İçindekiler
TOPLAMA VE ÇIKARMA ..................................................................................... 1-12
ÇARPMA VE BÖLME ......................................................................................... 13-30
İŞLEM ÖNCELİĞİ .............................................................................................. 31-52
PARANTEZ AÇILIMI . ......................................................................................... 53-62
ORTAK PARANTEZE ALMA . ............................................................................. 63-68
PARANTEZ AÇMA ............................................................................................. 69-84
SADELEŞTİRME . .............................................................................................. 85-87
DENKLEM ÇÖZÜMLERİ .................................................................................. 88-116
RASYONEL SAYILAR .................................................................................... 117-140
ONDALIK SAYILAR . ...................................................................................... 141-154
ORAN VE ORANTI . ....................................................................................... 155-158
RASYONEL DENKLEMLER . ......................................................................... 159-174
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER .......................... 175-186
ORANTININ KURULMASI . ............................................................................ 187-188
ORAN VE ORANTI 2 . .................................................................................... 189-194
BASİT EŞİTSİZLİKLER .................................................................................. 195-204
MUTLAK DEĞER ........................................................................................... 205-218
ÜSLÜ İFADELER ........................................................................................... 219-236
KÖKLÜ İFADELER ......................................................................................... 237-258
ÇARPANLARA AYIRMA ................................................................................. 259-274
KÜMELER VE BAĞINTI ................................................................................. 275-292
FONKSİYONLAR ........................................................................................... 293-312
İŞLEM . ........................................................................................................... 313-320
MODÜLER ARİTMETİK ................................................................................. 321-324
PROBLEMLER ............................................................................................... 325-350
SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ VE TABAN ARİTMETİĞİ ............................... 351-353
FAKTÖRİYEL VE BÖLÜNEBİLME KURALLARI ............................................ 353-358
OBEB – OKEK ............................................................................................... 359-364
21
Çarpma ve Bölme
Sıfırdan Zirveye
Jİşlem
özelliğini bildiğinize göre aşağıdaki örnekleri çözünüz.
8.
(6 + 4 · 3) – (5 + 3 · 2)
9.
1 + 2(3 + 2 · 4) – 24
1.
2–3·4
2.
3·2–4·5
10. 12 – 12( 2 + 3)
3.
5·2–3·7
11. 16 – 2(3 + 5 · 3)
4.
4(3 + 2) – 2(5 + 3)
12. (4 + 3 · 2) – 2(6 + 5 · 2 + 4)
5.
9 + 9(3 + 2)
6.
5 – 5(3 + 2 · 3)
7.
5(5 · 2 – 3 · 4) – 5(2 + 3)
13. (–4) (–5) – 2(3 · 3 + 1)
14. 2 + 3(2 + 2 · 5 – 4 · 3)
15. –(2 + 3 · 2) – (9 – 2· 3)
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
–42
13
4
–3
1
0
3
–8
3
2
–13
20
–12
11
–2
22
Sıfırdan Zirveye
Çarpma ve Bölme
16. 3 · 2 – 5 · 6 – 2(3 + 2 · 3)
24. 4 – 4(5 · 3 + 2) – 3(2 – 4 · 6) + 1
17. 5 · (–3) – 2(7 · 2 – 4· 7)
25. 3 – 3(4 · 3 + 2) – 5(2 – 5 · 2) + 1
18. 3 · 4 – 5 · 6 – 2(–3 · 4 + 1)
26. 4 · 6 – 3(2 + 3 · 2) – 5 · 3 + 2
19. (2 · 4 + 3· 5) – 2(3 · 4 + 1)
27. 7 · 8 – 2(3 · 4 + 5) – 2 · 3 + 4
20. 2(3 + 4 · 2) – (4 · 5 + 1)
28. 9 · 8 – 4(5 · 3 + 2) – 5 · 2 – 6
21. 6 + 6(2 · 3 + 1) – 3(5 · 3 + 1)
29. 9 · 6 – 6 · 7 – 5 · 3 – 2(5 – 2 · 3 · 2)
22. 6 – 6(2 · 3 + 1) + 3(5 · 2 + 3)
30. 7 – 7(3 · 4 – 5 · 3 + 1) – 23
23. 5 – 5(2 · 3 + 1) + 2(3 + 4 · 2)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
–10
–14
–11
4
54
–40
–35
7
–1
–48
–20
–30
0
2
–11
59
Sıfırdan Zirveye
Parantez Açma
İçinde Bilinmeyenlerle İşlem Yapma
JBu zamana kadar sayılarla işlem yaptık. Artık biraz
daha kendimizi geliştirmiş olarak görelim. Matematiğe
bir adım daha kendimizi hazır hissedelim.
İlk adımı attık. Artık temeli aldık. Bundan sonra sıra
matematiğin bilinmeyenlerine geldi. Bilinmeyeni bulma
bilinmeyenle işlem yapma zamanı geldi. Kolay gelsin.
Etkinlik:
6. 8x + x – 10x = 9x – 10x = –x olarak kalır.
7. 10x – 9x + 6x = 10x + 6x – 9x
JÖnce topla sonra çıkar.
16x – 9x = 7x
8. 7x – 4x – 5x + x
1. x + 7
x nasıl bir sayıdır bilmiyoruz. Ancak + 7 sayısını biliyoruz.
7x + 1x – 4x – 5x
8x – 9x = –x
x ile 7 toplamak mümkün mü? Tabiki hayır. Bilinmeyen bir sayı ile bilinen bir sayı toplanmaz.
9. 6x – 5x – 3x + 4x
JGünlük hayatta elma ile armut toplanmaz. Armutla
armut toplanır. Elma ile elma toplanır. Bunu hiç unutmayınız.
Jİfadeler yer değiştirebilirler.
x + x + 7 = 2x + 7
3x – 2x + 7 = x + 7
6x + 4x – 5x – 3x
10x – 8x = 2x
10.–9x + 6x – 10x + 3x
6x + 3x – 9x – 10x
2. 3x + 2x = 5x
9x – 19x = –10x
Katsayılar toplanır veya çıkartılır. Bilinmeyen yanına
çarpan olarak yazılır.
JAynı işaretli olanları topla, daha sonra çıkarma işlemi yap. Büyük olanın işaretini al.
3. 4x – 2x = 2x
4x den 2x çıkardım, 2x kalır.
J4 elmadan
2 elma yedim. 2 elma kalır.
123
123
x
x
4. 5x + 2x – 3x = 7x – 3x = 4x
5 elma + 2 elma – 3 elma
123
123
123
x
x
144424443
x
7 elma – 3 elma = 4 elma
JBunları elma değil de armut yapabilir miyiz? Evet
yapabiliriz.
5. 8x – x = 7x
↓
1 (Gizli 1 var unutmayın!)
PARANTEZ AÇILIMI
JParantezleri açarken parantezin dışındaki sayı ile
içindeki sayıların tamamını çarpacaksın. Bu işlemlerde
en büyük hatanız bu. Önce işaretleri çarp sonra ifadeleri. Bunu kavradınız mı bu iş bitti.
Etkinlik:
1. 2 (x – 4) = 2x – 2 · 4 = 2x – 8
2. 4 (x – 3) = 4 · x – 3 · 4 = 4x – 12
3. (x – 2) 6 = 6x – 6 · 2 = 6x – 12
60
Sıfırdan Zirveye
Parantez Açma
4. 3 (2x – 1) = 3 · 2x – 3 · 1 = 6x – 3
5. –2 (x + 3) = –2x – 2 · 3 = –2x – 6
6. (4x + 2) 3 = 3 · 4x + 3 · 2 = 12x + 6
J
–4 · 1 · 3 = –4 · 3 = – 12
(doğru)
J
–4 · 2 · 3 = –8 · 3 = –24
(doğru)
J
(–4 · 2) (–4) (3) = –8 · (–12) = 96
(doğru)
JUnutmayın,
matematik yalan konuşmaz. Gördüğünüzü yapın. Sizden başka bir şey istenmiyor.
14.–2 (x – y – 3) = –2 · 1x – 2(–1)y – 2(–3)
= –2x + 2y + 6
7. –2 (x – 3) = –2 · x – 2(–3) = –2x + 6
Jx in önünde gizli 1 var. Unutmayınız!
15.– (3x – 4y – 1) = –1(3)x – 1(–4)y – 1(–1)
8. – (x – 4) = –1 · 1 · x – 1(–4) = –x + 4
= –3x + 4y + 1
16.– (8x – y – 4) = –1 · 8 · x – 1(–1)y – (–4)
9. – (2x + 3) = –1(2x) – 1(3) = –2x – 3
= –8x + y + 4
10.3 (x + y) = 3 · 1 · x + 3 · 1 · y = 3x + 3y
Jx
⇒ elma
Aynı poşete konurlar. Ancak toplanmazlar veya çıkartılmazlar.
11.2 (x – y) = 2 · 1 · x – 1 · 2 · y = 2x – 2y
12.2 (x – y + 3) = 2 · 1 · x – 2 · 1 · y + 2 · 3 = 2x – 2y + 6
13.–4 (x + 2y – 3) = –4 · 1 · x – 4 · 2 · y – 4(–3)
= –4x – 8y + 12
JGeçmişi hatırlayalım.
–4 · 1 · 3 = –4 · 3 = –4x
↓
↓
x olsun
= –12x + 16y + 24
y ⇒ armut
17.–4 (3x – 4y – 6) = –4 · 3x – 4(–4)y – 4(–6)
x
18.– (–x – y – 1) = –1(–1)x – 1(–1)y – 1(–1)
=x+y+1
JUnutmayın parantezin dışındaki (–) işareti parantezin içindeki işaretleri tamamen değiştirir.
19.–3 (2x + 2y + 2) = –3 · 2x – 3 · 2y – 3 · 2
= –6x – 6y – 6
20.– (x + y – 2) = –1(1)x – 1(1)y – 1(–2) = –x – y + 2
21.2 (x – 1) + 3 (x – 2) = 2x – 2 + 3x – 6 = 5x – 8
65
Sıfırdan Zirveye
Parantez Açma
25. 5(x – 2) – 4(x – 3) + x – 4
31. 2x – [2x – (3 – x) + 1] + 3
26. 3(x – 5) + 2(x – 4) – 4(x – 4)
32. 3x – 3[2 – 2(1 – x) – 2x] + 3
27. x(3 – 5) + x(5 – 8) + 4(x – 1)
33. 6(x – 1) – [2 – (x + 4) – 3(x + 1)]
28. 2(x – 3) – 4(x – 2y) + 3x
34. 6(x – 3) – 2(x – 8) – 4(x – 1) + x
29. 4x – 4(x – 3) + 2(x – y)
35. –2(x – 1) – 2[x – (x – 5) – 2(x – 1) – 1]
30. 5(x – y) – 4(x – 3) + 4(x – 1)
36. 5(x – y + 1) – 2(x – 2y + 3) – (x – y)
66
Parantez Açma
Sıfırdan Zirveye
JŞimdi de iki parantez çarpımının sonucunu bulalım.
İlk beş soru 1. yolla çözülecek. İkinci 5 soru da 2. yolla
çözülecek.
5. (x – 4) (x + 4) = x(x – 4) + 4(x – 4)
123
= x2 - 4x + 4x - 16
Etkinlik:
= x2 – 16
1. (x – 1) (y + 4) = (x – 1) · y + (x – 1) · 4
123
= xy – y + 4x – 4
6. (x – 3) (x – 3) = x2 – 3x – 3x + 9 = x2 – 6x + 9
JÖnce işaretler sonra bilinmeyen veya sayılar çarpılır.
2. (x + 3) (y + 2) = (x + 3) y + (x + 3) 2 = x·y + 3y + 2x + 6
123
7. (x – 3) (x + 4) = x2 + 4x – 3x – 12 = x2 + x – 12
JÇarpmanın değişme özelliği vardır.
Etkinlik:
1+1
a) x · x = x
8. (2x + 5) (3x + 2) = 6x2 + 4x + 15x + 10
= 6x2 + 19x + 10
2
=x
b) x · x2 = x1 + 2 = x3
9. (x + y) (x + 3y) = x2 + 3xy + xy + 3y2
= x2 + 4xy + 3y2
JTabanlar aynı ise bir taban üzerinde üstler toplanır.
3. (2x – 1) (x – 3) = x (2x – 1) – 3 (2x – 1)
123
= 2x · x – 1 · x – 3 · 2x + 3 · 1
10.(2x + 3) (4x – 3) = 8x2 – 6x + 12x – 9 = 8x2 + 6x – 9
2
= 2x – x – 6x + 3
= 2x2 – 7x + 3
4. (2x + 3) (x – 2) = x(2x + 3) – 2(2x + 3)
123
= 2x2 + 3x – 4x – 6
11.
(x + 7y + 1) (x + 2) = x + 7xy + x2 + 2 + 14y + 2x
= 2x2 – x – 6
II. yolla çözüm
25.
26.
27.
2x – 2
x–7
–x – 4
28.
29.
30.
x + 8y – 6 2x – 2y + 12 5x – 5y + 8
=x2 + x + 2x + 7xy + 14y + 2
= x2 + 3x + 7xy + 14y + 2
31.
32.
33.
34.
35.
36.
5–x
3x + 3
10x – 1
2+x
2x – 10
2x – 1
69
Sıfırdan Zirveye
ORTAK PARANTEZE ALMA
Paranteze Alma
15.17x3 – 51x2 + 68x
17 · x · x2 – 17 · x · 3x + 17x · 4 = 17x(x2 – 3x + 4)
JÇarpanlara ayırmanın en önemli konusudur. Burada
bu konuyu işlememizin nedeni sayıları çarparak büyütmeden sonuca ulaşmaktır. Ortak parantezi bel lastiğine
benzet. Çekilince açılır. Bıraktın mı herkes yerine gider.
16.625x2 – 125x + 400 = 25 · 25x2 – 25 · 5x + 25 · 16
= 25(25x2 – 5x + 16)
Etkinlik:
1. 12x – 12y = 12(x – y)
2. 49 · 17 – 49 · 15 = 49 (17 – 15) = 49 · 2 = 98
3. 576 · 124 – 576 · 123 = 576 (124 – 123) = 576
4. 101 · 123 – 101 · 120 = 101(123 – 120) = 101 · 3 = 303
5. a · b – a · c = a(b – c)
6. x · y – 4x = x(y – 4)
7. 12x – 24 = 12 · x – 12 · 2 = 12(x – 2)
8. 102 · x – 34 = 34 · 3x – 34 · 1 = 34(3x – 1)
17.x2y – y2x + xy = xy · x – xy · y + xy · 1 = xy(x – y + 1)
18.90x2 – 30xy + 15x = 15 · x · 6x – 15x · 2y + 15 · x · 1
= 15x(6x – 2y + 1)
19. 7 x3 - 2 7 x2 - 7 x
= 7 · x · x2 - 7 · x · 2x - 7 · x
= 7 · x (x2 - 2x - 1)
20.(x – 2) (x – 4) + (x – 2) (x + 5) = (x – 2) (x – 4 + x + 5)
= (x – 2) (2x + 1)
21.(x2 – 1)x – (x2 – 1) = (x2 – 1) (x – 1)
22.(x + 3) (x – 5) – (x + 3) (–3) = (x + 3) (x – 5 + 3)
= (x + 3) (x – 2)
9. 50 · a – 75 · b = 25 · 2a – 25 · 3b = 25(2a – 3b)
23.171x2 – 19x + 38 = 19 · 9x2 – 19x + 19 · 2
= 19(9x2 – x + 2)
10.60 · a – 180 · b = 60a – 60 · 3b = 60(a – 3b)
11.2x – 2 = 2x – 2 · 1 = 2(x – 1)
24.50x2y – 75xy2 – 125xy
= 25 · xy · 2x – 25 · xy · 3y – 25 · xy · 5
12.4a + 4 = 4a + 4 · 1 = 4(a + 1)
= 25xy(2x – 3y – 5)
13.12x + 12y + 12 = 12(x + y + 1)
25.17x – 17 = 17 · x – 17 · 1 = 17(x – 1)
14.a3 – a2 = a2 · a – a2 · 1 = a2(a – 1)
26.(x – 1) (x – 2)x – (x – 1) (x – 2)y = (x – 1) (x – 2) (x – y)
70
Sıfırdan Zirveye
Paranteze Alma
10. ab – 3b + 5a – 15
JAşağıdaki soruları çarpım durumuna getiriniz.
1.
a(x + 4) – b(x + 4)
11. x3 + x – x2y – y
2.
(2a – b) (x – 2) + (2a – b) (x + 2)
3.
4x + 4y + x2y + y2x – ax – ay
4.
(x – y) (x + 2y) + (y – x)2y – x(x – y)
5.
3x – 12
6.
8x2 – 2x
16. 4(x – y) + 5(y – x)
7.
x(a + b) – a – b
17. x3 + x2 + x + 1
8.
(2a + 1)2 + (3a + 2) (2a + 1)
18. 4cx – 6ac – 6x2 + 9ax
9.
24xy + 18x2y
1.
14. a2x2 + axt + axy + yt
19. mx2 – nx2 + ny + 3y – 3x2 – my
3.
(x + 4)(a + b) 2x(2a – b) (x + y)(xy – a + 4)
2
13. xy2 + x – yx2 – y
15. 2(x – y) + 2(y – x)
2.
11.
12. x2y – xy2 + 4x – 4y
12.
13.
4.
0
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3(x – 4) 2x(4x – 1) (a + b)(x – 1) (2a + 1)(5a + 3) 6xy(4 + 3x) (a – 3)(b + 5)
14.
(x – y)(x + 1) (x – y)(4 + xy) (y – x)(xy – 1) (ax + t)(ax + y)
15.
0
16.
(y – x)
17.
2
18.
19.
2
(x + 1)(x + 1) (2x – 3a)(2c –3x) (x – y)(m – n – 3)
75
Sıfırdan Zirveye
Parantez Açma
JGruplandırarak çarpanlara ayırma konusunu çarpanlara ayırmada çok daha teferruatlı göreceğiz.
1.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
8.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
9.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
3(1 – a) + 3a
2.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
3x + 4y – 5x – 5y
4(x – 2y) + 8y – 4x
10. 3.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
5(x – y) + 4(x + y) – 9x
ifadesinin sonucunu bulunuz.
4(x – z) – 4(x + z)
11. 4.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
5.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
6.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
7.
ifadesinin sonucunu bulunuz.
16.
4(x – y) – 3(x – 2y)
x + 2y – 4x + y
2a + 3a – 4a + a
17.
18.
19.
20.
5y
21.
22.
23.
6(a – 2) – 5(a – 3)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
15. 5(a + b) + 2(a – b)
–4(x – 4) – 3(–x + 5)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
14. 3(a – 8) – 4(a + 3)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
13. 4a – 5a – 6a – 2a + 8a
a + 1 3(x – 1) x + 2y x – 2y
ifadesinin sonucunu bulunuz.
12. 6(a – 4) – 5(a – 5)
–7(1 – a) – 6(a – 1)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
24.
25.
26.
27.
2x – y – 3 12(b – a) 2(x – 2) x – 2y + 1 a + b + 4 3a + 4 2(a – 2)
28.
29.
30.
–a
3a + 2
a
76
Sıfırdan Zirveye
16. Parantez Açma
24. 5a – 4(a – 3) – 11
ifadesinin sonucunu bulunuz.
17. 5 – x – 4(2 – x)
18. ifadesinin sonucunu bulunuz.
25. ifadesinin sonucunu bulunuz.
4(2x – 3y) – 7(x – 2y)
19. 24a 54
45a 72
(a - 2) +
6
9
9
9
ifadesinin sonucunu bulunuz.
3(3x – 2y) – 4(2x – y)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
27. 20. 5(a + b) – 4(a + b – 1)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
26. ifadesinin sonucunu bulunuz.
6 – 3(3x + 4y) + 5(2x + 2y – 1)
36
28
(a - 2) (a - 2)
7
6
ifadesinin sonucunu bulunuz.
6x – 4y – 3(2x – 3y)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
28. 21. 3a(9 – 8) – 4a(12 – 10) + 4a
ifadesinin sonucunu bulunuz.
12 + 2(4x – 5y) – 3(2x – 3y + 5)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
29. 22. 4a(13 – 8) – 5a(17 – 14) – 2(a – 1)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
6a(b – 2) – 3b(2a – 4)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
30. 23. 63
42
(a + 2) (a + 3) + 4 (a + 3)
7
21
ifadesinin sonucunu bulunuz.
6(3x – 2) – 8(2x – 1)
ifadesinin sonucunu bulunuz.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
3
0
–8z
3(y – x)
2a
–a
7a + 3b
x + 2y
–(2x + y)
–y
a+1
12.
13.
14.
15.
–(a + 36) –x + 1 a + 3 a – 1
91
Sıfırdan Zirveye
Sadeleştirme
JElinizdeki 20 kg lık bir yükü uzun süre taşıyamazsınız. Yorulursunuz. Beyninizde bu kadar yükü taşımanıza gerek yok.
Toplama ve çıkarma işlemlerinde sayılar aynı ise
bunların toplamı 0 olur.
Etkinlik:
JSadeleştirme yaparken pay ve paydada olan ifadeler çarpım halinde olmalı.
11.
2·5·7·3
2·5·7
-
4·5· 3·2·3·4
4 · 5 · 6 · 12
= 39·8
3·3·4·2
= 3 – 20
= –17
1. 5 – 5 = 0
elma yedim
2. 5 · x – 5 · x = 0
12.
24 · 3 36 · 5 6 · 4 · 3 4 · 9 · 5
+
=
+
= 4+4 = 8
45
18
9·5
6·3
13.
100 300 340 10 · 10 3 · 10 · 10 34 · 10
+
+
=
+
+
10
100
10
10
10 · 10
10
3. 3 x - 4y - 3x + 4y + 1 = 1
4. 2(x – y) + 2(y – x) + 4 – 4 + 2
= 2x - 2y + 2y - 2x + 4 - 4 + 2
=2
5. 2(x – 3y) – 3(x – 2y) + x – 4
= 2x - 6y - 3x + 6y + x - 4
= –4
5
4
5
4
+
+7 = 7
a+1 a+3 a+1 a+3
35 27 63 45
+
=
7
9
21
9
=5-3+3-5
=0
7
-
= 47
51x 45y 6a 3 · 17 · x 15 · 3 · y 2 · 3 · a
+
=
+
17x 15y
3
17 · x
15 · y
3
= 3 - 3 + 2a
= 2a
16.
3· a·x
a·x
-
4b·c
b·c
+
3· 9
9
+
3 · 21
21
-
5· 9
17.
m·n
= 3-4+1 = 4-4 = 0
= 2-2-2
=-2
4 (a + b - 5)
+ 6 (a - b) - 6 (a - b)
2 (a + b - 5)
9
m·n
6 (x + 2) 2 (x + 7) 4x 2 · 3 (x + 2) 2 (x + 7) 2 · 2 · x
=
x+7
2x
3 (x + 2)
3 (x + 2)
2·x
x+7
x+1 x+3 x+1
x+3
=9.
x-1 x-1 x-1
x-1
10.
15.
7. 3 – 4(x – 2) + 4x – 8 = 3 - 4x + 8 + 4x - 8 = 3
5· 7
= 10 + 3 + 34
14.
6. 2xy - 4x - 2xy + 4x - y = - y
8.
=
2 · 2 (a + b - 5)
=2
2 (a + b - 5)
+ 6 (a - b) - 6 (a - b)
92
Sıfırdan Zirveye
Sadeleştirme
x - y –1 (x - y) –1 (x - y)
= –1
=
=
y - x –1 (y - x)
(x - y)
14 (x - 3) 6 (y - 4) 2 · 7 (x - 3) 3 · 2 (y - 4)
+
18.
+
=
2 (x - 3)
2 (y - 4)
2 (x - 3)
2 · (y - 4)
5.
=7+3
JPaydadaki parantezi kaldıralım.
= 10
JPay ve paydayı aynı sayı ile çarparsak veya bölersek eşitlik bozulmaz.
19.
3 - 2 (x - 1) 3 - 2x + 2 5 - 2x
=1
=
=
5 - 2x
5 - 2x
5 - 2x
6.
8 - 3 (x + 4) 2 - 7x 8 - 3x - 12
2 - 7x
=
4 + 3x
7x - 2
4 + 3x
– (2 - 7x)
=
a - 2 (b - 3)
a - 2b + 6
20.
=
=1
2 · 3 + a - 2b a - 2b + 6
–3x - 4 2 - 7x
+
3x + 4
2 - 7x
3x + 4
=-
3x + 4
+1
= –1 + 1
=0
J Şimdi de ortak paranteze alalım. Bu işlemi; çektiğinizde uzayan bıraktığınızda kısalan lastik gibi düşününüz.
7.
Etkinlik:
(x - 3) (x + 4)
4 (x - 5)
+
(–x - 4) (3 - x) 2 (x - 5)
=
6 ·x- 6 ·2
6 (x - 2) 2 · 3 (x - 2)
6x - 12
1.
=3
=
=
=
2x - 4
2 (x - 2)
2 · x - 2 · 2 2 (x - 2)
=
(x - 3) (x + 4)
[– ( x + 4 )] [– ( x - 3 )
+
2 · 2 · (x - 5)
2 · (x - 5)
1· 1
+2
(–1) (–1)
= 1+2
=3
2.
xy - yz y (x - z)
=
=y
(x - z )
(x - z )
8.
6x - 24y 5x - 15y
3x - 12y
x - 3y
=
4 · x + 4 · 3y 4 (x + 3y)
4x + 12y
3.
=
=
2x + 6y
2 · x + 2 · 3y 2 (x + 3y)
2 · 2 (x + 3y)
=
=
2 (x + 3y)
=2
4.
2 ·7- 2 ·x
6 - 2 (x - 4) 6 - 2x + 8 14 - 2x
=
=
=
7-x
7-x
7-x
7-x
=
=
=2
3 · x - 3 · 4y
6 (x - 4y)
3 (x - 4y)
2· 3
3
-
-
5 · x - 5 · 3y
x - 3y
5 (x - 3y)
(x - 3y)
-5
= –3
9.
x - 3y 2 (x - 3) 4 · x x - 3y 2 (x - 3) 4 · x
+
+
+
=
+
3y - x 2 (x - 3) 2 · x 3y - x 2 (x - 3) 2 · x
=
2 (7 - x)
(7 - x)
6 · x - 6 · 4y
– (3y - x)
3y - x
= –1 + 1 + 2
=2
+1+
2 ·2· x
2·x
93
Sıfırdan Zirveye
JAşağıdaki işlemlerin en sade sonuçlarını bulunuz.
1.
2.
3.
4.
Sadeleştirme
7.
6x + 36 3x + 9
+
3x + 18
x+3
8.
ab - ac + a ab - bc
+
a-c
1-c+b
9.
7x - 3 (x - 6)
2 (x - 1) + 11
10.
4x - 12y
x+y
+
-x - y
6y - 2x
11.
25a - 10b + 5c
5a - 2b + c
12.
12a - 6 (a - 2) 5a - 5b
+
a-b
2a - (a - 2)
3x - 9y
x - 3y
6x - 2 (x - 5)
2x + 2 (x + 5)
5x3 - 10
2 - x3
4 - (x + 1) + 5x + 7
5 - 2 (x - 1) + 4x - 2
5.
2a - 3b + 4
3b - 2a - 4
6.
5x - x (7 - 4) + 8
7 - (3x + 2) + 4x - 1
94
Sıfırdan Zirveye
Denklem Çözme
EŞİTLİK DURUMLARINDA
SADELEŞTİRME
DENKLEM ÇÖZÜMLERİ
JDenklem
Sadeleştirme yaparken her iki tarafındaki işaretler
ve kat sayılar aynı olmalı.
çözümü için eşitlik olmalı. Bilinmeyen olmalı. Bilinmeyenenin değerinin bulunmasına denklem
çözümü denir.
Etkinlik:
Etkinlik:
1. x + y = x + 4
JHer iki tarafa –x ekleyelim.
1. x + 7 = 13 denklemini çözelim.
x-x+y = x-x+4 & y = 4
JEşitliğin bir tarafında olan sayı diğer tarafa işaret değiştirerek geçer. (+) ise (–) olarak geçer. (–) ise (+) olarak geçer. Gerekçesi yukarıdaki denklem çözümü.
2. 2a + b = 2a + 5 ⇒ 2a - 2a + b = 2a - 2a + 5
x + 7 - 7 = 13 - 7 & x = 6
⇒ b=5
3. x – 3y = –7 – 3y
JHer iki tarafa +3y ekleyelim.
2. x – 6 = 5 denklemini çözünüz.
x – 6 = 5 ⇒ x = 5 + 6 ⇒ x = 11
x - 3y + 3y = - 7 - 3y + 3y & x = - 7
4.
x-4
x-4
+y =
+ 2z
5
5
x-4 x-4
x-4 x-4
+y =
+ 2z & y = 2z
5
5
5
5
5.
2a + 3
2a + 3
+b =
+c & b = c
9
9
JDenklemi çözmemiz için bilinenler eşitliğin bir tarfına
toplanır. Bilinmeyenler diğer tarafa toplanır.
3. 2x + 5 = x – 3 denklemini çözünüz.
2x + 5 = x – 3 ⇒ 2x – x = –3 – 5 ⇒ x = –8
JŞimdi işlemi kısaltalım.
6.
4x
4x
+ 3y + z =
+ 3y + 15 & z = 15
7
7
JBulunan sonuca çözüm kümesi denir.
7.
9-x 8-x
8-x 9-x
+
+3 =
+
+a & a = 3
x-y x+y
x+y x-y
4. 5x – 4 = 6 denklemini çözünüz.
6x + 4 6y
6x + 4 6y
+3+z = 3+
& z=0
8.
5
5
12
12
Şimdilik böyle kalsın.
5x
5
=
5·2
10
& x=
& x=2
5
5
Bilinmeyenin yanındaki sayı çarpım halinde ise her
iki tarafı aynı sayıya bölersek veya çarparsak eşitlik bozulmaz.
10.6(x + y) = 2(3x + 4)
6x + 6y = 6x + 8 & 6y = 8
5x = 6 + 4 ⇒
JDenklem çözümlerinde bilinmeyenin katsayısı daima 1 olmalı.
9. 4x (x + 3) = 4x (x + 3) + y & y = 0
Ç. K. = {–8} şeklinde gösterilir.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
3
1
–5
2
–1
2
5
a+b
2
–3
5
11
121
Sıfırdan Zirveye
Denklem Çözme
JAşağıdaki denklemlerin çözüm kümesini bulu-
7.
2 · 3x – [20 – 3(x – 4)] – 8 · 8 = 12
8.
4(x + 6) = 7(5) + 9(x – 4)
8(x + 16) = 4 · 8 + 8 · 8
nuz. (x in değerini bulunuz.)
42x - 6 (7x - 12)
E x - 2 (12) = 5 (–6)
36
1.
;
2.
21x + 44 = 2 · 5x – 121
9.
3.
6 · 10 + 4(x – 12) = 7(8) + 3(x – 16)
10. 5(18 – x) = 4(x – 9)
4.
9(x + 2) – x – 2x – 3(6) = 126
11. 4(x + 45) = 5 · 30 + 14x
5.
4(x + 2) = 60 – 40 – 180
12. 3(6) – 6x – 9 · 8 = 2x – 6
6.
6(x – 2) + 3(x + 6) = 5(x – 1)
13. 13x – 3 · 13 = 26 – 65 – 78
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
9
2
–21
–15
–10
–3
–12
6
–6
7
9
1
–1
0
4
122
Sıfırdan Zirveye
Denklem Çözme
14. 7x + 4(x + 11) = 143 – 11x
21. 3(5) – 5(6x) = 4 · 75 – 4 · 30 – 3(–5)
15. 2x + 120 = –30 – 4(x – 6)
22. 7x – 7 · 4 = 4(11 – x) – (–5)
16. 5(x – 9) = 4(15 – x) – 4(60)
23. >
17. –4x – 4(x – 3) = 34(3) – 10
24.
18. –25x + 125 = 375 – 175
25. 11(x – 4) – 55 = –143 + 33
19. 12x + 132 = 144 – 156
26. 15(9 – x) – 165 = 75 – 105
20. 20x – 100 – 50 = 5(6 – 2x)
27. 4(5x – 6) – 5(3x – 5) = 3(7)
1.
2.
3.
4.
5.
–3
–15
–4
21
–42
105x - 5 (21x - 9)
H x - 2 (x - 4) = –19
3 (12 - 27)
84
36
m - 2 (x - 5) = 0
cx 21
12
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
11
4
12
5
–4
14
3
–6
–6
-
123
Sıfırdan Zirveye
RASYONEL SAYILAR
JYavaş yavaş matematiğin özelliklerini inceliyoruz.
Konumuz çok kolay bir konu. İyi analiz edin, acele
etmeyin, biliyorum demeyin.
Rasyonel Sayılar
2 2·2 4
=
=
3 2·3 6
2.
JPaydası olan her sayıya rasyonel sayı denir.
J1. etkinlikte aldığım değerle 2. etkinlikte aldığım değer
aynı değil mi? Aynı. O zaman kesrin değeri değişmez.
Etkinlik:
Pay
1.
2
5
2.
3
= 3 : 4 (üç bölü dört)
4
Kesir çizgisi
Payda
4 2 ·2 2
=
=
6 2 ·3 3
3.
JÇapraz çarpımlar birbirine eşitse kesirler denktir.
4.
3 6
3 6
=
& = & 3 · 8 = 4 · 6 Kesirler denktir.
4 8
4 8
5.
48 6 · 8 6
=
=
40 5 · 8 5
6.
2 ·1 1
2
=
=
6 2 ·3 3
mümkün değildir.
7.
35 5 · 7
=
= 7 Denk kesirler.
5
5 ·1
0
= 0 Bir rasyonel sayıdır. Pay (0) olabilir.
2
8.
5 5 · 5 25
=
=
3 3 · 5 15
9.
1 3 ·1 3
=
=
2 3·2 6
10.
4 4 · 3 12
=
=
1
1· 3
3
3. 5 =
5
1
Bir rasyonel sayıdır.
JTam sayılar rasyonel sayılardır.
5
4.
0
5.
Denk kesirler.
Denk kesirler.
Bir rasyonel sayı değildir. Paydanın (0) olması
JPayda ≠ 0
(1. etkinliğe geldim.)
Paydanın (0) a eşit olması mümkün değildir.
Denk kesirler.
Denk kesirler.
Denk kesirler.
Denk Kesirler
JPay ve paydayı aynı sayı ile çarpar, aynı sayı ile bölersek kesrin değeri değişmez.
Etkinlik:
1.
2
3
JKesirler iki gruba ayrılır:
a) Bileşik (Tam Sayılı) Kesirler
Etkinlik:
1.
17
5
2.
4.
23
8
5. -
Üç eşit parçadan 2 parçasını aldım.
22
3
25
6
3.
12
6
6. -
30
7
124
Sıfırdan Zirveye
Rasyonel Sayılar
JDikkat ettiniz mi? Paydaki sayı, paydadaki sayıdan
büyük. İşte bu kesirlere bileşik kesir denir. Bu sayıları
tam sayılı kesir olarak yazalım.
4.
-5
Çarp
3
4
Topla
=-
20 + 3
23
=4
4
Paydayı aynen yaz
(–) kesir çizgisinin hizasına yaz.
Etkinlik:
1.
17
5
Payda
15
3
Tam
2
J3 ile
2.
17
2
2
= 3 = 3+
5
5
5
5.
2
arasında çarpım yok. Dikkat edin.
5
22
3
Payda
21
7
Tam
⇒
22
1
1
= 7 = 7+
3
3
3
Pay
12
6
Payda
12
2
Tam
⇒
12
=2
6
6.
23
8
16
2
⇒
23
7
7
= 2 = 2+
3
8
8
-4
Çarp
1
3
Topla
=-
3·3+1
10
=3
3
=-
4·7+6
34
=7
7
Paydayı aynen yaz
6
7
Topla
Paydayı aynen yaz
JSayı tam sayılı kesre çevirilirken işaretine bakılmadan çevirme işlemini yap. Sonra işareti koy.
b) Basit Kesirler
Etkinlik:
00
4.
-3
Çarp
Pay
1
3.
⇒
1.
1
4
2.
4.
8
9
6
5. - 7
3
5
3.
14
15
6. -
9
10
7
JTam sayılı kesri bileşik kesir haline çevirelim.
JDikkat ettiniz mi? Paydası payından büyük olan kesirlere basit kesir denir.
Etkinlik:
1.
x
5
2
4
2.
3
Çarp
3.
x=
2 · 5 + 4 14
=
5
5
Topla
1
7
Topla
=
21 + 1 22
=
7
7
Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma
JRasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yapabilme-
miz için paydalar eşit olması gerek. Paydalar eşit değilse kesirleri genişleterek paydalar eşitlenir. Daha sonra
paylar toplanır veya çıkartılır. Ortak payda aynen yazılır.
Paydayı aynen yaz
1
4
2
Çarp
Çarp
Topla
Paydayı aynen yaz
Etkinlik:
8+1 9
=
=
2
2
1.
+
123
1
3
=
14243
2
3
1442443
3
=1
3
(Bir bütün)
131
Sıfırdan Zirveye
Rasyonel Sayılar
RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA
JRasyonel
sayılarda çarpma işleminde pay ile pay
çarpılır, paya yazılır. Payda ile payda çarpılır, paydaya
yazılır.
JÖncelik parantez içindir.
1 1
1
2
1
24 + 1 25
· = 2+
=
+
=
=
1
3 4
12
12
12
12
8. 2 +
(12)
(1)
JDört işlemde öncelik çarpma ve bölmenindir.
Etkinlik:
9.
3 5 3 · 5 15
1.
· =
=
4 7 4 · 7 28
2 1
2
1
2 - 15
13
· -1 =
=
=1
15
15
15
3 5
(15)
10.2 - 2 c
1 4 4 ·1
4
· =
=
2.
3 5 3 · 5 15
1 1 1
1 1
3+1
+ · m = 2 - 2 f + p = 2 - 2c
m
2 3 2
2 6
6
(3)
= 2-2·
3. 2 ·
5 2 5 2 · 5 10
= · =
=
7 1 7
7
1· 7
= 2
=
4
6
2
4
·
1 2 ·3
2 4
1 3
(3)
JTam sayının paydasına 1 yazarak çarpmayı yapınız.
4.
6-4
3
2
=
3
=
1 5
1 5 7 1· 5 · 7 35
· ·7 = · · =
=
2 3 1 2 · 3 ·1
2 3
6
11. c 1 -
5.
4 6
4 3·2 4· 3 · 2 4
= ·
=
=
·
3 10 3 2 · 5 3 · 2 · 5 5
6. c 1 +
1
1
1
1 1 1 1 1 1
mc 1 + mc 1 + m = f + pf + pf + p
4
1 2 1 3 1 4
2
3
(2)
=c
(3)
(4)
2+1 3+1 4+1
m
mc
mc
4
2
3
3 4 5
· ·
2 3 4
5
=
2
=
1
1
1
1
m c1 - m c1 - m c1 - m
5
7
4
6
1 1 1 1 1 1 1 1
1 4pf 1 5pf 1 6pf 1 7p
=f
(4)
=c
4-1 5-1 6-1 7-1
mc
m
mc
mc
5
7
4
6
(5)
=
3 4 5 6
· · ·
4 5 6 7
=
3
7
(6)
(7)
4 35
1 7
1 4 5 ·7 1 7 1
-c + m- = ·
- - 12. ·
5 16
2 4
3 5 4 ·4 2 4 3
=
7 1 7 1
- - 4 2 4 3
=7. c 1 -
1 4
1 1 4
3-1 4 2 4
8
=c
m =
m = · =
5 3 5 15
3 5 f 1 3p 5
3
(3)
1
1
2
3
(3)
–3 - 2
=
6
=-
5
6
(2)
132
Sıfırdan Zirveye
13.
36 1
1
1 4
·
-5·
+ ·
4 27
15 2 7
=
4·9
4
·
17.c 1 -
5
1
1 2 ·2
1
- ·
+ ·
7
1
5 ·3 2
9 ·3
1 1 2
= - +
3 3 7
=
14.
Rasyonel Sayılar
2
7
1· 12 2
2 ·1
12 2 1 3 1 1
3
+ - · - - =
+ 36 3 4 5 2 2 3 · 12 3 20
2
18.
1 2
3
= + -1
3 3 20
1· 3
3
-1
20
=1-
(2)
=c
2-1 3-1 4-1 5-1
9-1
m ... c
mc
mc
mc
m
5
4
2
3
9
=
1
9
(2)
(1)
2· 3 · 4
3 · 4 ·5
8
=
30
=
-
10
3 · 10
-
2 1
+
5 6
2 1 2 1
- - +
5 3 5 6
(2)
=
(5)
(9)
2·3·4 2·5 2 1 1
- + ·
5 2 3
60
30
2
1
1
2
1
1
4-1+5 9-1
+ =
+
=
=
3 · 5 5 · 6 6 15 30 6
30
30
(4)
8
1 2 3 4
· · · · ... ·
9
2 3 4 5
–2 + 1
6
=15.
(3)
(1)
=
=
3
=20
1
1
1 1 1 1
1 1
- p f - p f - p ... f - p
1
1 3 1 4
1 9
2
=f
=
3
=
-1
20
3
1
1
1
1
m c 1 - m c 1 - m ... c 1 - m
4
2
3
9
1
6
3 5 3 1 1 5 15
3
5
45 - 6 + 5
+
=
19. · - · + · =
2 4 4 3 3 8
8
12 24
24
(3)
(2)
(1)
4· 2
=
50 - 6
24
=
44
24
2 · 15
4
=
15
=
16.c 1 +
=f
4 ·6
11
=
6
1
1
1
1
m c 1 + m c 1 + m ... c 1 +
m
4
2
3
12
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
+
+
+
+ ...
+
1 2pf 1 3pf 1 4pf 1 5p f 1
12 p
(2)
(3)
(4)
(5)
(12)
20.
2·3
1 1 3
6
2
3
12 - 20 + 3
-2· + ·
=
+
=
5·7
7 7 10 35
7
70
70
(2)
2+1 3+1 4+1 5+1
12 + 1
=c
m ... c
mc
mc
mc
m
5
4
2
3
12
=
3 4 5 6
13
· · · · ... ·
2 3 4 5
12
=
13
2
11· 4
JParalel olarak sadeleşmelerine dikkat ettiniz mi?
(10)
(1)
=
15 - 20
70
=
–5
70
=
–5
5 · 14
=-
1
14
1
Sıfırdan Zirveye
Toplama ve Çıkarma
TOPLAMA
Matematiğin en kolay ve en basit konusu diye bilinir.
Doğrudur. Ancak bunu bilmediğin zaman tüm formülleri
uygulasan bile anlamı yok. Çünkü sonuç yanlıştır.
Matematiği öğrenmek istiyorsanız bu iki konuyu öğrenmek zorundasınız.
Bu işlemleri yaparken hiç hata yapmamanız gerekir. Hata yapmayana kadar soru çözün. Bilimin büyüğü
küçüğü olmaz. Sıkılmadan devam edin. Mutlu olacaksınız. Başaracaksınız. Başardıkça zevk alacaksınız. Takımınız kazandığı maçlardaki keyif gibi zevk alacaksınız.
ÇIKARMA
Çıkarma işleminde sayıların işaretlerine bakılmaksızın sayı çıkartılır ifadenin sonuna büyüğünün işareti alınır.
Etkinlik:
J–3 + 4 = 1
J–7 + 6 = –1
J–13 + 6 = –7
J14 – 5 = 9
Uyarı:
Aynı işaretli iki sayı toplamı
Sayılar ikiden fazla ise aynı işaretli olan sayılar toplanır, ortak işaret verilir. Daha sonra büyüğünden küçüğü çıkartılır. Sonuca büyüğün işareti verilir.
Sayıların işaretlerine bakılmaksızın toplanır. Sonuca ortak işaret verilir.
Etkinlik:
J+3 + 7 = 10
J +4 + 8 = 12
J 15 + 6 = 21
Etkinlik:
(+, + aynı işaretli)
Uyarı:
J–4 – 6 + 7 = –10 + 7 = –3
J4 + 9 – 5 = 13 – 5 = 8
J
6 – 7 + 9 – 3 = 6 + 9 – 7 – 3 = 15 – 10 = 5
123
123
Sayının işareti yoksa (+) olarak kabul edilir.
7 + 6 ⇒ +7 + 6 = 13
J
–5 + 6 – 18 + 17 = 6 + 17 – 5 – 18 = 23 – 23 = 0
123
123
Uyarı:
İşaret daima önde olur. Sol taraftaki işaret sağdaki sayıya aittir.
Etkinlik:
J8 ⇒ (artı sekiz olarak okunur.)
J –6 ⇒ (eksi altı olarak okunur.)
Etkinlik:
J–6 – 8 = –14 (–, – aynı işaretli)
J –3 – 1 = –4
J –5 – 3 – 15 = –23
J –5 – 2 – 1 = –8
J 2 + 3 + 5 = 10
J 2 + 1 + 6 = 9
J (–2) + (–8) = –10
J (–6) + (–10) = –16
J (2) + (5) + (6) = 13
Topla
Topla
Topla
J
–5 + 6 – 18 + 17
14243
14243
işlemi yap işlemi yap
1–1=0
J
6 – 5 + 9 – 12 – 4
123
123
1
–3
1 – 7 = –6
J–4 + 6 – 7 + 9 – 15 + 11
2+2–4
123
4
4–4=0
J18 + 14 – 19 – 14 – 18
(18 – 18) + (14 – 14) – 19
14243
14243
0
0
0 + 0 – 19 = –19
Topla
2
Sıfırdan Zirveye
Toplama ve Çıkarma
Uyarı:
6.
9–6–3+7–5+4
7.
13 – 12 + 7 – 6 + 5
8.
9 + 6 – 13 + 4 – 2
9.
2+5–4–3+9
Toplamada ve çıkarmada (0) sıfırın hükmü yoktur.
Etkinlik:
J3 ekmek + 0 ekmek = 3 ekmek
J9 ekmek + 0 ekmek = 9 ekmek
J–4 + 0 = –4
(Sıfırın etkisi yok)
(Sıfırın etkisi yok)
1.
2+4–6+3
2.
2 – 1 + 14 – 13
3.
4 – 5 + 22 – 24
4.
6 – 15 + 14 – 5
5.
9 – 6 – 5 + 10 – 3
10. 1 – 15 + 14 – 12 – 6
11. 16 – 14 – 3 + 5 – 4
12. 3 – 7 + 4 – 6 + 3
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
–2
–4
–6
–8
0
10
–19
5
–2
–9
–10
81
5
–6
10
Sıfırdan Zirveye
Toplama ve Çıkarma
21. 6 + 7 – 4 + 5
14. 12 + 11 – 13 – 14 + 7 – 5
22. 1 + 6 + 9 – 1 + 3
15. 6 + 9 – 5 + 8 – 13 + 4
23. 2 + 6 + 9 – 5 – 7
16. 4 – 6 + 7 – 8 + 5 – 2
24. 3 + 4 – 7 + 6 – 5
17. 9 – 4 – 6 + 4 – 5 + 3
25. 9 + 6 – 2 – 8 + 5
18. 7 – 8 – 6 + 9 + 7 – 3
26. 8 – 12 + 6 – 3 + 5
19. 4 + 6 – 4 – 6 + 7 – 7
27. 5 + 7 – 3 – 12 + 1
20. 5 – 11 + 6 – 7 + 8 + 1
28. 6 – 8 – 3 – 5 – 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
–3
–3
1
2
–7
–6
–8
3
2
–5
–4
–5
3
17
Sıfırdan Zirveye
ÇARPMA VE BÖLME
JÇarpma demek toplamanın kısaltılmış şeklidir.
Çarpım tablosunu mutlaka öğrenmelisiniz. Çarpım
tablosunu bilmeyenler kendilerine 1 veya 2 saat zaman
ayırarak bu işi kolayca hallederler.
Çarpma ve Bölme
Uyarı:
Baş tarafta gizli bir vardır. İlerki konularda bize çok
lazım.
JBu işi yapanlar sizden daha zeki değil, sadece ma-
tematiğe daha çok zaman ayırıyorlar.
JEn büyük hatanız çarpma ile toplama veya çıkarma işlemlerini karıştırmanız. Önceki soruları tam olarak
çözdü iseniz bu hatanız giderilmiş olacak.
Kolay gelsin. İnanın kolay olacaktır.
JSizlere karadeniz usulû bir işaret çarpımı anlatayım.
+ = Dost bir insan olarak düşün.
– = Düşman olarak düşün.
(+4) (+2) = +8 (Dostumun dostu benim de dostumdur.)
(+4) (–2) = –8 (Dostumun düşmanı benim de düşmanımdır.)
(–2) (+4) = – 8 (Düşmanımın dostu benim de düşmanımdır.)
(–2) (–4) = +8 (Düşmanımın düşmanı benim dostumdur.)
(+) (+) = + , (+) (–) = – , (–) (+) = – , (–) (–) = +
JBu işaretler bölme işlemi için de geçerlidir.
Uyarı:
Çarpmada sayıların yerleri değişirse işlemin sonucu
değişmez. Buna dikkat ediniz.
Uyarı:
Parantezin anlamı çarpım demektir. Lütfen unutmayınız.
ÇARPIM TABLOSU
JÇarpım tablosunu bilmeyen sadece sizler değilsiniz.
Sizler gibi yüzbinlerce öğrenci vardır. Çarpım tablosu
size günlük hayatta en çok lazım olan bir sistemdir.
Öncelikle ikişer ikişer saymayı, üçer üçer saymayı,
dörder dörder saymayı ... öğrenin.
Defterlerimizin arkasından çarpım tablosunu kaldırdılar. Onun için bu tabloyu sizlere verelim.
JBunları bileceksiniz, ezberlemeyeceksiniz.
2x1=2
3x1=3
4x1=4
2x2=4
3x2=6
4x2=8
2x3=6
3x3=9
4 x 3 = 12
2x4=8
3 x 4 = 12
4 x 4 = 16
2 x 5 = 10
3 x 5 = 15
4 x 5 = 20
2 x 6 = 12
3 x 6 = 18
4 x 6 = 24
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
4 x 7 = 28
2 x 8 = 16
3 x 8 = 24
4 x 8 = 32
2 x 9 = 18
3 x 9 = 27
4 x 9 = 36
2 x 10 = 20
3 x 10 = 30
4 x 10 = 40
JDaha önce ifade ettim toplamanın kısaltılmış şeklidir.
Etkinlik:
J2(–3) = –6
J–3(2) = –6
J(2) (–5) = –10
J5(–2) = –10
J(–3) = 1(–3) = –3
Etkinlik:
J2 = 2
(bir tane iki)
2 x 2 = 2 + 2 = 4 (iki tane iki)
3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6 (üç tane iki)
4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 (dört tane üç)
18
Sıfırdan Zirveye
Çarpma ve Bölme
5x1=5
6x1=6
7x1=7
5 x 2 = 10
6 x 2 = 12
7 x 2 = 14
5 x 3 = 15
6 x 3 = 18
7 x 3 = 21
5 x 4 = 20
6 x 4 = 24
7 x 4 = 28
5 x 5 = 25
6 x 5 = 30
7 x 5 = 35
5 x 6 = 30
6 x 6 = 36
7 x 6 = 42
5 x 7 = 35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
5 x 8 = 40
6 x 8 = 48
7 x 8 = 56
5 x 9 = 45
6 x 9 = 54
7 x 9 = 63
5 x 10 = 50
6 x 10 = 60
7 x 10 = 70
8x1=8
9x1=9
10 x 1 = 10
8 x 2 = 16
9 x 2 = 18
10 x 2 = 20
8 x 3 = 24
9 x 3 = 27
10 x 3 = 30
8 x 4 = 32
9 x 4 = 36
10 x 4 = 40
8 x 5 = 40
9 x 5 = 45
10 x 5 = 50
8 x 6 = 48
9 x 6 = 54
10 x 6 = 60
8 x 7 = 56
9 x 7 = 63
10 x 7 = 70
8 x 8 = 64
9 x 8 = 72
10 x 8 = 80
8 x 9 = 72
9 x 9 = 81
10 x 9 = 90
8 x 10 = 80
9 x 10 = 90
10 x 10 = 100
Bu tabloları sizler bir saat içinde halledersiniz.
JTabloda işaret ettiğim gibi çarpma işleminde değişme özelliği vardır.
J4 x 9 = 9 x 4 = 36
5 x 4 = 4 x 5 = 20
7 x 8 = 8 x 7 = 56
9 x 5 = 5 x 9 = 45
J5123
x 3 x 6 = 15 x 6 = 90
önce çarp
5 x 3 x 6 = 5 x 18 = 90
123
önce çarp
JToplamanın tersi çıkarma, çarpmanın tersi bölmedir.
Etkinlik:
=
J56
8
8 x7
J72
=
9
8x 9
J45
=
9
9 x5
8
9
9
=7
=8
=5
JÇarpmanın diğer bir semboli de (.) noktadır. Nokta
gördünüz mü çarpım demektir.
J81
=
27
27 · 3
27
=3
=
J132
11
11 · 12
J125
=
25
25 · 5
11
25
= 12
=5
Bu örnekleri çoğaltarak zihinden yapmaya uğraşınız. Çok daha zevk alacaksınız.
JSizlere günlük hayattan bir örnek vereceğim.
JAyakkabınızı
musunuz?
çıkarmadan çorabınızı çıkarabiliyor-
JAtletinizi giymeden gömlek giyebiliyormusunuz?
J4 kırmızı kalem + 10 mavi kalem = 14 kaleminiz ol-
maz mı?
J4 + 5 · 2 = 4 + 10 = 14 kalem olur.
JBu çarpmalar ikiden fazla olabilir. Yer değiştirmesinde bir sakınca yoktur.
J(2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24
2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24
Öncelik parantez içine verilir.
J4 + 5 · 2 ≠ (4 + 5) · 2 = 18
J4 + 2 · 5 ≠ (4 + 2) · 5 = 30
Ne yaparsanız yapın 14 kaleme ulaşamazsınız.
JDemek ki her işlemin bir sırası vardır. Öncelik çarpma
ve bölmenindir. Daha sonra toplama ve çıkarmanındır.
143
Sıfırdan Zirveye
Rasyonel Sayılar
JAşağıdaki soruların sonuçlarını bulunuz.
1.
5.
f
3.
4.
2
5
:
3p 7
12
1
1
7
1
- 3 m+c - 1 m
3
2
3
2
1
2
c1 + 1 m - c1 - 1 m
3
3
c2
8 5 3
- :
9 4 2
1
12 4
: -1
3 9
6.
2.
1-
2 2
(–3) 2 + c - m
3
2·;
7.
2 1 4
- :
3 3 3
3 3 1 2
- c + m
2 7 2 3
8.
1
1
1
1
- ; 1 - c 1 + mE : c 1 - m
2
2
2
3
9.
1
1
c2 - m c1 + m
3
2 5
:
1
3
14
3
1
: c 2 - mE
2
2
1 1 1
c2 - m c - m
2 3 4
4
2 1
- · c- m
3 4
2
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
15
3
2
11
60
1
2
13
7
18
11
1
2
144
Sıfırdan Zirveye
1
c1 + m c1 +
2
10.
1
c1 - m c1 2
Rasyonel Sayılar
1
m c1 +
3
1
m c1 3
1
m c1 +
4
1
m c1 4
J
N
1
1
14. K
O : c1 - m
3
K1 + 1 O
1O
KK
1- O
2P
L
1
m
5
1
m
5
3
1
13+
4
4
+
11.
4
4
3
12.
4+
2+
1-
15. 2 -
2+
1
2
1
1-
3
4
1
1
3
1
16. 1 +
1
1+
1
1+
2
2+
3
1+
1
3
1
1
34
2
:
17.
1
1
243
3
3-
13.
1 2 1
1 3 1
- · +c - m·
3 5 4
2 5 2
1.
2.
3.
4.
5.
1
3
85
9
2
3
28
7
6.
7.
8.
9.
1
18
5
12
1
8
2
-
147
Sıfırdan Zirveye
Ondalık Sayılar
ONDALIK SAYILAR
Payın, paydaya tam olarak bölünmemesine ondalık sayı denir.
Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme
Etkinlik:
1. 0, 5 = 0 +
5
1
=
10 2
2. 0, 4 = 0 +
4
2
=
10 5
Etkinlik:
1.
3
2
2
1,5 (Bir tam onda beş)
10
5
2
5
100 + 20 + 5 125 5
+
=
=
=
3. 1, 25 = 1 +
10 100
100
100 4
10
00
2.
4
12
5
10
2,4 (İki tam onda dört)
4. 1, 125 = 1 +
1
2
5
1000 + 100 + 20 + 5
+
+
=
10 100 1000
1000
20
9
20
=
00
3.
1125
1000
=
9
8
8
13
4
12
3,25 (Üç tam yüzde yirmi beş)
10
67
3
4
100 + 30 + 4 134 67
+
=
=
=
5. 1, 34 = 1 +
10 100
100
100 50
50
8
20
Ja,bc
20
00
4.
7
5
5
1,4 a sayısı tam kısım,
bc sayısı ondalık kısım.
(Bir tam onda dört)
20
Devirli Ondalık Sayılar
20
Payın paydaya devamlı bölümüne devirli ondalık
sayı denir.
00
5.
17
8
16
2,125 10
8
20
16
40
40
00
(İki tam binde yüz yirmi beş)
Etkinlik:
1.
4
3
3
1,33... = 1, 3 10
9
10
9
1
(Bir tam, üç devreden)
148
Sıfırdan Zirveye
2.
Ondalık Sayılar
Ondalık Sayılarda Toplama ve Çıkarma
29
9
27
3,22... = 3, 2 (Üç tam, iki devreden)
20
JToplama ve çıkarmada virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır. Daha sonra toplama ve çıkarma yapılır.
18
Etkinlik:
20
1.
18
11,20
3,42
2
+
5,61
20,23
3.
17
3
15
5,66... = 5, 6 2.
3,705
–
20
1,243
2,462
18
3. 1 – 0,25 = 0,75
20
4. 2 – 1,35 = 0,65 ⇒
18
2
2,00
–
1,35
0,65
Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirme
Devirli Ondal›k Say› =
Tüm Say› - Devretmeyen Say›
Devreden kadar 9,
Virgülden Sonraki Devretmeyen kadar 0
Ondalık Sayılarda Çarpma
JSayıları
çarparken hiç virgül yokmuş gibi çarpılır.
Daha sonra virgülden sonra kaç basamak varsa o kadar basamak olacak şeklide virgülle ayrılır.
Etkinlik:
Etkinlik:
4
1. 1, 3 =
13 - 1 12 4
=
=
9
3
9
1.
3
0,123
x
5,2
Sağdan dört rakam sonra
virgül koy
0246
32 - 3 29
=
2. 3, 2 =
9
3
+
0615
0,6396
3. 1, 12 =
112 - 11 101
=
90
90
2.
4. 0, 3434... = 0, 34 =
34 - 0 34
=
99
99
223 - 2 221
=
5. 0, 223 = 0, 22323... =
990
990
1,34
x
2,3
402
+
268
3,0 8 2
Sağdan üç rakamdan sonra
virgül koy
159
Sıfırdan Zirveye
Ondalık Sayılar
JAşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
1.
2.
3.
-
7.
5,2 – 2,12
8.
0, 004
0, 0012
9.
2, 5
0, 08
10.
94
1
1
1
+
0, 5 0, 02 0, 2
11.
2, 4
0, 21
5
0, 08 0, 07 0, 5
12.
0, 03 22, 22
·
11
0, 003
0, 8
64
1
+
16 –0, 04 0, 2
0,4 + 0,25 + 0,3
0,624 + 0,476
4.
1,5 + 0,25 + 0,125
5.
2,3 · 3,1
6.
0,4 · 0,25
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
30,3
151
99
1
160
3
64
1,1
37
40
0,6
32
5,14
160
Sıfırdan Zirveye
13.
Ondalık Sayılar
0, 02 33, 33
·
11
0, 002
14. 0, 89 + 0, 625
15.
19.
3, 6
0, 075
0, 03
+
0, 12 0, 025 0, 003
20.
0, 4
4, 8
1
+
0, 008 0, 24 0, 1
21.
2, 6 + 3, 4
2, 7 + 7, 3
22.
0, 4
5, 2
18
+
0, 2 0, 36 0, 26
23.
0, 085 0, 288
2
+
+
1, 7
3, 2
0, 4
0, 01
0, 09
- 5, 9
0, 001 0, 03
16. ^ 0, 53h ^ 99, 9h
17.
7, 2
0, 64
0, 4
+
0, 09 0, 16 0, 02
18. 0, 3 + 0, 7 +
1
10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
21
19
20
1
15
8
7,13
0,1
3,08
3, 3
125
4
2
17
20,2
161
Sıfırdan Zirveye
Oran ve Orantı
ORAN VE ORANTI
JAynı
birimde olan iki ifadenin birbirine bölümüne
oran denir.
Etkinlik:
1.
a
b
(oran)
2.
5
7
(oran)
18
29
4.
0
7
4
5. 3
(oran)
(üçlü orantı)
a c
=
b d
(ikili orantı)
m z a
= =
n
t
b
18 3
9
= =
24 4 12
(üçlü orantı)
(orantı)
Etkinlik:
a c
1. =
⇒ a·d=b·c
b d
3 6
=
⇒ 3 · 8 = 4 · 6 ⇒ 24 = 24
4 8
şeklinde gösterilebilir.
a 4
=
3 5
a nın değerini bulunuz.
5·a=3·4 ⇒
5a
5
=
12
12
& a=
5
5
a+1 2
=
5
3
ise a nın değerini bulunuz.
5(a + 1) = 3 · 2 ⇒ 5a + 5 = 6 ⇒ 5a = 6 – 5
⇒ 5a = 1
⇒
5.
JOrantıda içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir.
2.
a c e
= =
b d
f
4. (oran)
Etkinlik:
3.
(oran)
Jİki veya daha çok oranların birbirine eşitlenmelerine
orantı denir.
2.
a c
= = k (k sayısına orantı sabiti denir.)
b d
3.
JOranın birimi yoktur.
1.
Ja : c : e = b : d : f
3. Ali’nin yaşı 18. Ahmet’in yaşı 29 ise Ali’nin yaşının
Ahmet’in yaşına oranı;
JÇapraz çarpımlar birbirine eşittir.
5a
5
=
x-4
=2
3
ise x in değerini bulunuz.
x-4 2
=
⇒ x–4=2·3 ⇒ x–4=6
1
3
⇒ x=6+4
⇒ x = 10
6.
3
1
⇒ 3 · 5 = x – 2 ⇒ 15 = x – 2
=
x-2 5
⇒ 15 + 2 = x
⇒ x = 17
x+2 x-1
7.
=
⇒ 2(x + 2) = 3(x – 1)
3
2
⇒ 2x + 4 = 3x – 3
⇒ 4 + 3 = 3x – 2x
⇒ 7=x
1
5
162
Sıfırdan Zirveye
8.
Oran ve Orantı
(x - 1) x + 1
=
(x - 3) x - 2
12.
x in değerini bulunuz.
(x – 1) (x – 2) = (x – 3) (x + 1)
x2 - 3x + 2 = x2 - 2x - 3 ⇒ –3x + 2 = –2x – 3
⇒ 2 + 3 = 3x – 2x
⇒ 5=x
9. x+2
5
-2 =
2
3
x in değerini bulunuz.
(3)
Şimdi içler dışlar çarpımı yapabiliriz.
2(x – 4) = 3 · 5 ⇒ 2x – 8 = 15 ⇒ 2x = 15 + 8
⇒ 2x = 23
⇒
10.
2x
=
2
23
2
x
oranını bulalım.
y
ifadesinde
2(x + y) = 3(x – 2y) ⇒ 2x + 2y = 3x – 6y
⇒ 2y + 6y = 3x – 2x
⇒ 8y = x
⇒
⇒
JBu ifadeyi önce düzenleyelim.
x+2 2
5
x+2-6 5
x-4 5
=
&
=
&
=
1
3
2
3
2
3
2
x + y x - 2y
=
3
2
13.
y
x
y
=
x
=8
y
x+y x-y
=
5
11
x
oranını bulalım.
y
ifadesinde
11(x + y) = 5(x – y) ⇒ 11x + 11y = 5x – 5y
⇒ 11x – 5x = –5y – 11y
⇒ 6x = –16y
x+2 x
- =0
5
3
8y
6x
⇒
6y
8
=
– 16 y
6y
3
x in değerini bulalım.
x+2 x
⇒ 3(x + 2) = 5 · x ⇒ 3x + 6 = 5x
=
5
3
⇒ 6 = 5x – 3x
(Her iki tarafı
6y ye bölelim)
x
8
=y
3
⇒
14.
x y
=
7 8
⇒ 6 = 2x
6 2x
⇒
=
2
2
ifadesininin
⇒ x=3
8x = 7y ⇒
11.
2+
3
=5
x+2
x
oranını bulalım.
y
8x
8y
=
7y
8y
&
x 7
=
y 8
Uyarı:
ifadesinde x in değerini bulalım.
3
3
3
= 5-2 &
=
⇒ 3(x + 2) = 3
x+2
x+2 1
⇒ 3x + 3 · 2 = 3
⇒ 3x + 6 = 3
⇒ 3x = 3 – 6
⇒ 3x = –3
3x
⇒
⇒ x = –1
3
=
–3
3
x y
= = k (Ayrı ayrı k ye eşitleyelim.)
7 8
x
= k ⇒ x = 7k
7
y
= k ⇒ y = 8k
8
x 7
x 7k
=
&
=
y 8
y 8k
olarak da düşünülebilir.
171
Sıfırdan Zirveye
Rasyonel Denklemler
4x - 26
=3
4
1.
x değerini bulunuz.
2.
x değerini bulunuz.
3.
x değerini bulunuz.
4.
x değerini bulunuz.
5.
x değerini bulunuz.
6.
x değerini bulunuz.
x-7 3
=
4
3
x-3
+1 = 2
5
2x - 4
-1 = x+2
3
x değerini bulunuz.
8.
x değerini bulunuz.
9.
x değerini bulunuz.
10. 20x - 30
=5
10
14.
15.
16.
9
2
15
2
–9
-
2
3
12 (x - 3) - 36
= 2 (7 - 3)
12
18x - 540
= (–5 - 2) 3
38 - 2
3(x – 6) – 7(x – 3) = 2(x – 1)
x değerini bulunuz.
12. 13.
50x - 40
= 20x - 30
2
x değerini bulunuz.
11. 4x - 16
=1
12
35x - 49
=8
7
7.
4 (x - 3) - 5x + 6
=1
3 (x - 1)
x değerini bulunuz.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
3
2
25
–15
–1
8
–8
172
Sıfırdan Zirveye
13. 500
=4
20x - 25
121
= 11
2-x
10 (4x - 3) =
(x + 4) 2 (x + 4)
=
3x - 4
(x + 2)
x değerini bulunuz.
22. x değerini bulunuz.
17 (3 - x)
= 51x + 34
(x - 3)
x değerini bulunuz.
21. 600
20
3x - 7 2
=
5x - 3 3
x değerini bulunuz.
20. 3x - 17
=3
2x - 5
50
= 20 - 30
20 - x
x değerini bulunuz.
19. x değerini bulunuz.
17. x değerini bulunuz.
16. 18. x değerini bulunuz.
15. 40x - 3 (40)
=3
20
x değerini bulunuz.
14. Rasyonel Denklemler
(x - 5)
x-5
=
(x - 3) 2x + 5
x değerini bulunuz.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
19
2
37
4
8
–13
4
7
3
–2
14
–12
5
6
12.
-
3
4
181
Sıfırdan Zirveye
BİRİNCİ DERECEDEN
İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c gerçek sayılar, a ≠ 0, b ≠ 0 ve x ile y bilinmeyenler olmak üzere,
ax + by + c = 0 denklemlerine birince dereceden iki
bilinmeyenli denklemler denir.
Bu denklemlerin çözümü için iki tane denklem olmalıdır.
Etkinlik:
1.
x+y=5
x–y=1
olduğuna göre x ve y yi bulunuz.
JDenklemin çözümü için bilinmeyenlerden bir tanesi-
nin kat sayıları eşit ve ters işaretli olmalı.
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
3.
x + 3y = 4
2x + y = 5
olduğuna göre çözüm kümesini bulunuz.
JBilinmeyenlerden birinin kat sayısını eşitleyerek ters
işaretli olmasına dikkat ediniz.
–2/ x + 3y = 4 (her iki tarafı –2 ile çarpalım.)
2x + y = 5
––––––––––––
- 2x - 6y = - 8
2x + y = 5
––––––––––––
-5y
-5
=
-3
3
& y=
-5
5
2x + y = 5 ⇒ 2x +
3
5 3
= 5 & 2x =
5
1 5
(5)
x+y = 5
x-y = 1
––––––––
2x 6
=
& x=3
2
2
JDenklemlerin birinde x yerine 3 yaz y yi bul.
2x
⇒
⇒ x=
Ç. K. c
2
11
=
22
5· 2
11
5
11 3
, m
5 5
3+y=5 ⇒ y=2
Çözüm kümesi olarak (x, y) şeklinde yazılır. Ç. K. (3, 2)
olarak belirtilir.
2.
2x + y = 6
x+y=4
4.
1 1
+ =8
x y
1 1
- =2
x y
olduğuna göre x · y nin değerini bulunuz.
olduğuna göre çözüm kümesini bulunuz.
Jy nin kat sayıları eşit ikinci denklemin her iki tarafını
(–) ile çarpalım.
2x + y = 6
–1/ x + y = 4
–––––––––––
2x + y = 6
-x - y =-4
–––––––––––
x=2
x+y=4 ⇒ 2+y=4 ⇒ y=2
Ç. K. (2, 2) dir.
1 1
+ =8
x y
1 1
- =2
x y
+
––––––––––––––
10 x
2 10
2
1
=
&
=
& x=
x 1
5
10
10
1 1
1 1
1
1
+ =8 &
+ = 8 & 5+ = 8 &
=3
x y
y
y
1 y
5
1
& y=
3
x·y =
1 1
1
·
& x·y =
5 3
15
Download

İçindekiler - Sıfırdan Adım Adım Zirveye Matematik