İÇİNDEKİLER
ORGANİZASYON ŞEMASI........................................................................................................... 7
KÜMELER
1.1. Kümelerde Temel Kavramlar ........................................................................................... 10
1.2. Kümelerde İşlemler .......................................................................................................... 19
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
2.1. Gerçek Sayılar ..................................................................................................................
2.2. Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler ...................................................................
2.3. Üstlü İfade ve Denklemler ...............................................................................................
2.4. Denklem ve Eşitsizliklerle ilgili Uygulamalar .................................................................
40
45
61
73
FONKSİYONLAR
3.1. Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi .................................................................................. 108
ÜÇGENLER
4.1. Üçgenlerin Eşliği ............................................................................................................
4.2. Üçgenlerin Benzerliği . ...................................................................................................
4.3. Üçgenin Yardımcı Elemanları ........................................................................................
4.4. Dik Üçgen ve Trigonometri . ..........................................................................................
4.5. Üçgenin Alanı . ................................................................................................................
130
146
159
175
196
VEKTÖRLER
5.1. Vektör Kavramı ve Vektörlerle İşlemler ........................................................................ 214
VERİ
6.1. Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri ................................................................................ 234
6.2. Verilerin Grafikle Gösterilmesi ...................................................................................... 243
OLASILIK
7.1. Basit Olayların Olasılıkları . ............................................................................................ 256
MATEMATİKSEL SEMBOLLER VE ANLAMLARI..................................................................... 269
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI CEVAP ANAHTARI...................................................... 270
SÖZLÜK. .................................................................................................................................. 276
KAYNAKÇA.............................................................................................................................. 278
GÖRSEL KAYNAKÇA. .............................................................................................................. 278
6
ORGANİ ZASYON ŞEMASI
Ünite numarası
Ünite sonunda öğrencilecek
konular.
1.
ÜNİTE
KÜMELER
Ünite adı
Bu ünitenin sonunda;
• Kümekavramını,
• Kümelerleilgilitemelkavramları,
• Kümelerüzerindetanımlıolanbirleşim,kesişim,farkvetümlemeişlemlerini,
• İkikümeninkartezyençarpımıişlemini,
• Kümelerdeişlemlerikullanarakproblemçözmeyi
öğrenmişolacaksınız.
Sayfa numarası
9
Konu başlığı
1.1. KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR
Küme Kavramı ve Kümelerin Gösterimi
TERİMLER
Aşağıdaki tabloda, I ve II. grupta verilen toplulukları inceleyiniz.
Gerçek/gerçekçi
hayat problemi
I. Grup
II. Grup
• Türkiye’nin en yüksek beş dağı
• Türk alfabesindeki sesli harfler
• Kenarlarına göre üçgen çeşitleri
• 30 sayısının asal çarpanları
• 0 ile 10 arasındaki tek sayılar
• Türkiye’nin en güzel illeri
• Dünyanın en iyi 3 futbolcusu
• En çok sevilen TV dizileri
• En lezzetli yemekler
• Sınıfın güzel gözlü öğrencileri
•
•
•
•
•
•
•
küme
eleman
boş küme
alt küme
sonlu küme
sonsuz küme
eşit kümeler
1. Her iki gruptaki toplulukların elemanlarını yazmaya çalışınız.
2. İki gruptaki nesne toplulukları arasında nasıl bir farklılık vardır? Tartışınız.
Konuyla ilgili bilgileri içermektedir.
BİLGİ
İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.
Herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan, tek bir şekilde belli
olan nesneler, iyi tanımlıdır.
UYARI
Konuyla ilgili açıklama ve uyarıları içermektedir.
• Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir.
• Kümeler genellikle A, B, C, X, Y, Z… gibi büyük harflerle; kümelerin elemanları ise a, b, c,
x, y, z… gibi küçük harflerle gösterilir.
• Eğer bir a elemanı A kümesine aitse bu durum “a ∈ A” şeklinde yazılır ve “a elemanıdır A”
biçiminde okunur. Eğer bir b elemanı A kümesine ait değilse “b ∉ A” şeklinde yazılır ve “b elemanı
değildir A” biçiminde okunur.
• Bir kümenin gösteriminde kullanılan üç yöntem vardır:
Liste yöntemi
Nesnelerin tırnaklı ayraç içinde aralarına virgül konularak gösterildiği biçimdir.
N = {0, 1, 2, …}
N
Nesnelerin nokta veya şekillerle kapaVenn şeması yöntemi lı bir eğri içinde, bir düzlem parçası oluşturularak gösterildiği biçimdir.
Her bir nesnenin ortak özelliğinin tırOrtak özellik yöntemi naklı ayraç içinde verilerek gösterildiği
biçimdir.
10
7
•
•
•
0
1
2
.
.
.
N = {x | x bir doğal sayı}
Terimler
Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı
Konuyla ilgili keşfettirici etkinlikleri içermektedir.
ETKİNLİK
❖ A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 3, 5, 7, 9} kümeleri için A ve B kümelerinin eleman sayılarını bulunuz.
s(A) = ……. ve s(B) = ……..
❖ A ∪ B ve A ∩ B kümelerini yazarak bu iki kümenin eleman sayılarını bulunuz.
s(A ∪ B) = ……. ve s(A ∩ B) = ……..
❖ s(A), s(B), s(A ∪ B) ve s(A ∩ B) değerleri arasında nasıl bir ilişki vardır. İnceleyiniz.
❖ A ve B kümelerinin eleman sayıları toplamı A ∪ B kümesinin eleman sayısını vermekte midir? İnceleyiniz.
❖ Yandaki venn şemasını inceleyerek s(A ∪ B) değerini s(A),
s(B) ve s(A ∩ B) cinsinden yazmaya çalışınız.
A∪B
A
B
•1
❖ Herhangi A, B ve C kümeleri için s(A ∪ B ∪ C) nin değerini
bulmaya çalışınız.
[İpucu: (A ∪ B ∪ C) ifadesinde birleşme özelliğini kullanarak
•3
•2
•4
•5
•7
•9
A∩B
B ∪ C = K alınız.]
UYARI
• Herhangi iki A ve B kümesi için s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
• Herhangi A, B ve C kümeleri için
s(A ∪ B ∪ C) = s (A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C) dir.
Konuyla ilgili örnekleri içermektedir.
ÖRNEK
s(A) = 4, s(B) = 6, s(C) = 5, s(A ∩ B) = 2, s(A ∩ C) = 3, s(B ∩ C) = 4 ve s(A ∩ B ∩ C) = 1 ise
s(A ∪ B ∪ C) değerini bulalım.
İlgili örneğin çözümüne yerleştirilmiştir.
ÇÖZÜM
s(A ∪ B ∪ C) = s (A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) – s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C) olup
s(A ∪ B ∪ C) = 4 + 6 + 5 – 2 – 3 – 4 + 1 = 7 bulunur.
ÖRNEK
A = {1, 2, 3} ve B = {4, 5, 6} kümeleri için s(A), s(B), s(A ∪ B) ve s(A ∩ B) değerlerini venn şeması
çizerek bulalım ve aralarındaki ilişkiyi yazalım.
A
ÇÖZÜM
B
•4
•1
Yandaki venn şemasında da görüldüğü gibi;
•2
A = {1, 2, 3} olup s(A) = 3,
•3
•5
•6
B = {4, 5, 6} olup s(B) = 3,
Konuyu ve kazanımı pekiştirici sorular ve
alıştırmalara yer verilmiştir.
A ∩ B = ∅ olup s(A ∩ B) = 0 ve A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olup s(A ∪ B) = 6 dır.
ALIŞTIRMALAR
Buna göre s(A ∪ B) = s(A) + s(B) olduğu görülmektedir.
1. A = UYARI
{1, 0, -3}, B = {-3, 1, a} ve C = {0, 1, 5} kümeleri verilsin. Buna göre aşağıdaki kümeleri bulunuz.
a) A ∪ B
b) A ∪ C
c) B ∪ C
Herhangi iki A ve B kümesi için A ∩ B = ∅ ise s(A ∪ B) = s(A) + s(B) dir.
2. D = {3, 5, 7, 9}, E = {x | x, bir tek sayı} ve F = {4, 6, 8, 10} kümeleri verilmiştir. Buna göre aşağıdaki
22
kümeleri bulunuz.
a) D ∩ E
b) D ∩ F
c) Eı ∩ F
3. K = {10, 12, 14, 16, 18} ve L = {9, 12, 15, 18, 21} kümeleri için K ∩ L ve K – L kümelerinin alt kümelerini bulunuz.
4. İki kümenin birleşimi hangi durumda boş küme olur? Açıklayınız.
5. S = { x | x ≥ 10 olan bir doğal sayı}, T = { x | x, 10 un bir katı}, U = { x | x, 60’ın bir çarpanı} ve
V = { x | x, bir tek sayı} kümeleri verilmiştir. Buna göre aşağıdaki kümeleri bulunuz.
a) (S ∪ T) ∩ U
b) (T ∪ U) ∩ V
c) (S ∪ V) ∩ T
ç) S ∩ (U ∩ T)
6. Aşağıdaki eşitliklerde (a, b) ikililerini bulunuz.
a) (a, 7) = (2, b)
b) (a – b, 3) = (1, b)
c) (2a + b, 5) = (4, a – b)
7. A = {0, 2, 4}, B = {-3, -1, 1, 3} ve C = {m, n} kümeleri için;
a) A x B, A x C ve B x C kümelerini bulunuz.
b) A x (B ∪ C) ve A x (B ∩ C) kümelerinin eleman sayılarını bulunuz.
8. s(A ∪ B) = 50, s(A) = 32 ve s(B) = 28 ise, s(A ∩ B) = ?
9. 35 yolcunun bulunduğu bir otobüste, yolcular kek ve çay ikramlarından en az birini tercih etmişlerdir. 25 yolcu çay içmeyi ve 20 yolcu da kek yemeyi tercih ettiğine göre kaç yolcu çay ve keki
birlikte tercih etmiştir?
10.Bir araştırmada, 100 kişiye hangi gazete ya da gazeteleri okudukları sorulmuştur. 45 kişi X gazetesini, 40 kişi Y gazetesini, 30 kişi Z gazetesini, 15 kişi hem X hem Y gazetesini, 10 kişi hem
X hem Z gazetesini 5 kişi hem Y hem Z gazetesine ve 5 kişi ise her üç gazeteyi de okuduğunu
belirtmiştir. Buna göre:
a) Sadece bir gazete okuyan kaç kişi vardır?
b) En az bir gazete okuyan kaç kişi vardır?
Konuyla ilgili tarihsel bilgilere yer verilmiştir.
TARİH KÖŞESİ
17. yüzyılın büyük Fransız matematikçisi René Descartes (Rin Dekart)
(1596 – 1650), daha önceden düzlemdeki bir noktanın yerini açıklamada
kullanılan enlem-boylam düşüncesini geliştirerek yeni bir sistem geliştirmiştir. Onun geliştirdiği bu sistem, Deskartes’in onuruna, onun adına ithafen Kartezyen sistem olarak adlandırılmıştır.
36
Ünitenin kazanım ve konularını yoklayan
farklı tipte sorulara yer verilmiştir.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlarına “D”, yanlış olanlarınaysa “Y” yazınız.
(.....) 2 ∈ {x | x, bir doğal sayı}
(.....) 8 ∈ {1, 3, 5, 7, …}
(.....) {8, 12, 16} ⊂ {4, 16, 12, 8}
(.....) {x | x, bir kare} ⊂ { x | x, bir dikdörtgen}
(.....) ∅, kendisinin bir alt kümesidir.
(.....) {1}, boş kümenin bir alt kümesidir.
(.....) Eleman sayıları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.
(.....) {1, 2, 3} ve {2, 4, 6} kümeleri ayrık kümelerdir.
2. K = {x, y, 6, 9} kümesi için aşağıdaki durumların doğru ya da yanlış olduğunu belirtiniz.
a) x ∉ K
b) 6 ∈ K
c) y ∈ K
ç) z ∉ K
3. Ç = { x | x, 24 ün bir çarpanı} kümesi ile ilgili aşağıdaki durumların doğru ya da yanlış olduğunu
belirtiniz.
a) 4 ∈ Ç
b) 48 ∈ Ç
c) 9 ∉ Ç
ç) 16 ∈ Ç
d) 1 ∈ Ç
4. Aşağıdaki cümlelerde noktalı yerleri kutu içerisinde verilen uygun ifadelerle tamamlayınız.
• A ve B gibi iki küme aynı elemanlardan oluşuyorsa bu kümelere
………………….. denir.
• İki kümenin kesişimi boş küme ise bu kümelere ………………… denir.
boş küme
ayrık kümeler
• Doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin ………………………..dir.
eşit kümeler
evrensel küme
alt kümesi
• Verilen herhangi iki kümede ortak olan elemanların oluşturduğu küme,
bu iki kümenin ………………dir.
kesişim kümesi
birleşim kümesi
• Hiçbir elemanı olmayan kümeye ………………… denir.
5. Aşağıda verilen ifadeleri, kümelerle ilgili sembolleri kullanarak yazınız.
a) D kümesi 3, 4 ve 6 elemanlarından oluşmaktadır. ………………………………………
b) 5, N kümesinin bir elemanıdır.
……………………………………….
6. Aşağıda verilen kümeleri liste yöntemiyle ve ortak özellik yöntemiyle gösteriniz. Bu kümelerin
sonlu ya da sonsuz küme olup olmadıklarını belirleyiniz.
a) A, 15 ten küçük doğal sayıların kümesi
b) B, 31 gün içeren ayların kümesi
c) C, – 5 ten büyük tam sayıların kümesi
ç) Ç, 3 ten büyük doğal sayıların kümesi
8
Download

İÇİNDEKİLER