TBF 122 - Genel Matematik II
DERS – 9 : Doğrusal Programlama
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Doğrusal Programlama, yönetimde belli konularda karar verirken yararlanılan
bir matematiksel yöntemdir. Bu yöntem, yönetim biliminin en iyi bilinen ve en çok
kullanılan yöntemidir. Bu konuyu, örneklerle açıklamağa çalışacağız.
Doğrusal Programlama fikri , Rus matematikçi L. W.
Kantarovich ile, imalat planlamasını ele alan bir problemi
çözdüğü 1939 yılında başlamıştır. Kantarovich, 1942’de
yazdığı ve 1959’da yayınlanan “The best use of economic
resources” başlıklı çalışmasında pek çok ekonomi problemine uygulanabilen “optimizasyon” tekniklerinden söz eder.
Eş zamanlı olarak, Wassily Leontief de ekonomide uygulamaları bulunan doğrusal programlama teknikleri geliştirmiştir.
Bu dersimizde, çok basit (iki değişkenli) doğrusal programlama problemlerini ele
alacağız ve geometrik yaklaşımla çözümleri tartışacağız. Daha sonraki derslerimizde, çok değişkenli doğrusal programlama problemlerini ve bunların çözümü
için çağdaş yöntemleri(simpleks yöntemi) tartışacağız.
İki değişkenli doğrusal programlama problemleri.
Aşağıdaki problemin matematiksel modelini kuralım
Problem(Üretim Planlaması). Deri giyim üzerinde çalışan bir şirket, ceket ve yelek
üretmektedir. Bir ceket için kesim bölümünde 2 iş saati, dikiş bölümünde 4 iş saati
harcanıyor. Bir yelek için kesim bölümünde 1 iş saati, dikim bölümünde 3 iş saati
harcanıyor. Günlük toplam iş gücü, kesim bölümünde en çok 16 iş saati; dikiş
bölümünde en çok 36 iş saatidir. Her bir ceket 120 TL, her bir yelek de 70 TL kâr
bıraktığına ve üretilen tüm ürünlerin satılacağı varsayıldığına göre, şirketin günlük
kârının maksimum olması için kaçar adet ceket ve yelek üretilmesi gerektiğini
belirleyiniz.
Problemin matematiksel modelini kurarken, verilenleri bir tabloda özetlemek yararlı olur.
Gereken iş gücü
Günlük Mevcut
Ceket
Yelek Maksimum İş Gücü
Kesim Bölümü
2
1
16
Dikim Bölümü
4
3
36
Ürün başı kâr 120 TL
70 TL
Gereken iş gücü
Günlük Mevcut
Ceket
Yelek Maksimum İş Gücü
Kesim Bölümü
2
1
16
Dikim Bölümü
4
3
36
Ürün başı kâr 120 TL
70 TL
Günde x adet ceket, y adet yelek üretilsin (değişken atama).
Kâr: K ( x , y )  120x  70 y
Kesim:
2x  y  16
Dikim:
4 x  3 y  36
x ve y nin negatif olamayacağı da göz önüne alınırsa, şirketin üretebileceği bilgisayar
sayıları, aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlamalıdır.
2x  y  16

4 x  3 y  36

0
 x

y 0

Problemde, K(x,y) = 120x + 70y doğrusal fonksiyonunun yukarıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm alanının hangi noktasında maksimum değerini aldığı ve maksimum değerin
ne olduğu sorulmaktadır. Bu tür problemlere doğrusal programlama problemleri denir.
Her doğrusal protgramlama pprobleminde aşağıdaki unsurlar bulunur.
Maksimum vbeya minimumu istenen bir fonksiyon
K ( x , y )  120x  70 y
Amaç Fonksiyonu
Karar Değişkenleri
(Objective Function)
(Desicion Variables)
Bir doğrusal eşitsizlik sistemi
2x  y  16

4 x  3 y  36

0
 x

y 0

Problem Kısıt(lama)ları
(Problem Constraints)
Negatif Olmama Kısıt(lama)ları
(Nonnegative Constraints)
Doğrusal programlama probleminde hedef amaç fonksiyonunun verilen
kısıtlamalar altında maksimum (veya minimum) değerini belirlemektir. Bu
değere amaç fonksiyonunun en iyi değeri deir.
Doğrusal programlama problemlerinin matematiksel modelleri genellikle aşağıdaki formatta ifade edilir.
K ( x , y )  120x  70 y
fonksiyonunu
2x  y  16

4 x  3 y  36

0
 x

y 0

kısıtlamaları altında maksimize ediniz.
Örnek problemimizde amaç fonksiyonunun maksimum değeri istenildiği için
ifade maksimize ediniz diye sonlanmaktadır. Eğer amaç fonksiyonunun
minimum değeri isteniyorsa, ifade minimize ediniz diye sonlandırılır.
Örnek problemimizde olduğu gibi iki değikenli doğrusal programlama problemleri problemde verilen doğrusal eşitsizlik sisteminin çözüm alanı ve bu çözüm
alanında amaç fonksiyonunun en iyi değeri araştırılarak çözülebilir. Söz konusu
çözüm alanına doğrusal progrqamlama probleminin uygun çözüm alanı ve
uygun çözüm alanı kullanılarak çözüm yöntemin de geometrik yöntem denir.
Geometrik Çözüm. Önceki dersimizde doğrusal fonksiyonların çözüm alanları üzerinde aldıkları maksimum ve minimum değerleri ile ilgili olarak elde
edilen sonuçlardan
Teorem. Bir doğrusal programlama probleminin en iyi çözümü varsa, o en iyi
çözüm problemin uygun çözüm alanının köşe noktalarında ortaya çıkar.
Teorem. a) Bir doğrusal programlama probleminin uygun çözüm alanı boş
olmayan sınırlı bir küme ise, o problemin en iyi çözümü vardır.
b) Bir doğrusal programlama probleminin uygun çözüm alanı sınırsız, amaç
fonksiyonunun katsayıları pozitif ise ve amaç fonksiyonunun minimumu
isteniyorsa, o takdirde problemin en iyi çözümü vardır; amaç fonksiyonunun
maksimumu isteniyorsa, problemin en iyi çözümü yoktur.
K ( x , y )  120x  70 y
2x  y  16

4 x  3 y  36

0
 x

y 0

y
0 ,16 
2x  y  16
0 ,12 
4 x  3 y  36
6 ,4 
Köşe
(0,0)
(0,12)
(6,4)
(8,0)
K(x,y)
0
840
1000
960
9 ,0 
0 ,0 
En iyi çözüm
8 , 0 
x
Uygun Çözüm Alanı
(Feasible Region)
Uygun çözüm alanı boş olmayan sınırlı bir küme olduğundan en iyi çözüm vardır ve
uygun çözüm alanının köşe noktalarında ortaya çıkacaktır.
O halde verilen kısıtlamalar altında, şirketin kârının maksimum olması için 6 adet ceket ve 4
adet yelek üretilmesi gerekir. Şirketin maksimum kârı 1000 TL olacaktır.
İki değişkenli doğrusal programlama probleminin geometrik çözümü için
aşağıdaki adımlar izlenebilir:
•Adım 1 . Veri tablosunu hazırlanır .
• Adım 2 . Matematiksel modeli kurulur:
a) Karar değişkenlerini atanır ve amaç fonksiyonunu ifade edilir.
b) Doğrusal eşitsizlik ve / veya eşitliklerden oluşan problem
kısıtlamaları ifade edilir.
c) Negatif olmama kısıtlamaları ifade edilir.
•Adım 3 . Uygun çözüm alanının grafiği çizilir ve en iyi çözüm bulunup bulunmadığına (yukarıdaki teorem doğrultusunda) karar verilir. Çözüm varsa, tüm
köşe noktalarının koordinatları bulunur.
• Adım 4 . Amaç fonksiyonunun köşe noktalarındaki değerleri bulunur ve bir
tabloda gösterilir.
• Adım 5 . Adım 4 teki tablodan yararlanarak en iyi çözüm belirlenir.
• Adım 6 . En iyi çözümü yorumlanır. Problemde sorulan sorular yanıtlanır.
Bir minimizasyon problemi örneği verelim.
Problem. Üç farklı üreticiden bir merkeze her gün toplam 36 ton patates taşınmaktadır.
Ton başına taşıma maliyeti birinci üreticiden 40 TL, ikinci üreticiden 30 TL, üçüncü
üreticiden ise 10 TL dir. Taşıyıcı firmanın, 36 tonun tamamını yüklemek için her gün en
fazla 120 dakika zamanı vardır. Bir ton patatesin yüklenmesi, birinci üreticide 1 dakika,
ikinci üreticide 4 dakika, üçüncü üreticide ise 3 dakika zaman almakta ve birinci
üreticiden bir günde en fazla 30 ton, ikincisinden 24 ton, üçüncüsünden ise 18 ton patates
alınabilmektedir. Günlük taşıma maliyetinin en az olması için her bir üreticiden günde
kaç ton patates yüklenmeli ve taşınmalıdır? Günlük taşıma maliyeti en az kaç olur?
Çözüm. Veri tablosu
Zaman
Kapasite
Maliyet
Birinci
1
30
40 TL
İkinci
4
24
30 TL
üçüncü
3
18
10
Toplam
120
36
İlk bakışta üç tane karar değişkeni var gibi görünmesine rağmen problemin matematiksel
modeli iki değişkenli doğrusal programlama problemi olarak gerçekleştirilebilir. Bir
günde birinci üreticiden x ton, ikinci üreticiden y ton patates yükleneceğini varsayarsak, toplam 36 ton patates yükleneceğinden, üçüncü üreticiden yüklenecek patates miktarı
36 – (x + y) tondur. Bu durumda günlük taşıma maliyeti,
Çözüm. Veri tablosu
Zaman
Kapasite
Maliyet
Birinci
1
30
40 TL
İkinci
4
24
30 TL
üçüncü
3
18
10
Toplam
120
36
İlk bakışta üç tane karar değişkeni var gibi görünmesine rağmen problemin matematiksel
modeli iki değişkenli doğrusal programlama problemi olarak gerçekleştirilebilir. Bir
günde birinci üreticiden x ton, ikinci üreticiden y ton patates yükleneceğini varsayarsak, toplam 36 ton patates yükleneceğinden, üçüncü üreticiden yüklenecek patates miktarı
36 – (x + y) tondur. Bu durumda günlük taşıma maliyeti,
M( x , y )  40x  30 y  10(36  x  y )  30x  20 y  360
olur. Problem kısıtlamalarına gelince, zaman kısıtlamasından dolayı
x  4 y  3(36  x  y )  120   2 x  y  12
üreticilerin verebileceği miktarlar üzerindeki kısıtlamalardan dolayı
x  30 , y  24
ve
36  x  y  18  x  y  18 .
Negatif olmama kısıtlamaları x  0 , y  0 ve 36  x  y  0  x  y  36 da göz önüne
alınınca problemimizin matematiksel modeli aşağıdaki gibi kurulur:
M( x , y )  30x  20 y  360
fonksiyonunu
 2 x  y  12

x
 30


y  24

 x  y  18
 x  y  36

0
 x

y0

kısıtlamaları altında minimize ediniz.
Uygun çözüm alanının çizimini diğer slaytta yapalım.
M( x , y )  30x  20 y  360
 2 x  y  12

x
 30


y  24

 x  y  18
 x  y  36

0
 x

y0

Köşe
y
 2 x  y  12
x  30
(6,24)
(12,24)
y  24
(2,16)
M(x,y)
(18,0)
900
(30,0)
1260
(30,6)
1380
(12,24)
1200
(6,24)
1020
(2,16)
740
(30,6)
(0,0)
(18,0)
x  y  18
x
(30,0)
x  y  36
Tablodan görüyoruz ki, amaç fonksiyonunun en küçük(minimum) değeri (2,16) köşesinde
740 TL olarak ortaya çıkmaktadır. Bu, problemin en iyi çözümünü verir. Dolayısıyla,
taşıyıcı firma, birinci üreticiden 2 ton, ikinci üreticiden 16 ton ve üçüncü üreticiden 18 ton
patates yüklerse, taşıma masrafı minimum olur. Minimum taşıma maliyeti 740 TL dir.
Problem(Üretim Planlaması). Bir elektronik şirketi, masa üstü ve diz üstü bilgisayarlar
üretmektedir. Bir masa üstü bilgisayar, 300 TL lik malzeme, 30 saatlik iş gücü; bir diz
üstü bilgisayar ise, 600 TL lik malzeme ve 40 saatlik iş gücü gerektirmektedir. Şirketin
malzeme için ayırdığı sermaye, 48000 TL dir ve sahip olduğu iş gücü de 4200 saattir.
Şirket ürettiği bilgisayarların tümüne müşteri bulabilecektir ve bir masa üstü bilgisayardan 150 TL, bir diz üstü bilgisayardan 250 TL kâr sağlayacaktır. Şirketin kârının
maksimum olması için kaç adet masa üstü ve kaç adet diz üstü bilgisayar üretilmelidir?
Maksimum kâr ne olur?
.
Problemin matematiksel modelini kurarken, verilenleri bir tabloda özetlemek yararlı olur.
Malzeme
İş gücü
Ürün başı kâr
Masa üstü
300
30
150 TL
Diz üstü
600
40
250 TL
Mevcut Kaynak
48000
4200
Malzeme
İş gücü
Ürün başı kâr
Masa üstü
300
30
150 TL
Diz üstü
600
40
250 TL
Mevcut Kaynak
48000
4200
x adet masa üstü, y adet diz üstü bilgisayar üretilsin (değişken atama).
Kâr:
K ( x , y )  150 x  250 y
Malzeme:
İş gücü:
300 x  600 y  48 000
30 x  40 y  4200
Bunlara negatif olmama kısıtları da eklenerek problemin matematiksel modeli
aşağıdaki gibi elde edilir.
K(x,y) = 150x + 250y fonksiyonunu
 300 x  600 y  48000

 30 x  40 y  4200

0
 x

y0

kısıtlamaları altında maksimize ediniz.
K ( x , y )  150x  250 y
y
30x  40 y  4200
300x  600 y

40 y
 30 x 

x


y

 48000
0 ,105 
 4200
0
0
0 ,80 
300x  600 y  48000
100 ,30 
Köşe
K(x,y)
(0,0)
0
(0,80)
20000
(100,30) 22500
(140,0) 21000
160 ,0 
140 ,0 
0 , 0 
En iyi çözüm
Uygun Çözüm Alanı
(Feasible Region)
Uygun çözüm alanı boş olmayan sınırlı bir küme olduğundan en iyi çözüm vardır ve
uygun çözüm alanının köşe noktalarında ortaya çıkacaktır.
O halde verilen kısıtlamalar altında, şirketin kârının maksimum olması için 100 adet masa üstü
ve 30 adet diz üstü bilgisayar üretilmesi gerekir. Şirketin maksimum kârı 22500 TL olacaktır.
x
Problem. İki tezgahı bulunan bir işletmede A ve B diye isimlendirilen iki tür ürün
üretiliyor. Her iki ürün için de her iki tezgahın kullanılması gerekiyor. Eğer birinci tezgah
sadece A ürünü için çalıştırılırsa, günde 40 birim A nın işini yapabiliyor; eğer bu tezgah
sadece B ürünü için çalıştırılırsa, günde 60 birim B nin işini yapabiliyor. Benzer
şekilde, eğer ikinci tezgah sadece A ürünü için çalıştırılırsa, günde 50 birim A; sadece
B ürünü için çalıştırılırsa, günde 50 birim B nin işini yapabiliyor. İşletme, A nın her
biriminden 20 TL, B nin her biriminden de 40 TL kâr sağlamaktadır. İşletmenin ürettiği
tüm ürünleri satabileceği varsayılırsa, günlük kârının maksimum olması için her bir
üründen günde kaç birim üretmesi gerekir?
A dan x1 birim ve B den x2 birim üretildiğini varsayarak, problemimizin matematiksel
modelini şöyle oluşturabiliriz:
K ( x1, x2 )  20 x1  40 x2 fonksiyonunu
1
1
x

x2  1
1
 40
60

1
1
x

x2  1
1

50
50

x1
0


x2  0

kısıtlamaları altında maksimize ediniz.
Problem kısıtlamaları olarak ortaya
çıkan eşitsizlikler elde edilirken, örneğin birinci tezgah tüm gün A ürünü
için çalıştırıldığında 40 birim A nın
işini yapabildiğine göre, x1 birim A
nın işini (1/40)x1 günde yapabilecektir. Aynı tezgah x2 birim B nin işini
de (1/60) x2 günde yapar. Dolayısıyla,
1
40
x1 
1
60
x2  1
K ( x1 , x2 )  20 x1  40 x2
1
1
1
x

 40 1 60 x 2  1

1
1
x

x2  1
1

50
50

x1
0


x2  0

40
x1 
1
60
x2  1
(0,60
x2
(20,30)
UYGUN ÇÖZÜM ALANI
(0,50)
KÖŞE
K
(0,0)
0
(40,0)
800
1
(20,30)
1600
50
(0,50)
2000
(0,0)
(40,0)
x1 
1
50
x2  1
(50,0)
x1
Değerler tablosundan, maksimum kârın x1=0 , x2 = 50 olunca elde edildiği görülür. Dolayısıyla, maksimum kâr için sadece 50 birim B üretilmelidir. Maksimum kâr 2 000 TL
dir.
Örnek.
K ( x 1 , x 2 )  20x 1  30x 2
 2x 1

x1


x1


x1

fonksiyonunu
 x 2  20
x2
0 ,20 
 x 2  12
 3x 2  30
,
x2  0
0 ,12 
0 ,10 
2x1+x2 = 20
3 ,9 
x1+x2 = 12
x1+3x2 = 30
8 ,4 
kısıtlamaları altında maksimize
0 ,0 
10 ,0  12 ,0 
30 ,0 
ve minimize ediniz.
Köşe
(0,0)
(0,10)
(3,9)
(8,4)
(10,0)
K(x1,x2)
0
300
330
280
200
x1
Örnek. z  10 x1  20 x2
fonksiyonunu
 2 x1  4 x2  32

 6 x1  2 x2  36

x2  20


x1 , x2  0

kısıtlamaları altında maksimize ve minimize ediniz.
Simpleks Yöntemine Hazırlık.
Üretim Planlaması probleminin matematiksel modeline x yerine x1 , y yerine x2 yazarak
tekrar bakalım:
K ( x 1 , x 2 )  120x 1  70x 2
fonksiyonunu
2x 1  x 2  16

4 x 1  3x 2  36

0
 x1

x2  0

kısıtlamaları altında maksimize ediniz.
Problem kısıtlaması olan ilk iki kısıtlamanın sol taraflarına yeni değişkenler eklersek
aşağıdaki denklem sistemi elde edilir:
Karar Değişkenleri
 16
 2x 1  x 2  s1

 s2  36
4 x 1  3x 2
Karar Değişkenleri
 16
2x 1  x 2  s1

 s2  36
4 x 1  3x 2
Aylak Değişkenler
• Eğer günde 3 adet ceket (x1 = 3), 4 adet yelek (x2 = 4) üretilirse, 2.3+ 40. 1= 10 saatlik
iş gücü harcanır, 6 saatlik iş gücü “aylak” kalır (s1 = 6). Benzer şekilde, 4.3+3. 4 = 24
saatlik iş gücü kullanılır, 12 saatlik iş gücü “aylak” kalır (s2 = 12).
• Karar değişkenleri x1 ve x2 problem kısıtlamalarını ve negatif olmama kısıtlamalarını sağlarsa, aylak değişkenler negatif olamaz. Dolayısıyla, doğrusal programlama
probleminin en iyi çözümü, problem kısıtlamalarından aylak değişkenler katılarak elde edilen
doğrusal denklem sisteminin x1, x2, s1, s2 ≥ 0 olan çözümleri arasındadır.
•Bir doğrusal denklem sistemi verildiğinde, sistemdeki denklem sayısı kadar değişken
seçilip onlara temel değişkenler, geri kalan değişkenlere de temel olmayan değişkenler
denir.
•Denklem sisteminde temel olmayan değişkenler yerine sıfır yazılıp temel değişkenler için
çözüm yapılarak bulunan çözümlere temel çözümler denir.
Örnek. Yukarıda ele aldığımız
 16
 2x 1  x 2  s1

 s2  36
4 x 1  3x 2
sisteminde x1 ve x2 temel değişken olarak seçilirse, temel çözüm
2x 1  x 2  16

4 x 1  3x 2  36
2

4
x1  6
,
x2  4
,
1 16 

3 36 
s1  0
,
1
 
0
s2  0
0.5 8 

1 4 
1
 
0
0 6 

1 4 
olur.
Böylece elde edilebilecek tüm temel çözümleri bir tabloda göstereceğiz.
 16
 2x 1  x 2  s1

 s2  36
4 x 1  3x 2
Temel Değişkenler
x1
Temel Çözüm
x2
s1
s2
x1 , x2
6
4
0
0
x1 , s1
9
0
-2
0
x1 , s2
8
0
0
4
x2 , s1
0
12
4
0
x2 , s2
0
16
0
-12
s1 , s2
0
0
16
36
Temel çözümlerden her birinde (x1 , x2 ) ikilisine baktığımız zaman bu ikilinin
problemimizin kısıtlamalarını ifade eden eşitsizliklerden ikisine karşılık gelen
doğruların kesişim noktası olduğunu görürüz. Bir sonraki slayt bu ilişkiyi
sergilemek-tedir:
K ( x 1 , x 2 )  120x 1  70x 2
2x 1  x 2  16

4 x 1  3x 2  36

0
 x1

x2  0

Temel
Değişkenler
 16
2x 1  x 2  s1

 s2  36
4 x 1  3x 2
Temel Çözüm
(x1 , x2)
Kesişen
Doğrular
x1
x2
s1
s2
x1 , x2
6
4
0
0
(6,4)
2x1  x 2  16 , 4 x1  3x 2  36
x1 , s1
9
0
-2
0
(9,0)
4 x 1  3x 2  36 , x 2  0
x1 , s2
8
0
0
4
(8,0)
2x 1  x 2  16 , x 2  0
x2 , s1
0
12
4
0
(0,12)
x1  0 , 4 x1  3x 2  36
x2 , s2
0
16
0
-12
(0,16)
x1  0 , 2x1  x 2  16
s1 , s2
0
0
16
36
(0,0)
x1  0 , x2  0
Temel çözümler ve onlara karşılık gelen (x1,x2) sayı ikililerini problemimizin
uygun çözüm alanı ile birlikte değerlendirdiğimiz zaman (aşağıda üretim
planlaması probleminin temel çözümlerini ve uygun çözüm alanını görüyorsunuz) bir husus daha dikkatimizi çeker ki bu, tartışmamızın bundan sonrası için
çok önemlidir. Şöyle ki, temel çözümlerden negatif bileşen içermeyen her bir
çözüme karşılık gelen (x1,x2 ) ikilisi uygun çözüm alanının bir köşe noktasıdır. Bu
bağlamda uygun çözüm alanının köşe noktaları ile temel çözümlerden negatif
bileşen içermeyenler arasında bire bir eşleme vardır. Temel çözümlerden negatif
bileşen içerenlere karşılık gelen (x1,x2) ikilileri uygun çözüm alanının dışında
kalan noktaların koordinatlarıdır.
Temel Çözümler
x1
x2
s1
s2
x2
(x1 , x2)
6
4
0
0
(6,4)
9
0
-2
0
(9,0)
8
0
0
4
(8,0)
0
12
4
0
(0,12)
0
16
0
-12
(0,16)
0
0
16
36
(0,0)
4 x  3 y  36
0 ,16 
0 ,12 
2x  y  16
6 , 4 
9 ,0 
0 ,0 
8 , 0 
x1
x2
Temel Çözümler
x1
x2
s1
s2
0 ,16 
(x1 , x2)
6
4
0
0
(6,4)
8
0
0
4
(8,0)
9
0
-2
0
(9,0)
0
16
0
-12
(0,16)
0
12
4
0
(0,12)
0
0
16
36
(0,0)
4 x  3 y  36
0 ,12 
2x  y  16
6 , 4 
0 ,0 
8 , 0 
9 ,0 
x1
Temel çözümlerden negatif bileşen içermeyenlere uygun temel çözümler, negatif bileşen
içerenlere uygun olmayan temel çözümler denir.
Uygun temel çözümler uygun çözüm alanının köşe noktalarına karşılık gelirler.
Dolayısıyla, doğrusal programlama problemlerinin çözümleri ile ilgili olarak daha önce
ifade ettiğimiz teoremi yeniden şöyle ifade edebiliriz:
Teorem. Bir doğrusal programlama probleminin en iyi çözümü mevcutsa, bu çözüm,
uygun temel çözümlerden biri veya birkaçında ortaya çıkar.
x2
Örnek.
K ( x 1 , x 2 )  20x 1  30x 2
 2x 1

x1


x1


x1

fonksiyonunu
0 ,20 
 x 2  20
 x 2  12
0 ,12 
0 ,10 
 3x 2  30
,
x2  0
2x1+x2 = 20
3 ,9 
x1+3x2 = 30
8 ,4 
kısıtlamaları altında maksimize ve minimize ediniz.
 20
2x 1  x 2  s1

 s2
 12
 x1  x2
 x  3x
 s3  30
2
 1
x1+x2 = 12
0 ,0 
Temel
Değişkenler
x1, x2, s1
x1, x2, s2
x1, x2, s3
x1, s1, s2
x1, s1, s3
x1, s2, s3
x2, s1, s2
x2, s1 , s3
x2, s2 ,s3
s1, s2, s3
10 ,0  12 ,0 
x1
3
6
8
30
12
10
0
0
0
0
x2
9
8
4
0
0
0
10
12
20
0
s1
5
0
0
-40
-4
0
10
8
0
20
30 ,0 
s2
0
-2
0
-18
0
2
2
0
-8
12
s3
0
0
10
0
18
20
0
-6
-30
30
x1
Download

ve x - Başkent Üniversitesi