremina piramide jednaka:
5
27 3
27 3
E)
cm
D)
cm
A) 12cm3
C) 36cm3
B) 12 3cm3
5
4
17. 2001. GF
Ako je α ugao između strana ABC i ABD pravilnog tetraedra (jednakoivična trostrana piramida)
onda je sin α + cos α jednak:
1
1
1
1
A) 2 2 − 1
B)
2+ 2
C) 1 + 2 2
D) 1 + 2 3
E) 1 + 3
3
3
2
3
(
)
(
)
(
)
2
(
)
(
)
Stereometrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
18. 2001. SF
U piramidi ABCD međusobno normalne strane ABC i ABD su jednakostranični trouglovi. Ako je
AB = 2, tada je površina piramide jednaka:
A) 2 3 + 15
B) 4 + 2 3
C) 2 3 + 10
D) 4 3
E) 5 3
19. 2002. MaF
Prava četvorostrana piramida visine H čija je osnova kvadrat stranice a , presečena je sa ravni
paralelno osnovi na rastojanju x od osnove. Površina preseka u funkciji od x iznosi:
a
a
a2
a2
2
a2
2
2
A) ( H − x )
D) 2 ( H + x )
B)
C)
E) 2 ( H − x )
(H − x)
(H + x)
2
H
H
H
H
20. 2000. FON
Ivica pravilnog tetraedra (u cm) ima dužinu a. Površina preseka tetraedra sa ravni koja sadrži ivicu
tetraedra i koja naspramnu ivicu deli u razmeri 2:1 je (u cm 2 ):
A)
a 2 21
12
B)
a2 3
6
C)
a2 3
12
D)
a 2 203
36
E)
a 2 19
12
21. 2000. ETF
Četvorotemena piramida Π presečena jenekom ravni α na dva dela Γ i ∆. Ako α seče tri ivice od
Π koje polaze iz istog temena u srazmeri 1:2, 1:2 i 2:1 onda je odnos zapremina Γ i ∆ :
A) 3:25
B) 2:27
C) 2:25
D) 3:23
E) 4:37
3. Valjak
22. 2000. RGF
Površina pravog valjka je P = π cm 2 , a visina mu je za 1 cm kraća od prečnika osnove. Zapremina
valjka je:
40
80
A)
π cm3
B)
π cm3
C) 3π cm3
D) 5π cm3
9
27
23. 2006. SF
Osni presek pravog valjka je pravougaonik čija je dijagonala 5m. Ako je poluprečnik osnove valjka
za 1m manji od njegove visine, onda je zapremina tog valjka:
A) 12π m3
B) 14π m3
C) 16π m3
D) 18π m3
E) 20π m3
24. 2007. FON
Omotač pravog valjka rasečen duž jedne izvodnice i razvije u ravan daje kvadrat stranice
10cm. Zapremina tog valjka je:
250 3
200 3
B) 250π cm 3
C) 200π cm 3
E) 125π cm 3
A)
cm
D)
cm
π
π
4. Kupa
25. 2003. FON
Ugao između izvodnice i visine prave kupe je 60o. Ako je izvodnica za 1cm duža od visine,
zapremina date kupe iznosi ( u cm 2 )
4
3
A) π
B) π
E) 2π
C) π
D) 3π
3
2
26. 2001. GF
3
Stereometrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
Ugao između izvodnice i visine prave kružne kupe je 60o , a razlika između njihovih dužina je 3m.
Zapremina te kupe (u m3 ) je:
A) 27π
B) 24 3π
C) 18π
D) 30π
E) 9π
27. 2001. ETF MF FiF FH
Visina H i izvodnica s prave kupe odnose se kao 35:37. Ako je površina kupe P = 588π cm 2 , onda je
njena zapremina V jednaka (u cm 2 ):
A) 588π
B) 1176π
C) 1480π
D) 1680π
E) 1995π
28. 2004. MF
Omotač prave kupe je kružni isečak površine M = 10π i sa centralnim uglom α = 36o. Zapremina te
kupe je:
A) π 3
B) 2 11
C) 11
D) 4 3
E) π 11
29. 2004. FON
Ako dve uzajamno normalne izvodnice prave kupe dele omotač na dva dela čije su površine
odnose kao 1:2, odnos poluprečnika osnove i visine te kupe je:
A) 3
B) 2
C) 3 : 2
D) 1: 3
E) 2 : 3
30. 2006. MF
Dve ravni paralelne osnovi kupe dele njenu visinu na tri jednaka dela. Odnos zapremina najvećeg i
najmanjeg dela kupe je:
A) 3:1
B) 5:1
C) 9:1
D) 19:1
E) 27:1
31. 2008. ETF
Poluprečnik osnove, visina i izvodnica prave kupe su tri uzastopna člana aritmetičke progresije.
Ako je površina osnog preseka kupe 300cm 2 , zapremina kupe iznosi (u cm3 ):
A) 1500π
B) 1200π
C) 1450π
D) 1520π
E) 1300π
32. 2000. MF 781
Poluprečnik osnove kupe je r, a dve uzajamno normalne izvodnice dele omotač te kupe u odnosu
1:2. Zapremina kupe je:
π
π
π
π
π
A) r 3 3
B) r 3 2
C) r 3 2
D) r 3
E) r 3 3
3
3
6
3
6
33. 2008.MF
Visina kupe maksimalne zapremine sa datom izvodnicom s jednaka je:
A)
s 6
6
B)
s 2
6
C)
s 2
2
D)
s 3
2
E)
s 3
3
E)
2π s 3 2
27
34. 2007. MF
Najveća moguća zapremina prave kupe čija izvodnica ima dužinu s je:
A)
2π s 3 3
27
B)
4π s 3 3
27
C)
π s3 3
9
D)
π s3 3
27
5. Lopta
35. 2002. MaF
Ako je zapremina lopte 972π cm3 , onda je njena površina:
A) 129π cm 2
B) 297π cm 2
C) 392π cm 2
36. 2002. GF
4
D) 200π cm 2
E) 324π cm 2
Stereometrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
Dve paralelne ravni, čije je međusobno rstojanje 2 dm, seku sferu poluprečnika R dm po dvema
kružnim linijama, poluprečnika r1 = 6dm i r2 = 8dm, pri čemu centar sfere nije između tih ravni. Tada
je poluprečnik R jednak:
B) 9 dm
C) 10 dm
D) 12 dm
E) 16 dm
A) 6 3dm
37. 2007. MF
Ravan koja sadrži središte jednog poluprečnika lopte i normalna je na njemu, seče tu loptu tako da
je površina preseka jednaka 48π cm 2 . Koliki je poluprečnik lopte?
A) 4cm
C) 8cm
E) 16cm
B) 4 3cm
D) 8 2cm
6. Rotacija geometrijskih figura
38. 2003. MF
Jednakostranični treapez čija je visina 12, krak 13, a srednja linija 15, obrće se oko svoje manje
osnovice. Zapremina dobijenog obrtnog tela je:
A) 1200π
B) 2400π
C) 2640π
D) 2880π
E) 1440π
39. 2002. GF
Oštar ugao između susednih stranica romba je 30o. Odnos zapremina tela koja nastaju obrtanjem
tog romba oko kraće i oko duže dijagonale jednak je:
9
3 3
2+ 3
E)
A) 3
D) 3 + 2
B)
C)
5
2
2
40. 2000. GF
Romb stranice a i oštrog ugla od 60o obrće se, redom, oko kraće i oko duže dijagonale. Razlika
zapremina tako nastalih dvaju tela je:
3− 3 3
πa
4
A)
B)
3− 3 3
πa
12
C)
3− 2 3
πa
8
D) 12 3π a3
E)
1− 3 3
πa
12
41. 2002. ETF MF FiF FH
Pravougli trougao ABC kateta a = 3 cm i b = 4 cm rotira oko prave koja sadrži teme C pravog ugla i
paralelna je hipotenuzi c. Zapremina V tako dobijenog tela je (u cm3 )
A) 28,8π
B) 9, 6π
C) 20,32π
D) 8, 2π
E) 19, 2π
7. Dva tela
42. 2009.MF
Središte gornje osnove kocke i središta ivica njene donje osnove su temena piramide. Ako je ivica
kocke 2cm, površina omotača piramide je:
A) 3 2cm 2
C) 6cm2
B) 4 2cm2
D) 4 3cm 2
E) 9cm2
43. 2005. SF
U prav valjak poluprečnika osnove 2 m i visine 4 m upisana je pravilna četvorostrana prizma, tako da
osnove prizme pripadaju osnovama valjka. Površina te prizme je:
(
)
A) 16 + 32 2 m 2
(
)
B) 16 + 2 m2
C) 30m 2
D) 16 2 m 2
E) 16 3 m2
44. 2007. ETF FiF
Lopta je upisana u kocku. Odnos površine lopte i kocke je:
2π
π
4π
π
A)
B)
C)
D)
3
6
3
12
5
E)
8π
3
Stereometrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
45. 2001. TMF
U pravu kupu poluprečnika osnove r = 5 cm i visne h = 12 cm upisana je lopta. Zapremina lopte je (u
cm3 ):
400π
A)
9
B)
4000π
81
C)
1000π
27
4000
81
D)
E)
400
9
46. 2003. TMF
U pravu kupu upisan je pravi valjak čija je visina jednaka polovini visine kupe. Poluprečnik osnove
kupe je 3 cm, a izvodnica kupe je 5 cm. Površina valjka (u cm 2 ) je:
A)
21π
2
B) 36π
7 2
π
3
C)
E) 19π
D) 6 2π
47. 2008. FON
Oko lopte je opisana prava kupa tako da je visina kupe tri puta veća od poluprečnika lopte. Odnos
zapremina lopte i kupe je:
A) 2:3
B) 3:4
C) 2:9
D) 1:3
E) 4:9
48. 2005. FON
Zapremina pravilne šestostrane prizme u koju je upisana lopta poluprečnika R je:
3
B)
3R 3
A) 6 3R 3
D) 3 3R 3
E) 4 3R 3
C) 2 3R 3
2
49. 2000. TMF
Kocka ABCDA1 B1C1 D1 je stranice a. Zapremina piramide čija su temena D, C , A1 i D1 iznosi:
A) a3
2
3
B) a3
3
6
C) a3
3
3
a3
6
D)
E)
a3
3
50. 2003. GF
Bočna strana pravilne četvorstrane piramide gradi sa osnovom piramide ugao
zapremina piramide i sfere upisane u nju je broj koji se nalazi u intervalu:
 3
3 
 5
A) ( 0,1)
B)  1, 
C)  , 2 
D)  2, 
 2
2 
 2
π
. Odnos
3
5 
E)  ,3 
2 
8. Maksimum i minimum
51. 2001. FON
U loptu poluprečnika R upisana je prava kupa maksimalne površine omotača. Visina te kupe je jednaka:
4
3
5
B) R
D) R
E) R
A) 2R
C) 3R
3
2
4
52. 2009. FON
Visina prave kupe maksimalne zapremine koja je upisana u loptu poluprečnika 3cm je:
A) 5cm
B) 4cm
(
)
C) 3 + 2 cm
(
)
D) 3 + 3 cm
(
)
E) 3 + 5 cm
53. 2002. SF FON
U sferu poluprečnika R = 6 cm upisan je valjak maksimalne zapremine. Poluprečnik osnove tog
valjka je:
D) 2cm
B) 3cm
C) 2cm
E) 5cm
A) 3cm
54. 2003. ETF FiF FH
6
Stereometrija (www.meskrusevac.edu.rs/milos/index.php)
Visina valjka maksimalne zapremine upisanog u loptu poluprečnika
A) 1
B) 2
C) 2 2
D)
3
3 jednaka je:
3
E)
2
55. 2009. MF
Maksimalna zapremina valjka upisanog u loptu poluprečnika R je:
2 3
4 3
2
16 3
B)
Rπ
C)
Rπ
A) R 3π
D)
Rπ
3
27
3 3
3 3
E)
1
2
R 3π
56. 2007. FON
Visina valjka maksimalne zapremine upisanog u sferu poluprečnika
1
2
A) 2
B)
D) 2
C)
2
2
3 iznosi:
E) 2 2
57. 2009. ETF
U pravu kupu upisan je valjak sa najvećim omotačem. Ako je zapremina kupe V , tada je
zapremina tog valjka jednaka:
2
3
3
1
3
A) V
C) V
D) V
B) V
E) V
3
8
16
4
4
7
Download

Stereometrija