TBF 121 - Genel Matematik I
DERS – 10: Kapalı Türev , Değişim Oranları
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Kapalı Türev(İmplicit Differentiation). F(x,y) = 0 kapalı denklemi ile tanımlanan f fonkdy
, F(x,y) = 0 kapalı denkleminden elde edilebilir mi?
siyonu için f nin türevi, yani y' 
dx
Daha genel olarak y = f(x) denklemi ile tanımlanan f fonksiyonu için F(x,y) = 0 kapalı
denklemi sağlanıyorsa, f nin türevi F(x,y) = 0 denklemi nden elde edilebilir mi?
Örnek . F(x,y) = xy – 1 = 0 kapalı denklemi
y  f (x) 
1
x
açık denklemine sahip olan f fonksiyonunu tanımlar. Son ifadeden bu fonksiyonun türevi-nin
y'  f ' (x)  
1
x
2
zincir kuralı
olduğunu biliyoruz.
Diğer yandan, aynı türev doğrudan doğruya f yi tanımlayan kapalı denklemden de elde
edilebilir. y’ yü bulmak için denkleminin her iki yanının da türevi alınır:
d
dx
F (x , y) 
d
dx
0 

d
dx
xy  1  0


y  xy ' 0
1
 
1
x
y'  
 2
x
x
Bu şekilde türev hesabına kapalı türev hesabı denir.

y'  
y
x
Örnek.
dy
F (x , y)  x  y  1  0,
2
2
F (x , y)  0 
d
dx
x  y 1  0 
2
F (x , y) 
d
2
dx
dx
xy  x y  1  0 
3
x
dy
3
3
Örnek . xy  x y  1  0 ,
3
dx
?
2
y
2
d
dx
0 
 1 
zincir kuralı
d
dx
0 
 2 x  2y  y '  0  y '  
?
d
dx
xy
3
 x y  1  0
3
 y  3xy y'(3x y  x y' )  0
3
2
2
3
3x y  y
3
3xy  x
3
2
 (3xy  x )y'  3x y  y
2
3
2
3
 y' 
2
.
x
y
Örnek .
d
2
3
y  xy  x  2  0 
(y  xy  x  2)  0
2
dx
 2y
dy
dx
3
 (y  x
 (2y  x)
2
Örnek . x u e
2
x ue
xu
xu
dx
3
 x 1  0 ,
 x 1  0 
d
3
du
 (2 xu
du
2
2
)  y  3x

2
dy

dx
y  3x
2
2y  x
xu
 x  1  0
3
 x )e
2
xu
 x u(e
2
xu
d
(xu))  3x
2
dx
0
du
du
dx
2
xu
2
xu
2 dx
 (2 xu
 x ) e  x u(e (u
 x))  3x
0
du
du
du
xu
2 2 xu
2 dx
2
xu
3
 (2 xue  x u e  3x )
 x e  x u
du

dx
du
du
dx
dx
dx
)  3x  0
?
x u e
dx
dy
dy
x e
2

2 xue
xu
xu
x u
3
x u e
2
2
xu
 3x
2
2

x e
xu
3x  2 xue
2
x u
3
xu
x u e
2
2
xu
.
Bu derste değişim oranı problemleri kısmında da göreceğimiz gibi, bazen x = r(t) ve y = s(t)
denklemlerinin tanımladığı r ve s fonksiyonları ile birlikte F(x,y) = 0 gibi bir kapalı denklemin
sağlandığı durumlar ortaya çıkmakta ve bu durumda F(x,y) = 0 kapalı denkleminden
yararlanılarak dx ve dy türevleri arasındaki ilişkinin bulunması arzu edilmektedir.
dt
dt
Bunun için (t değişkenine göre) kapalı türev hesabı yapılır.
Örnek .
dx
x = r(t), y = s(t) ve x2 + y2 – 1 = 0 olduğuna göre
dt
ilişkiyi bulalım.
2
2
x  y 1  0 
d
dt

x
x
2
 y  1  0
dx
dt
2
y
dy
dt
0
 2x

x
Başka bir ifadeyle,
r (t )r ' (t )   s(t )s' (t )
dx
dt
dx
dt
 2y
 y
dy
dt
dy
dt
0
ve
dy
dt
türevleri arasındaki
Kapalı Denklemle Verilmiş bir Eğrinin Teğetleri. F(x,y) = 0 düzlemde bir eğri belirler.
Bu eğri üzerinde bir (x0 , y0 ) noktası ( yani, F (x0 , y0 ) = 0 olan bir (x0 , y0 ) ) için o noktadaki
teğetin eğimi, y nün (x0 , y0 ) için değeridir ve teğetin denklemi, y nün (x0 , y0 ) için değeri
m olmak üzere
y = m(x - x0) + y0
dır.
y nün (x0 , y0 ) için değeri
m  y'
 x 0 ,y 0 
ile gösterilir.
Örnek. y - x y2 + x2 + 1 = 0 eğrisinin (1 , -1) noktasındaki teğetinin denklemini bulalım.
y  xy  x  1  0  y' y  2 xyy '2 x  0
2
2
2

1  2 xy y'y
 y'
1 , 1 

2
 2 x   0  y' 
12
12
1
2
 1
y 
 x  1  (1)  y   x 
3
3
 3 

1
3
y  2x
2
1  2 xy
Örnek. 5 y2 - 8x4 + 3 = 0 eğrisinin (1 , 1) noktasındaki teğetinin eğimini bulalım.
5y  8 x  3  0
2
4

10 yy '  32 x  0
3
m  y'
(1 ,1 )
16

5

y'
32 x
3
10 y

16 x
3
5y
.
Örnek. y2 + xy + 3 = 0 eğrisinin x=4 teki teğet(ler)inin denklem(ler)ini yazalım.
y  xy  3  0 , x  4  y  4 y  3  0 
2
2
( y  3)( y  1)  0

y   3 veya y   1 .
Demek ki verilen eğri üzerinde apsisi 4 olan iki nokta bulunmaktadır: (4,-3) ve (4,-1).
Teğetlerin eğimlerini belirlemek için kapalı türevle y’ yü bullalım..
y
2
y  xy  3  0  2 yy '  y  xy '  0  ( x  2 y ) y '   y  y ' 
.
x  2y
(4,-3) noktasında
m  y'
(4 ,3)

3
46

3
y
,
2
3
2
(x  4)  3 
y
3
2
x  1.
(4,-1) noktasında
m  y'
(4 ,1)

1
42

1
2
,
y
1
2
(x  4)  1 
y
1
2
x  3.
Değişim Oranları (Rate of Change). Günlük yaşamda en çok karşılaşılan problemlerden biri,
her ikisi de zamana göre değişen iki niceliğin birbirlerine göre değişim oranlarını (artış veya
azalış oranlarını) belirlemektir. Örnek olarak,
 Bir otomobil satıcısı, faiz oranları arttıkça sattığı otomobil sayısının ne oranda düşeceğini
bilmek ister.
 Bir işletme, giderindeki artışın kârını ne oranda etkileyeceğini bilmek ister.
 Bir yatırımcı, borsadaki artış oranı ile fert başına milli gelir arasındaki ilişkiyi bilmek
isteyebilir.
Yukarıdaki örneklere benzer soruları içeren problemlere değişim oranı problemleri (rate of
change problems) denir.
Değişik bir örnekle başlayalım.
Problem. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara
dayalı 260 cm uzunluğunda bir merdivenin yukarı ucu
20 cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlı-yor. Merdivenin
üst ucu yerden 240 cm yüksek-likte iken aşağı ucu
duvardan hangi hızla uzaklaş-maktadır?
Problem. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara
dayalı 260 cm uzunluğunda bir merdivenin yukarı ucu 20
cm/sn hızla aşağıya kaymağa başlıyor. Merdivenin üst ucu
yerden 240 cm yükseklikte iken aşağı ucu duvardan
hangi hızla uzaklaşmaktadır?
x
y
Bir değişim oranı problemini çözmek için aşağıdaki adımlar izlenebilir:
1. Yardımcı olacaksa bir şekil çiziniz.
2. Bütün değişkenleri, bunlardan değişim oranları verilenleri ve değişim oranları
bulunacak olanları belirleyiniz.
3. Verilen ve bulunacak olan tüm değişim oranlarını türev olarak ifade ediniz.
4. İkinci adımda belirlediğiniz değişkenlerin sağladığı bir denklem yazınız.
5. Dördüncü adımda bulduğunuz denkleme kapalı türev uygulayınız ve türevde verilen
değerleri yerleştiriniz.
6. Bilinmeyen değişim oranını, elde ettiğiniz denklemi çözerek bulunuz.
Merdiven probleminin çözümü. Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği x , alt ucunun
duvara uzaklığı y ile gösterilsin. x in zamana göre değişim oranı verilmiş, x = 240 iken
y nin değişim oranı bulunmak isteniyor.
dx
Yeni bir sayfa açalım..
dt
  20 cm / sn
,
dy
dt
?
Problem. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara dayalı
260 cm uzunluğunda bir merdivenin yukarı ucu 20 cm/sn
hızla aşağıya kaymağa başlıyor. Merdivenin üst ucu yerden
240 cm yükseklikte iken aşağı ucu duvardan hangi hızla
uzaklaşmaktadır?
dx
dt
  20 cm / sn
x  240
,
,
dy
?
dt
Merdivenin uzunluğu 260 cm olduğundan, şekildeki dik üçgen kullanılarak
x  y  (260 )
2
2x
2
dx
dt
2 240
 2y
dy
dt
2
,
0
x  240
,
  20   2 100 

x  240
dy
dt
0
y  100 .
,

y  100
dy
dt

4800
100
,
dx
dt
  20
 48 cm / sn .
x
y
Örnek. Kilogramı p TL den satılan bir ürün için x  500  p 2 kg talep olacağı tespit
ediliyor. Fiyatın talebe göre değişim oranını bulalım. Bu ürünün kg fiyatı 10 TL olduğu
anda fiyatın talebe göre değişim oranı ne olur?
1
x
500  p  (500  p )
2
2 2
 1 
1
2
(500  p )
2

1
2
( 2 p)
dp
dx
dp

dx

1
2 2
2 (500  p )
 2p

500  p
2
p
Bu ürünün kg fiyatı 10 TL olduğu anda satılan ürün miktarı
x
400  20
kg ve böylece

dp
dx

( 20 , 10 )
20
 10
 2
TL/kg olur.
Örnek. Ürettiği ürünün tamamını satabilen bir firmanın günde x birim ürün üretmesi
durumunda sağladığı gelir
2
G ( x )  25 x 
x
200
TL oluyor. Bu firma günde 200 birim ürün üretirken üretimini günde 5 birim artırmaya
karar veriyor. Firmanın gelirindeki günlük artış oranı ne olur?
d
dt
(G ( x ))  25
x  50 ,
dx
dt
dx
dt

2 x dx
200 dt
5 
dG
dt
 (25 
 (25 
x
)
dx
100 dt
200
100
)  5  23  5  115
TL/gün olur.
Problem. Haftada x radyo üreten bir firmanın toplam gideri
M(x) = 5000 + 2x
ve toplam geliri
G (x) = 10x – (0.001) x2
TL olarak veriliyor. Bu firma 2000 radyo üretmekte iken, üretimini her hafta 500 radyo
artırmağa karar veriyor. Bu durumda firmanın gider, gelir ve kârında meydana gelecek
değişiklikleri bulunuz.
Çözüm. Haftalık üretim sayısı olan x zamana (t ye) göre değişmekte, zaman hafta ile
ölçülmektedir. Dolayısıyla, giderin haftalık değişim oranı
dM
dt
2
dx
dt
dir ve x = 2000 iken dx  500 olduğundan, bu durumda
dt
dM
dt
 2  500  1000
TL / hafta olur; gider haftada 1000 TL artar.
Gelirdeki haftalık değişim oranı
G (x) = 10x – (0.001) x2
dir ve x = 2000 iken(

dx
dt
dG
dt
dG
dt
 10
dx
dt
 0.002x
dx
dt
 500 olduğu da anımsanarak)
 10  500  0.002  2000  500  3000
den haftada 3000 TL (artış) olarak elde edilir. Kârdaki değişime gelince,
K(x) = G(x) – M(x) = -5000 + 8x –(0.001)x2
olduğundan, kârın haftalık değişim oranı
dK
dt
8
dx
dt
 0.002x
dx
dt
dir ve x = 2000 iken
dK
dt
 8  500  0.002  2000  500  2000
olduğu görülür ki, bu, kârın haftada 2000 TL arttığını gösterir.
Örnek. Kilogramı p TL den satılan bir ürün için talep edilen miktar x ile gösterilirse,
2 x  5xp  50 p  80 000  0
2
2
denkleminin sağlandığı tespit ediliyor.
a) Fiyat 30 TL iken her ay 2 TL artırılırsa, talepteki değişim oranı ne olur?
b) Talep 150 kilogram iken ayda 6 kilogram azalırsa fiyattaki değişim oranı ne olur?
Çözüm. Değişim zamana göre olmaktadır. t ye göre kapalı türev uygulayalım.
2 x  5xp  50 p  80 000  0  4 x
2
2
dx
dt
 5p
dx
dt
 5x
dp
dt
 100p
dp
dt
0
a) p=30 TL olunca
2 x  5x(30)  50(30)  80 000  0  x  75x  17 500
2
2
dx
Buradan x = 100 elde edilir.
4x
dx
dt
 5p
dx
dt
 5x
dp
dt
 100p
dp
dt
2
2
dt
 0  400
alınarak
dx
dt
 150
dx
dt
 550
bulunur. Talepteki değişim oranı 
700
55
 500  2  100  30  2  0
dx
dt
 7000 
kg/ay dır. Talep ayda
700
55
dx
dt

700
55
kg azalmaktadır.
b) x=150 TL olunca
2(150)  5  150p  50 p  80 000  0  p  15p  700
2
2
Buradan  = 20 elde edilirr.
4x
dx
dt
 5p
dx
dt
 5x
dp
dt
 100p
dp
dt
2
d
dt
 6 alınarak
 0  4  150  (6)  5  20  (6)  5  150 
 2750
bulunur. Fiyattaki değişim oranı
84
55
dp
dt
 4200 
TL/ay dır. Fiyat, ayda
dp
dt
84
55

dp
dt
 100  20 
84
55
TL artmaktadır.
dp
dt
0
Problem. Bir ürün üzerinde yeni üretime başlayan bir firma ilk dört ay, t-inci haftada x = x(t) = t2
+ 400t + 175 ürün üretmeyi planlıyor. Üretilen ürün sayısıyla bağlantılı olarak, bir ürünün satış
fiyatı da p= 10 – (0.001)x(t) TL olarak belirlenecektir. Bu firmanın haftalık sabit gideri 5 000 TL
ve bir ürün için gideri 2 TL olduğuna göre, 5-inci hafta itibariyle, gider, gelir ve kârdaki haftalık
değişim oranlarını bulunuz.
Çözüm. t-inci haftada x = x(t) = t2 + 400t + 175 ürün üretileceğine göre, t-inci hafta itibariyle
haftalık toplam gider: M = 5 000 + 2x(t) TL; bir ürünün satış fiyatı p = 10 – (0.001)x(t) TL
olduğundan haftalık gelir: G = (10- (0.001)x(t) )x(t) = 10 x(t) - (0.001)x(t)2 ve böylece haftalık
kâr: K = G - M = 10x(t) – (0.001)x(t)2-(5 000 + 2x(t)), K= 8x(t) – (0.001)x(t)2 - 5 000 TL dir.
Değişim oranlarına gelince
M= 5 000 + 2x(t)

 x' (5)  2  5  400  410
 x ' (t )  2 t  400
x(t) = t2 + 400t + 175
dM
dt

 2  x ' (t )
G =10 x(t) - (0.001)x(t)2

dG
dt

K= 8x(t) – (0.001)x(t)2 - 5 000
dM
dt
 2  410  820
 10  x ' (t )  0 . 002  x (t )  x ' (t )
dG
dt

 10  410  0.002  2 200  410  2296
dK
dt
 8  x ' (t )  0 . 002  x (t )  x ' (t )

5-inci hafta itibariyle, x' (5)  410 ,
dM
dt
 820 ,
dG
dt
dK
dt
 8  410  0.002  2 200  410  1476
 2296 ,
dK
dt
 1476
TL/hafta dır.
Problem. Evinin 2 km güneyinde bulunan bir kişi doğu yönünde saatte 5 km hızla yürümeye
başlıyor. Bu kişinin evi ile arasındaki uzaklık yürüyüşünün kaçıncı kilometresinde saatte 3
artmaktadır? Bu kişinin evi ile arasındaki uzaklık yürüyüşünün herhangi bir anında saatte 6 km
artabilir mi?
Çözüm. Şekilde görüldüğü gibi kişinin yürümeye başladıktan sonra herhangi bir anda kat
ettiği yol x km ve o anda ev ile kişi arasındaki uzaklık u km olsun.
Bu takdirde
EV
dx
, u
 5 km/sa
dt
4x
u
2
2
olur. Dolayısıyla
du
dt
x

1
2 4x
2
 2x
dx
dt

5x
4x
2
du
Ev ile kişi arasındaki uzaklığın saatte 3 km artması,
 3 km/sa
dt
olması demektir.
Bu durumda
3
5x
4x
 3 4  x  5x  9(4  x )  25x
2
2
2
2
 16 x  36 
2
x
3
2
olur. Kişinin yürüdüğü yol 1.5 km olunca evi ile arasındaki uzaklık saatte 3 km
artmaktadır. Problemin son kısmının yanıtı izleyen slayttadır.
Kişi ile evi arasındaki uzaklığın saatte 6 km hızla artması istenirse,
6
5x
4x
 6 4  x  5x  36(4  x )  25x
2
2
2
2
 11x  144
2
olması gerekir. Dolayısıyla, söz konusu uzaklığın saatte 6 km hızla artması söz konusu
olamaz.
Problem. İki bisikletli, dik olarak kesişen , kuzey-güney ve doğu-batı doğrultusundaki iki
caddenin kesişme noktasından aynı anda hareket ediyorlar. Bisikletlilerden biri kuzeye
doğru dakikada 30 metre hızla, diğeri de doğuya doğru dakikada 40 metre hızla gittiğine
göre, 5 dakika sonra bu iki bisikletli arasındaki uzaklık hangi hızla değişmektedir?
30 m/dak
Çözüm. Başlangıçtan t dakika
sonra, doğuya doğru giden
bisikletlinin aldığı yol x metre,
kuzeye doğru giden bisikletlinin
aldığı yol y metre, iki bisikletlinin arasındaki uzaklık z metre
olsun(Şekilden izleyiniz.)
dt
2
2
2
z  x  y olur.
 40
dy
z
dt
 30
y
x
Bu takdirde,
dx
40 m/dak
z x y
2
2
30 m/dak
2
Burada x , y ve z den her biri
zamana bağlı olarak değişmekte-dir.
Çoğu zaman olduğu gibi, za-manı t
ile göstereceğiz. Böylece,
dx
dt
,
 40
z x y
2
2z
2
dz
dt
 2x
2
dy
dt
z
y
x
 30
m/dak
ifadesinden kapalı türev ile
dx
dt
 2y
dy
dt

dz
dt

x dx
z dt

y dy
z dt
t = 2 olunca, x = 40. 2 = 80, y = 30.2=60 ve z =100 olacağından
dz
dt

80
100
 40 
60
100
 30  50 m/dak elde edilir.
40 m/dak
Problem. Bir nokta, y2 = x3 eğrisi üzerinde hareket etmektedir. Nokta (4,-8) konumunda
iken x-koordinatı dakikada 2 birim artmaktadır. O halde noktanın y-koordinatı hangi hızla
değişmektedir?
Çözüm. Noktanın herhangi bir andaki koordinatları, x ve y, y2 = x3 bağıntısını sağlamakta
ve zamana göre değişmektedir.
y2 = x3 ifadesinde t ye göre (kapalı) türev alınırsa,
Zamanı t ile göstererek
y x 
2
3
2y
dy
dt
 3x
2
dx
dt
dx
(4,-8) konumunda , yani x=4 ve y= - 8 olunca,
dt
2
O halde,
2  ( 8 )
dy
dt
2
 3 4 2 
dy
dt
3 4 2
2

 16
 6
Demek ki y koordinatı dakikada 6 birim azalmaktadır.
birim/dak. olur.
Önceki problemde sözü edilen y2 = x3 eğrisini grafik çizim stratejisini uygulayarak
çizebilirsiniz. Eğer bu ifade y için çözülürse,
3
y
x  x2
3
3
3
elde edilir. Dolayısıyla, grafik
y  x2
ve
y  x2
nin grafiklerinin birleşimidir. Biliyoruz ki bu
grafiklerden her biri diğerinin x-ekseni etrafında
yansıtılmasıyla elde edilir.
3
y  x
2
nin grafiğini çizip x-eksenine göre
yansıtalım. Denklem, x ≥ 0 için tanımlıdır. Ayrıca,
x > 0 için
y'
3
2
1
x
2
 0 , y '' 
3
4

x
1
2
 0
olduğu da göz önüne alınırsa, grafik yandaki gibi elde edilir.
Download

DERS 10 - Başkent Üniversitesi