TBF 122 - Genel Matematik II
DERS – 1 : Doğrusal Denklem Sistemleri,
Matrisler
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri.
Günlük yaşamdan bir problemle başlayalım.
Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri, 3 kg elma ve 1 kg portakal için 9 TL, diğer
bir müşteri de 1 kg elma ve 2 kg portakal için 8 TL ödemiştir. Elma ve portakalın satış
fiyatını belirleyiniz.
Çözüm.Bir kg elma x TL, bir kg portakal y TL den satılıyorsa, birinci müşteri 3x + y = 9
TL, ikinci müşteri de x + 2y = 8 TL öder.
Problemimiz, 3x + y = 9 ve x + 2y = 8 denklemlerini sağlayan x ve y sayılarını bulmaktır.
Böylece, sözel olarak verilmiş olan problemin matematiksel modeli
“3x + y = 9 ve x + 2y = 8 denklemlerini sağlayan x ve y sayılarını belirleyiniz”
biçiminde ifade edilebilir.
Başlangıçta ele aldığımız problemi ya da onun matematiksel modelinin çözümünü tartışmadan önce konu ile ilgili bazı terimler tanımlayacağız.
a, b, h  ℝ olmak üzere ax + by = h denklemine bir (iki değişkenli) doğrusal denklem
denir. Bu ifadede x ve y sembollerine değişkenler, a ve b sayılarına katsayılar, h
sayısına da sağ taraf sabiti denir.
ax + by = h doğrusal denkleminin bir çözümü denince bu denklemi sağlayan, yani
ax0 + by0 = h olan bir (x0 , y0 ) reel sayı ikilisi anlaşılır.
Örnek. 3x + y = 9 doğrusal denkleminin bazı çözümleri, (0,9), (1, 6), (3,0), (-1,12) dir.
(2,4) bu denklemin bir çözümü müdür? Neden? Her t  ℝ için bu denklemde x yerine t
yazılarak y hesaplanırsa, y = - 3t + 9 elde edilir. Dolayısıyla, her t  ℝ için (t , -3t + 9)
bu denklemin bir çözümüdür. Diğer yandan, bu denklemin bir çözümünün birinci
bileşeni t ise, ikinci bileşeni -3t + 9 olacağından bu denklemin çözüm kümesi,
Ç = {(t,-3t + 9) : t  ℝ} olarak ifade edilebilir.
y
Geometrik olarak, katsayılarından en az biri sıfırdan
farklı olan her iki değişkenli doğrusal denklemin
grafiğinin düzlemde bir doğru olduğunu anımsayınız.
Doğrusal denklemin çözümleri, grafik üzerindeki
noktalara karşılık gelen sayı ikilileridir. Yukarıdaki
örnekte ele alınan 3x + y = 9 doğrusal denkleminin
çözümleri yandaki doğrunun noktalarına karşılık
gelen sayı ikilileridir.
(0,9)
(3,0)
3x+y=9
x
a, b, c, d, h, k  ℝ olmak üzere
ax  by  h

cx  dy  k
denklemler topluluğuna bir doğrusal denklem sistemi denir. Böyle bir doğrusal denklem
sisteminin bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir (x0 , y0 ) reel sayı
ikilisi anlaşılır.
Başlangıçta ele aldığımız problemin matematiksel modeli yeni terimlerle şöyle ifade
edilebilir:
3x  y  9

 x 2y  8
doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için çeşitli yöntemler vardır:
Grafik Yöntemi , Yerine Koyma Yöntemi, Yok Etme Yöntemi.
Şimdi bu yöntemleri örneklerle açıklayacağız.
Grafik Yöntemi. Her doğrusal denklemin grafiğinin bir doğru olduğunu anımsa-yınız.
Düzlemde iki doğrunun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir:
Kesişen doğrular
Paralel doğrular
Çakışık doğrular
Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki
doğrusal denklemlerin grafikleri aynı düzlem üzerinde(örneğin, aynı grafik kâğıdı
üzerinde) çizilir ve elde edilen doğruların ortak noktalarına yani kesişim noktalarına
bakılır.
ax  by  h

cx  dy  k denklem sistemine karşılık gelen doğrular
 kesişen doğrular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vardır.
 paralel doğrular ise, hiç çözümü yoktur.
 çakışık doğrular ise, sonsuz çoklukta çözümü vardır.
3x  y  9
Örnek. 

 x 2y  8
y
(0,9)
(0,4)
(2,3)
(3,0)
x
(8,0)
x + 2 y =8
Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , 3)}.
3x + y =9
Örnek.
y
 x  2 y  2

2 x  4 y  8
(0,2)
(-2,0)
(4,0)
x
(0,-1)
2x +4y =8
x +2y = -2
Çözüm Kümesi: Ç = .
Örnek.
y
 x  2y  4

2 x  4 y  8
(0,2)
(4,0)
x
2x +4y =8
x +2y = 4
Çözüm Kümesi: Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t  ℝ}.
Grafik kâğıdı olmadan da grafik yöntemi ile çözüm yapabilirsiniz. Örnek olarak
aşağıdaki denklem sistemini grafik kâğıdı kullanmadan grafik yöntemi ile çözmeye
çalışalım.
y
2 x  y  3

 x  2 y  4
3
-3/2
-4
x
-2
Grafikten iki doğrunun kesim noktasının koordinatlarını tahmin etmeye çalışalım.
Kesim noktasının y - koordinatı -1 olabilir mi? Öyle ise, x – koordinatı ne olur?
Örneğin, ilk denklemde y = -1 olursa, x = -2 olmaz mı?
(-2, -1) her iki denklemi de sağlar mı?
O halde, Ç = {(-2, -1) }.
Yerine Koyma(Substitution) Yöntemi. Denklemlerden birinden değişkenlerden biri diğeri
cinsinden ifade edilir ve diğer denklemde yerine konur.
Örnek.
3x  y  9

 x 2y  8
y = 9 – 3x
x + 2(9 – 3x) = 8
x + 18 – 6x = 8
18 – 5x = 8
5x = 10
x=2
y=9-6
y=3
Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , 3)}.
Örnek.
3x  y  2

2x  3 y  5
y = 2 – 3x
2x - 3(2 – 3x) = 5
2x -6 + 9x = 5
-6 + 11x = 5
11x = 11
x=1
y=2-3
y = -1
Çözüm Kümesi: Ç = {(1 , -1)}.
Örnek.
4 x  2 y  4

2 x  y  5
y = 2x - 5
4x - 2(2x – 5) = 4
4x – 4x + 10 = 4
10 = 4
!!!...
Çözüm Kümesi: Ç = .
Örnek.
4 x  2 y  4

2 x  y  2
y = 2x - 2
4x - 2(2x – 2) = 4
4x – 4x + 4 = 4
4=4
!!!...
Çözüm Kümesi: Ç = {(t , 2t - 2) : t ℝ}.
Yok Etme(Elimination) Yöntemi. Bu yöntemde, verilen bir denklem sistemi, adım-adım
bazı işlemler uygulanarak, çözümü daha kolay ancak verilen sistemle aynı çözüm
kümesine sahip bir sisteme dönüştürülür. Sözü edilen sistem çözülerek sonuca ulaşılır.
Çözüm kümeleri aynı olan iki denklem sistemine denk sistemler denir.
Örnek.
3x  y  9

 x 2y  8
ve
 3x  y  9

  10
  5x
sistemleri denktir, çünkü her iki
sistemin de çözüm kümesi Ç = {(2 , 3)} tür.
Yok EtmeYöntemi aşağıdaki teoremin uygulanmasıyla gerçekleştirilir.
Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir
denklem sistemine dönüştürür:
A. İki denklemin yerlerini değiştirmek.
B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak.
C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak.
Örnek.
3x  y  9

 x 2y  8
(-2)  (birinci) + (ikinci)
(-1/5)  (ikinci)
(-3)  (ikinci) + (birinci)
(ikinci)  (birinci)
 3x  y  9

 10
 5 x
3x  y  9

2
 x


 x
y 3
x


2
Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , 3)}.
2
y 3
Örnek.
 x  2y  4

2 x  4 y  8
(-2)  (birinci) + (ikinci)
x  2 y  4

00

y
1
x2
2
x = t  y = (-1/2) t + 2
Çözüm Kümesi: Ç = {(t,-(1/2)t+2) : t ℝ}.
Örnek.
 x 2y  4

 2x  4 y  12
(-2)  (ikinci) + (birinci)
x  2 y  4

04

!!!...
Çözüm Kümesi: Ç = .
Örnek.
5  (birinci) , 2  (ikinci)
3 x  2 y  8

2 x  5 y  1
15 x  10 y  40

 4 x  10 y  2
(birinci) +(ikinci)
15 x  10 y  40

 38
 19 x
(1/19)  (ikinci)
15 x  10 y  40

 2
 x
-15  (ikinci) + (birinci)
(-1/10)  (birinci)
(ikinci)  (birinci)
  10 y  10

 2
x


x
 x


y  1
 2
 2
y  1
Çözüm Kümesi: Ç = {(2 , -1)}.
Günlük yaşamda karşılaşılan problemlerden önemli bir kısmının matematiksel modeli
doğrusal denklem sistemleri olarak oluşturulabilir. Derslerimiz içinde aşağıdakine benzer
pek çok örnek göreceğiz.
Arz ve Talep(Supply and Demand). Tüketicilerin belli bir zaman aralığında belli bir
üründen ne kadar satın alacakları o ürünün fiyatına bağlıdır. Genel olarak fiyat yükseldikçe talep azalır; fiyat düştükçe talep artar. Benzer şekilde, satıcıların belli bir zaman
aralığında belli bir üründen ne kadar satışa sunacakları da o ürünün fiyatına bağlıdır.
Genel olarak, satıcı, ürününü yüksek fiyatla alıcı bulunduğu zaman daha çok satmak
ister. Piyasa araştırmaları ile tüketicilerin bir ürünü hangi fiyattan ne kadar tüketmeye
eğilimli oldukları; satıcıların da bir ürünü hangi fiyattan ne miktarda satmaya eğilimli
oldukları tahmin edilebilir. Tüketicilerin bir ürünü hangi fiyattan ne kadar tüketmeye
eğilimli olduklarını gösteren denkleme fiyat – talep denklemi, satıcıların bir ürünü hangi
fiyattan ne kadar satmak eğiliminde olduklarını gösteren denkleme de fiyat – arz
denklemi denir.
Problem. Bir beldede kiraz satışlarıyla ilgili olarak yapılan arştırmalar, piyasada tonu
p TL den x ton kiraz talep edileceği düşünüldüğünde, fiyat – talep denkleminin
p = -(0.2)x + 3.9,
tonu p TL den x ton kiraz satılabileceği düşünüldüğünde, fiyat – arz denkleminin ise
p = (0.08)x + 0.54
olduğu görülüyor. Denge fiyatını, yani arz ile talebin çakıştığı fiyatı, bulunuz.
Problem. Bir beldede kiraz satışlarıyla ilgili olarak yapılan araştırmalar, piyasada tonu
p TL den x ton kiraz talep edileceği düşünüldüğünde, fiyat – talep denkleminin
p = -(0.2)x + 3.9,
tonu p TL den x ton kiraz satılabileceği düşünüldüğünde, fiyat – arz denkleminin ise
p = (0.08)x + 0.54
olduğu görülüyor. Denge fiyatını, yani arz ile talebin çakıştığı fiyatı, bulunuz.
Çözüm. Örneğin, 10 tonluk talep olduğunu varsayalım. Fiyat - talep denklemi, fiyatın 1.9
TL olmasını gerektirir ki, bu fiyat için fiyat – arz denklemi de arzın 17 ton olmasını
gerektirir. Bu durumda talepten çok kiraz arz edilmiş olur. Denge fiyatı, hem fiyat – talep
denkleminin hem de fiyat – arz denkleminin sağlandığı fiyattır. Başka bir deyimle, her iki
denklemi de sağlayan p ve x değerleri bulunursa, denge fiyatı belirlenmiş olur. Her iki
denklemi de sağlayan p ve x değerlerinin bulunması, aşağıdaki denklem sisteminin çözüm
kümesinin bulunması demektir. Çözüm için, istenilen yöntem uygulanabilir. Biz yerine
koyma yöntemini kullanacağız.
p  (0.2)x  3.9

p  (0.08)x  0.54
p= -(0.2)x + 3.9
-(0.2)x + 3.9– (0.08)x = 0.54
-(0.28)x = -3.36
Denge fiyatı p = 1.5 TL dir. Piyasaya x = 12 ton kiraz sürülmelidir.
x = 12 , p = 1.5
Problem. Piyasaya yeni sürülen bir ürün için fiyat-talep denklemi p =(-0.05)x +70 olarak
ve fiyat-arz denklemi p = (0.001)x + 8.8 olarak belirlendiğine, fiyat TL ve ürün miktarı
kg ile ifade edildiğine göre, denge fiyatını ve o fiyattan piyasaya sürülecek ürün miktarını
belirleyiniz.
p  (0.05)x  70
Çözüm. 
p  (0.001)x  8.8
p  (0.05)x  70

p  (0.001)x  8.8
doğrusal denklem sisteminin çözümü problemimizin çözümünü verecektir. Yerine koyma yöntemi ile,
p =(-0.05)x + 70
(-0.05)x + 70 - (0.001)x = 8.8
(-0.051)x = -61.2
x
61200
 1200
51
Denge fiyatı p = 10 TL dir. Piyasaya x = 1200 kg ürün sürülmelidir.
Çok Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri.
Bu dersin başında ele aldığımız problemin verileri değiştirilerek ifade edilmiş olan
aşağıdaki problemi göz önüne alalım.
Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri, 3 kg elma, 1 kg portakal ve 1 kg muz için
12 TL, diğer bir müşteri de 1 kg elma, 2 kg portakal ve 2 kg muz için 14 TL ödemiştir.
Bir kg elma kaça satılmaktadır?
Çözüm için, dersin başlangıç kısmında olduğu gibi, bir kg elmanın x TL den, bir kg
portakalın y TL den ve bir kg muzun da z TL den satıldığını varsayarak problemin
veri ve koşullarından 3x + y + z =12 ve x + 2y + 2z =14 olduğu görülür. Problemimiz bu
denklemleri sağlayan x, y ve z sayılarından özellikle x i belirlemektir.
Görüldüğü üzere yeni problemin matematiksel modelinde de denklemler ortaya çıktı. Bu
denklemlerin başlangıçtaki problemde ortaya çıkan denklemlerden farkı, x ve y
değişkenlerine ek olarak yeni bir z değişkeni ve bu değişkene ait katsayılar içermesidir.
Yeni değişkenin ortaya çıkış nedeni satın alınan meyvelere “muz”un da katılmasıdır.
Başka bir meyve daha, örneğin “nar” satın alınsa bir değişken daha kullanılacak ve
değişken sayısı dört olacaktı.
Bir problemin matematiksel modeli oluşturulurken değişken sayısı üç veya daha az ise,
değişkenler için x, y ve z sembolleri tercih edilebilmekle beraber; değişken sayısı üçten
fazla ise, o zaman değişkenler için aynı sembol numaralanarak kullanılır. Örneğin, beş
değişken için x1 , x2 , x3 , x4 , x5 kullanılabilir.
Ele alınan manav problemi ile ilgili olarak şu hususu da belirtelim ki eğer manavdan
bir üçüncü müşteri de alışveriş eder ve aynı tür meyvelerden satın alırsa, onunla ilgili
veriler üçüncü bir denkleme yol açar.
Bu tartışmalar bizi çok değişkenli doğrusal denklem ve çok değişkenli doğrusal
denklem sistemi kavramlarına götürür.
Böylece, a1, a2, . . . , an , b  ℝ olmak üzere
a1x1 + a2x2 + . . . + an xn = b
ifadesine bir n değişkenli doğrusal denklem denir. a1, a2, . . . , an
denklemin katsayıları, b sayısına da sağ taraf sabiti denir.
sayılarına
c1, c2, . . . , cn reel sayıları verilmiş olsun. Eğer a1c1 + a2c2 + . . . + an cn = b ise,
(c1, c2 , . . . , cn ) sıralı n-lisine a1x1 + a2x2 + . . . + an xn = b denkleminin bir
çözümü denir.
Örnek. Manav probleminde ortaya çıkan denklemlerden 3x + y + z =12 nin çözümlerinden ikisi (2,3,4) ve (2,2,4) tür. Bu üçlüler x +2 y + 2z =14 denklemi için de çözüm müdür?
aij , bi  ℝ , 1  i  m , 1  j  n olmak üzere n değişkenli m denklemden
oluşan
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1

a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2



a x  a x    a x  b
m2 2
mn n
m
 m1 1
denklemler topluluğuna bir n değişkenli doğrusal denklem sistemi denir. aij sayılarına
sistemin katsayıları, bi sayılarına da sağ taraf sabitleri denir.
n değişkenli bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince, o sistemdeki denklemlerden her birinin çözümü olan bir sıralı reel sayı n-lisi anlaşılır.
Bu tanımlardan sonra manav probleminin matematiksel modeli aşağıdaki gibi ifade
edilebilir:
3x  y  z  12

 x  2 y  2z  14
doğrusal denklem sistemini çözünüz.
Matematiksel modelin çözümünün asıl problemde sorulandan daha çok bilgi içereceği
dikkatli okurun gözünden kaçmamıştır. Arzu edilirse matematiksel modelin sadece asıl
problemde sorulan değeri verecek şekilde ifade edilebileceği açıktır. Asıl problemde,
matematiksel modeldeki doğrusal denklem sisteminin çözümlerinde x bileşeninin ne
olacağı sorulmaktadır. Öyle anlaşılıyor ki tüm çözümlerde x bileşeni aynı olacaktır. x
bileşeninin bu değerini bulmaya çalışınız.
Bir sonraki dersimizde çok değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için çok
etkin bir yöntem göreceğiz. Fikir olarak iki-değişkenli doğrusal denklem sistemleri için
gördüğümüz yok etme yöntemine dayanan bu yöntem için biraz hazırlık gerekecektir.
Dersimizin kalan kısmı bu hazırlık doğrultusunda kullanılacaktır.
Çözüm kümeleri aynı olan iki doğrusal denklem sistemine denk sistemler denir.
İki-değişkenli doğrusal denklem sistemleri için gördüğümüz yok etme yöntemi, daha
çok değişkenli doğrusal denklem sistemleri için de aynen geçerlidir. Bir denklem
sistemini çözmek için aşağıdaki teoremde ifade edilen A, B, C işlemleri kullanılarak o
sisteme denk ancak çözümü daha kolay bir denklem sistemleri zinciri elde edilerek
adım adım çözüme ulaşılır.
Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir
denklem sistemine dönüştürür:
A. İki denklemin yerlerini değiştirmek.
B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak.
C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme toplamak.
Örnek. Manav probleminin matematiksel modelinde verilen üç değişkenli doğrusal
denklem sisteminin çözümünü yok etme yöntemi ile yapalım:
3 x  y  z  12

 x  2 y  2 z  14
 3 x  y  z  12
 
  10
 5x
3 x  y  z  12
 
2
 x
 y  z 6
 
2
x
2
x
 
 y  z 6
Birinci denklem -2 ile çarpılıp
ikinci denkleme toplandı
İkinci denklem -1/5 ile çarpıldı
İkinci denklem -3 ile çarpılıp
birinci denkleme toplandı
İki denklemin yerleri değiştirildi
Matematiksel modelin çözümlerine son adımdaki denklem sistemini kullanarak
baktığımız zaman her bir çözümde x = 2 olduğunu görüyoruz. Demek ki elmanın
kilogramı 2 TL den satılmaktadır. Matematiksel modelin çözüm kümesini yazmaya
çalışınız.
Örnek. 36 bin TL nin bir kısmı A-bank’a, bir kısmı B-bank’a ve geri kalan kısmı
da C-bank’a yatırılıyor. A-bank ve B-bank’a yatırılan toplam miktar, C-bank’a
yatırılan miktardan 6 bin TL fazla; A-bank ve C-bank’a yatırılan toplam miktar ise,
B-bank’a yatırılan miktarın iki katından 3 bin TL eksiktir. Her bir bankaya kaç TL
yatırılmıştır?
Çözüm. A-bank’a yatırılan miktar x bin TL, B-bank’a yatırılan miktar y bin TL ve
C-bank’a yatırılan miktar z bin TL olsun. Problemde verilenlerden
x  y  z  36
x y  z6
x  z  2y 3
denklemleri elde edilir. Dolayısıyla, problemimizin çözümü
 x  y  z  36

x  y  z  6
 x  2 y  z  3

denklem sisteminin çözümüne indirgenmiştir. Çözümü izleyen sayfada verelim.
 x  y  z  36

x  y  z  6
 x  2 y  z  3

 x  y  z  36

 
 2 z   30
  3y
  39

Birinci denklem -1 ile çarpılıp
önce ikinci denkleme sonra
da üçüncü denkleme toplandı
 x  y  z  36

 
z  15

y
 13

İkinci denklem -1/2 ile ve üçüncü denklem -1/3 ile çarpıldı.
x

 


x

 


 8
z  15
y
 13
 8
y
İkinci denklem -1 ile ve üçüncü
denklem -1 ile çarpılıp birinci
denkleme toplandı.
 13
İkinci ve üçüncü denklemlerin
yerleri değiştirildi.
z  15
Son sistemden doğrusal denklem sistemimizin çözümünün Ç = {(8,13,15)} olduğu
görülür. Bu çözümü asıl problem için yorumlarsak, A-bank’a 8 bin TL, B-bank’a 13
bin TL ve C-bank’a 15 bin TL yatırılmış olduğu görülür.
İki ve üç değişkenli doğrusal denklem sistemlerinin çözümü için çok elverişli olan yok
etme yöntemi değişken sayısı (ve denklem sayısı) arttıkça elverişsiz hale gelir.
Gerçekten, kendinizi on değişkenli sekiz denklemden oluşan bir doğrusal denklem
sistemini yok etme yöntemi ile çözerken düşününüz. İnsan bunalabilir, değil mi? Kaldı
ki değişken sayısı ve denklem sayısı yüzlerle ifade edilen doğrusal denklem sistemleri
de söz konusu olabilir.
Yok etme yöntemi, değişken sayısı ve denklem sayısı çok olan doğrusal denklem
sistemlerinin çözümü için de elverişli olacak, hatta bilgisayara programlanabilecek
biçimde revize edilerek Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi olarak bilinen yöntem
geliştirilmiştir. Bu yöntemde kullanılan temel araç matris kavramıdır.
Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi’nde temel gözlem, n değişkenli m denklemden ibaret
olan
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1

a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2



a x  a x    a x  b
m2 2
mn n
m
 m1 1
doğrusal denklem sisteminin, katsayıları ve sağ taraf sabitlerinden oluşan
a11 a12

a
a22
 21


am1 am 2

a1n

a2 n


amn
b1 

b2



bm 
tablosu tarafından tamamen belirlenmiş olduğudur. Gerçekten, bu tablo bilindiği
takdirde, bu tabloya yol açan doğrusal denklem sistemini yeniden yazmak sorun
değildir. Bu tabloya söz konusu doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi denir.
Dikkât edilirse, n değişkenli m denklemden oluşan sistemin ilaveli matrisi denklem
sayısı kadar (m tane) satır ve değişken sayısının bir fazlası kadar (n+1 tane) sütundan
oluşmaktadır. Tabloda son sütundan önceki düşey çizgi, sağ taraf sabitlerin oluşturduğu
sütunu katsayılardan oluşan diğer sütunlardan ayırmak için konmuştur.
Bu noktada, okuyucunun, ilaveli matrisi verilen bir denklem sistemini veya verilen bir
doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisini yazmak hususunda birkaç alıştırma
yapması yararlı olacaktır.
Örnek. Bu dersin ilk kesiminde ortaya çıkan
3
ilaveli matrisi 
1
1
9
,
8
2
sisteminin ilaveli matrisi
3x  y  9

doğrusal denklem sisteminin
x

2
y

8

3x  y  z  12
yukarıda ortaya çıkan 
 x  2 y  2z  15
3

1
1
1
2
2
12

15
doğrusal denklem
tir.
Aşağıda, solda görülen matristen sağdaki dört değişkenli üç denklemden oluşan bir
doğrusal denklem sistemini yazabileceğinizi gözlemleyiniz:
3

2

1
4
1
2
3
7
1
2
0
4
5

4

3
3 x1  4 x2  x3  2 x4  5

2 x1  3 x2  7 x3  x4  4
 x  2x
 4 x4  3
2
 1
Matrisler. Denklem sistemlerinin yoketme yöntemi ile çözümünde, katsayıların ve sağ
taraf sabitlerinin temel rolü oynadığını gözlemlemiştik. Matris kavramı bu çözüm
sürecinin daha etkin uygulanabilmesini ve bilgisayar kullanımına uyarlanabilmesini
sağlar.
m tane satır
ve n tane sütun oluşturacak biçimde dizilmiş
oluşturduğu tabloya bir mn matris denir. Örnek olarak,
 5
A
 2
 1

4
1
3
,
 5

2

B
 4

 6
mn
tane sayının
 1

4
1

5
2

0 3
3
tablolarından ilki bir 2 × 3 matris A , diğeri de bir 4 × 3 matris B yi göstermektedir.
Bir matrisi oluşturan sayılardan her birine o matrisin bir girdi(entry)si denir. Yukarıda,
A matrisinin 6 adet girdisi 2 satır(row) ve 3 sütun(column) oluşturacak biçimde ; B
matrisinin 12 adet girdisi de 4 satır ve 3 sütun oluşturacak biçimde düzenlenmiştir.
Bir matrisin girdileri ait oldukları satır ve sütuna gönderme yapılarak belirtilir. Bir
matrisin i – inci satırında ve j – inci sütununda bulunan girdiye o matrisin i-j girdisi
denir. Örneğin, A matrisinin 1-2 girdisi 3 , B matrisinin 3-2 girdisi -5 tir.
Bir m × n matris A genellikle aşağıdaki gibi gösterilir.
 a1n 
a11 a12


a 21 a 22
 a2n

A 





a
a

a
 m1
m2
mn 
m × n ifadesine A matrisinin büyüklüğü(magnitude) , m ve n
matrisinin boyutları(dimensions) denir.
sayılarına da A
Sadece bir satırdan oluşan bir matrise satır matrisi , sadece bir sütundan oluşan bir
matrise sütun matrisi denir. Örneğin, aşağıda A bir 1 × 3 satır matrisi , B bir 2 × 1
sütun matrisidir.
 5 
A5
3
1

B


2


Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak
düşünülebilir. Örneğin yukarıdaki m × n matris olan A nın birinci satırı
a11
a12

a21
a22

ikinci satırı
dır.
a1n 
a2 n 
 5

2

A
 4

 6
 1

4
1

5
2

0 3 
3
birinci satır
ikinci satır
üçüncü satır
dördüncü satır
1-2 girdisi
3-2 girdisi
2-3 girdisi
Denklem sistemlerini yok etme yöntemi ile çözerken kullandığımız A , B ve C işlemlerinden her biri sistemin ilaveli matrisinin satırları üzerinde bazı işlemlere karşılık gelir.
Daha açık bir ifadeyle, bir doğrusal denklem sistemine bu işlemlerden herhangi biri
uygulanarak elde edilen sistemin ilaveli matrisi başlangıçtaki sistemin ilaveli matrisinin
satırlarına uygun bir işlem uygulanarak elde edilir.
A işlemi, yani iki denklemin yerlerinin değiştirilmesi, ilaveli matriste karşılık gelen
satırların yerlerinin değiştirilmesi;
B işlemi, yani bir denklemin sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması, ilaveli matriste karşılık
gelen satırın her bir girdisinin o sayı ile çarpılması;
C işlemi, yani bir denklemin bir sayı ile çarpılıp başka bir denkleme toplanması, ilaveli
matriste bir satırın her girdisinin o sayı ile çarpılıp başka bir satırın karşılık gelen
girdisine toplanması
sonucunu verir.
Bundan böyle bir satırın bir c sayısı ile çarpılması denince o satırın her girdisinin c sayısı
ile çarpılması, bir satırın aynı büyüklükte diğer bir satıra toplanması denince o satırın her
girdisinin diğer satırda karşılık gelen girdiye toplanması anlaşılacaktır.
Örnek. [ 5 3 -1] satırı 2 ile çarpılırsa, [10 6 -2] satırı elde edilir. Aynı satır 2 ile
çarpılıp [ -3 1 4] satırına toplanırsa, [7 7 2 ] satırı elde edilir.
Şimdi, bundan önceki kesimin üçüncü örneğinde ortaya çıkan doğrusal denklem sistemini
yok etme yöntemi ile çözerken uyguladığımız işlemlerin ilaveli matrise nasıl yansıdığını
görelim.
 x  y  z  36

x  y  z  6
 x  2 y  z  3

:
1

1

1
1
1
1
1
2
1
36 

6

 3
İlaveli matris
 x  y  z  36

 
 2 z  30
  3y
 39

1

0

0
 x  y  z  36

 
z  15

y
 13

1

0

0
1
1
0
1
1
0
1

0

0
0
8

1 15

0 13
İkinci satır -1 ile ve üçüncü satır -1 ile
çarpılıp birinci satıra toplandı.
8

0 13

1 15
İkinci ve üçüncü satırın yerleri
değiştirildi.
x

 


x

 


 8
z  15
y
 13
 8
y
 13
z  15
1

0

0
1
1
0
2
3
0
0
1
0
1
0
36 

 30

 39
36

15

13 
Birinci satır -1 ile çarpılıp önce ikinci
satıra sonra da üçüncü satıra toplandı
İkinci satır -1/2 ile ve üçüncü satır -1/3
ile çarpıldı.
0
0
Bir denklem sistemini çözerken denklemler üzerinde işlemler yapmak yerine ilaveli
matrisin satırları üzerinde işlem yapmayı düşünür veya tercih eder misiniz? Yanıtınız
“evet” ise, bu yanıtın ne kadar isabetli olduğu bir sonraki dersimizde daha iyi
anlaşılacaktır.
Verilen bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisinin satırlarına yukarıda belirtilen
türde işlemler uygulanınca elde edilen matrise karşılık gelen doğrusal denklem sistemi
önceki doğrusal denklem sistemine denk olacaktır. Bu nedenle, bir doğrusal denklem
sistemini çözmek için düşünülebilecek doğal yollardan biri o sistemin ilaveli matrisinin
satırlarına sözü edilen işlemlerden uygulanarak, karşılık gelen doğrusal denklem
sisteminin çözüm kümesi kolayca bulunabilecek basit bir matris elde etmeye çalışmak
olacaktır. Burada basit sözcüğü ile ne kastedildiği izleyen dersimizde açıklığa
kavuşacaktır.
Download

ve x - Başkent Üniversitesi