BESPLATNI GOTOVI SEMINARSKI, DIPLOMSKI I MATURSKI RAD.
RADOVI IZ SVIH OBLASTI, POWERPOINT PREZENTACIJE I DRUGI EDUKATIVNI
MATERIJALI.
m
o
c
ad.
r
i
k
s
m
WWW.SEMINARSKI-RAD.COM
o
l
ip
d
.
w
w
w
WWW.DIPLOMSKI-RAD.COM
WWW.MATURSKI-RAD.COM
NA NAŠIM SAJTOVIMA MOŽETE PRONACI SVE BILO DA JE TO SEMINARSKI, DIPLOMSKI ILI
MATURSKI RAD, POWERPOINT PREZENTACIJA I DRUGI EDUKATIVNI MATERIJAL. ZA
RAZLIKU OD OSTALIH MI VAM PRUŽAMO DA POGLEDATE SVAKI RAD NJEGOV SADRŽAJ I
PRVE TRI STRANE TAKO DA MOŽETE TACNO DA ODABERETE ONO STO VAM U
POTPUNOSTI ODGOVARA. U NAŠOJ BAZI SE NALAZE GOTOVI SEMINARSKI,DIPLOMSKI I
MATURSKI RADOVI KOJI MOŽETE SKINUTI I UZ NJIHOVU POMOC NAPRAVITI
JEDINISTVEN I UNIKATAN RAD. AKO U BAZI NE NADJETE RAD KOJI VAM JE POTREBAN, U
SVAKOM MOMENTU MOZETE NARUCITI DA SE IZRADI NOVI UNIKATAN SEMINARSKI ILI
NEKI DRUGI RAD NA LINKU NOVI RADOVI. SVA PITANJA I ODGOVORE MOŽETE DOBITI
NA NAŠEM FORUMU. ZA BILO KOJI VID SARADNJE ILI REKLAMIRANJA MOZETE NAS
KONTAKTIRATI NA [email protected]
SADRZAJ
ISTORISI RAZVOJ GEOMETRIJE...............................................................................1
Lopta................................................................................................................................2
ZAPREMINA LOPTE.....................................................................................................4
ZAPREMINA DELOVA LOPTE (SEKTORA).............................................................5
ZAPREMINA LOPTINOG ODSECKA ........................................................................5
ZAPREMINA LOPTINOG SLOJA................................................................................6
IZVODJENJE OBRASCA ZA ZAPREMINU LOPTE POMOCU INTEGRALA........7
ZAPREMINA LOPTINOG ODSECKA.........................................................................8
ZAPREMINA LOPTINOG ISECKA..............................................................................8
SFERA.............................................................................................................................9
POLOZAЈ ТАCКЕ,PRAVE I RAVNI PREMA SFERI I SFERE PREMA SFЕRI ....10
m
o
c
ad.
r
i
k
s
m
o
l
.dip
KROZ DVE TACKE SFERE КОЈЕ NISU KRAJEVI ISTOG PRECNIKA MOZE SЕ POSTAVITI SAMO
ЈЕDAN VELIKI КRUG. .....................................................................................................11
UNUTRAŠNJA METRIKA SFERE.............................................................................12
SFERNI TROUGAO.....................................................................................................13
POLARNI SFERNI TROUGLOVI...............................................................................15
NEIZMENIČNOST SFERE I RAVNI.........................................................................16
PROBLEM POVRŠINE................................................................................................19
ODNOS TETIVNOG, UGLOVNOG I SFERNOG RASTOJANJA
DVIJE TAČKE NA SFERI (na primjeru)....................................20
POVRSINA SFERNOG POJASA................................................................................22
POVRSINA LUKA........................................................................................................22
w
w
w
ISTORISI RAZVOJ GEOMETRIJE
Geometrijom su se ljudi počeli baviti još u najranijoj istoriji. U početku je to bilo
uočavanje karakterističnih oblika kao što su krug ili kvadrat. Na crtežima u pećinama
može se naići na interesovanje ljudi iz prvobitnih zajednica za simetriju likova. Prošlo je
mnogo vremena do prvog pokušaja aksiomatskog zasnivanja geometrije koje je dao
starogrčki matematičar Euklid iz Aleksandrije (3. v. p. n. e.) u svom poznatom djelu
»Elementi« koje se sastoji iz 13 knjiga. Polazne tvrdnje on je podijelio na aksiome i
postulate . Ali, sistem aksioma Euklida nije bio potpun . Veliki značaj za razvoj
geometrije imao je peti Euklidob postulat koji u svom originalu glasi:
Ako neka prava presjecajući druge dvije komlanarne prave obrazuje sa njima sa iste
strane dva unutrašnja ugla kojima je zbirmanji od zbira dva prava ugla, tada se te dvije
prave, neograničeno produžene sijeku sa one strane sječice sa koje je taj zbir uglova
manji od zbira dva prava ugla.
Mnogi matematičari u kasnijem periodu, smatrali su da ovo tvrñenje ne treba uzimati
kao polazno, već da se ono može iz ostalih aksioma i postulata dokazati kao teorema.
Ovo pitanje zaokupilo je mnoge matematičare u narednih deset vjekova, a sve do XIX
vijeka taj problem nije bio riješen. U mnogim takvim pokušajima, u dokazu petog
postulata, korišćena su tvrñenja ekvivalenta petom Euklidovom postulatu. Jedno takvo
tvrñenje dao je i Dž. Plejfer (1748.–1819, engleski matematičar). /Plejferova aksioma/
Postoji tačka B i prava a, koja je ne sadrži, takve da u njima odreñenoj ravni ne postoji
više od jedne prave koja sadrži tačku B, a sa pravom a nema
zajedničkih tačaka.
Sledeći prelomni trenutak u razvoju geometrije bio je
pojava neeuklidskih geometrija u XIX vijeku. Njihovo
otkriće vezuje se za ruskog matematičara Nikolaja
Ivanoviča Lobačevskog (1792.-1856.). On je takoñe
razmatrao problem petog Euklidovog postulata. Polazeći od
njegove negacije , odnosno od pretpostavke da se kroz
tačku van neke date prave mogu konstruisati bar dvije prave
disjunktne i komplanarne sa polaznom, izgradio je čitav
niz novih tvrñenja. Ni jedno od dobijenih tvrñenja nije bilo
u kontradikciji sa ostalim aksiomama. On je izgradio jedan potpuno nov geometrijski
sistem koji je neprotivurječan i koji je po njemu nazvan geometrija Lobačevskog. Sa
druge strane, ako se krene od pretpostavke da ne postoji prava disjunktna i komplanarna
sa nekom datom pravom kroz tačku van te prave, tj. da se ma koje dvije komplanarne
prave sijeku, dolazi se do geometrijskog sistema koji se naziva projektivna geometrija.
Za razliku od geometrije Lobačevskog koja je zasnovana čisto aksiomatsko, projektivna
geometrija se postepeno prirodno razvijala. Jedan od prvih podsticaja za njen razvoj
potiče od slikarstva, odnosno od želje da se trodimenzionalni prostor svede na
dvodimenzionalnu ravan. Sferna geometrija podsjeća na projektivnu geometriju, ali se ne
može sa njom poistovjetiti jer se teškoća sastoji u tome da dvije tačke na sferi ne moraju
jednoznačno odreñivati veliki krug koji ih sadrži . Zato, ako se na sferi S2 dijametralno
suprotne tačke identifikuju, dobija se projektivna ravan.
m
o
c
ad.
r
i
k
s
m
o
l
.dip
w
w
w
-1-
LOPTA
U staroj grckoj geometriji nalazimo na definiciju kakva se оbicno usvaja i danas i po
којој је lopta ukupnost tаcака u prostoru, јеdnако udaljenih оd јеdnе tаcке.Lopta je
geometrijsko telo, ograničeno sferom. Lopta se može posmatrati kao kao telo dobijeno
obrtanjem kruga oko svoga prečnika.
m
o
c
ad.
r
i
k
s
m
o
l
.dip
sl.1
Centar i poluprečnik lopte
w
w
w
Loptin isečak je geometrijsko telo, dobijeno
obrtanjem kružnog isečka oko dijametra (prečnika) koji
nema unutrašnjih tačaka sa lukom kružnog isečka.
Razlikuju se Loptin isečak prve i druge vrste. Ako je
poluprečnik kružnog isečka smešten na osi obrtanja, tj. na
dijametru AK (na slici dole), tada se tako dobijeni loptin
isečak BOB' naziva loptin isečak prve vrste
sl.2
Ako dijametar PL ne seče luk AB kružnog isečka AOB, tada se dobijeni loptin isečak
ABOB'A' naziva loptin isečak druge vrste (slika dole).
Površ osnove L.i. prve vrste je segmentirana,
a kod L.i. druge vrste je loptin pojas.
Loptin pojas prve vrste je ispupčena (konveksna)
figura;
-2-
Download

1547.Matematika-Lopta sfera