TÜREV − 3
( BİLEŞKENİN TÜREVİ , ZİNCİR KURALI, PARAMETRİK TÜREV , TERS FONKSİYON TÜREV ALMA KURALLARI )
TÜREV ALMA KURALLARI
BÖLÜM 3
NOT
y= u ( x ) , x e b a ğ l ı b i r f o n k s i yo n i s e ,
y =f (u)→y '=f '(u).u ' b i ç i m i n d e d i r.
TÜREVDE BİLEŞKE KURALI
Örneğin
f : A →B v e g :B→C o lm ak ü z e r e ,
gof : A →C v e r i l s i n . f f on k s i yo n u x
n o k t a s ı n d a ; g f o n k s i yo n u i s e f (x )
n o k t a s ı n d a t ü r e v l e n e b i l i yo r s a ( g o f ) ( x )
f on k s i yo n u x n ok t a s ı n d a t ü r e v l i d i r v e
y=f (x2 +x)→ y '= f '(x2 +x).(2 x+1)
d i r.
Örnek...4 :
f (x2−x)=6x 3−2 i s e p o z i t if x i ç i n
f '(2)=?
(gof )'(x)=g(f '(x )). f '(x)
o l a r a k t a n ı m l a nm ı ş t ı r
Örnek...1 :
f (x)=x2−1, g(x)=x2 +1 o l a r ak v e r i l i yo r,
a ) (fog)'(x)=?
Örnek...5 :
b ) (gof )'(x)=?
Örnek...2 :
2
3
h(x)=x −3x , g(x)=x +2 o l a r a k v e r i l i yo r,
a ) (fog)'(2)=?
www.matbaz.com
f (x3 )=2x 2−5x +6 i s e f '(−8)=?
BİLEŞKE VE KUVVET KURALININ GENELLEMESİ
y =un → y '=n .un −1 .u '
Örnek...6 :
y=f (x)=(x3 +8x2−6x +1)3 i s e
dy
=?
dx
b ) (gof )'(2 )=?
Örnek...7 :
f (x)=(x2−x−1)8 i s e
dy
=?
dx
Örnek...3 :
f (x)=3x 2−x i s e (fof)'(1 )=?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/6
TÜREV − 3
( BİLEŞKENİN TÜREVİ , ZİNCİR KURALI, PARAMETRİK TÜREV , TERS FONKSİYON TÜREV ALMA KURALLARI )
Örnek...8 :
3
3
2
f (x)=(x +x) +(4−2x ) i s e
Örnek...9 :
g(5)=−3, g'(5)=−2
f '(2) = ?
ve
Örnek...13 :
f (x ) = 2 x 2 − 3 x v e g ( x )= x − x 2 , h ( x )= 3 x − 4 i s e
(hogof)ı(2)=?
f '(0) = ?
f (x)=g4 (x 3−3) i s e
ZİNCİR KURALI
y=f (u)
dy dy du dt
= .
.
u=g(t) i s e
dx du dt dx
t=h (x)
o l a r ak h e s a p l a n ır.
Örnek...1 :
Örnek...10 :
f '(3) = ?
www.matbaz.com
f (x)= √ x +3x +2 i s e
2
Örnek...11 :
f (x)= √ x+ √ x i s e
f '(1) = ?
y=u2−2u , u=x3−x i s e
dy
=?
dx
Örnek...2 :
Örnek...12 :
g2(x3+1)=f3(x2+1).h(3x−1) için
f (2 ) = 3
g(2)=−2
h(2)=−1
f ( 2 )= 4
g (2)=1
hı(2)=?
ı
ı
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1
y=3x2−2x , x= , u=n 2−3n+1
u
dy
olduğuna göre,
n = 0 i ç i n k aç t ır ?
dn
2/6
TÜREV − 3
( BİLEŞKENİN TÜREVİ , ZİNCİR KURALI, PARAMETRİK TÜREV , TERS FONKSİYON TÜREV ALMA KURALLARI )
Örnek...3 :
y=t 2 +5t , t=6u2 , u=2x−3 i s e
dy
dx
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
x= 1 i ç i n
x= f ( t ) v e y= g ( t ) p a r a m e t r i k e ş i t l i k l e r i i l e
dy
dy
verilen eğri için
' i b u lm a k i ç i n
dx
dx
if a d e s i n d e p a y v e p a yd a d t i l e b ö l ü n ü r.
dy
dy dt
x=f (t), y=g (t)→ =
dx dx
dt
o l a r ak h e s a p l a n ır.
kaçtır?
Örnek...3 :
x = t 2 v e y= t ² + 2 t p a r a m e t r i k e ş i t l i k l e r i i l e
dy
verilen eğri için
=?
dx
t ∈ [ a , b ] b i r r e e l d e ğ i şk e n o l m a k ü ze r e ,
x = f ( t ) v e y= g ( t ) o l a r ak t a n ı m l a n m ı ş
f on k s i yo n l a r i s e ( x , y) = ( f ( t ) , g ( t ) )
n o k t a l a r ı n ı n o l u ş t u r d u ğ u k üm e ye
p a r a m e t r ik e ğ r i ; t ye i s e p a r am e t r e d e n i r.
Örnek...1 :
0⩽t⩽1 o l m a k ü ze r e , x= 3 t v e y= 2 − t
p a r am e t r i k e ş i t l i k l e r i i l e v e r i l e n e ğ r i yi
bulunuz?
www.matbaz.com
PARAMETRİK FONKSİYONLAR
Örnek...4 :
x = t ³ v e y= 5 − t ² + t p a r am e t r i k e ş i t l i k l e r i i l e
dy
verilen eğri için
=?
dx
Örnek...2 :
0⩽t⩽2 π o l m a k ü ze r e , x= a . c o s t v e y= a . s i n t
p a r am e t r i k e ş i t l i k l e r i i l e v e r i l e n e ğ r i yi
belirtiniz?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
Örnek...5 :
x = t 3 − t + 3 v e y= t − t 2 p a r am e t r i k e ş i t l i k l e r i i l e
dy
verilen eğri için
t = 2 i ç i n k aç t ır ?
dx
3/6
TÜREV − 3
( BİLEŞKENİN TÜREVİ , ZİNCİR KURALI, PARAMETRİK TÜREV , TERS FONKSİYON TÜREV ALMA KURALLARI )
DEĞERLENDİRME
7)
1)
f (x)=2x 3+3x , g(x)=x3−4 ise (fog)'(1)=?
2)
f (2x 3+3)=6x2−3x +2 ise f '(1)=?
4)
dy
u=0
du
için kaçtır?
8)
x=2t³−3t2+4t+1 ve y=2t²+3t parametrik eşitlikleri ile
dy
verilen eğri için
=?
dx
9)
x=t−t2+t3 ve y=3t3 parametrik eşitlikleri ile verilen
dy
eğri için
t=1 alınırsa kaça eşit olur?
dx
4
5
f (x)=(2x −3x+1) ise f '(2)=?
3
f 2 (x2−2)=g2 ( x −2).h(2x 2−3x ) için
2
f(2)=1, g(2)=4, h(2)=−2, fı(2)=−2 ve gı(2)=−3
olduğuna göre, hı(2) kaçtır?
10) x=t3−2t ve y=(t−2)( √ 3−2t 2+t 3 )
parametrik
dx
eşitlikleri ile verilen eğri için
t=1 için kaça eşit
dy
olur?
3
5)
f (x)= √ x+ √ x+ √ x İse f '(1)=?
6)
2
3
y=x −2x , x=u +5u−32 ise
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
3)
y=x 2+3x , x=t 3+t , t=u 2−3u+1 ise
dy
=?
du
11)
x=( √ t−2t2 +t 3) ve y=3t3 parametrik eşitlikleri ile
dy
verilen eğri için
t=2 için kaçtır?
dx
4/6
TÜREV − 3
( BİLEŞKENİN TÜREVİ , ZİNCİR KURALI, PARAMETRİK TÜREV , TERS FONKSİYON TÜREV ALMA KURALLARI )
TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
Örnek...5 :
f : A →B y= f ( x ) f o nk s i yo n u b i r e b i r v e
ö r t e n i s e f n i n t e r s i v a r d ı r. y= f ( x ) v e r i l i p
t e r s f o nk s i yo n u n t ü r e v i s o r u l u yo r s a
d o ğ r u d a n f - 1 ( x ) f on k s i yo n u b u l u n u r v e
s o n r a t ü r e v i a l ı n ı r. E ğ e r s a d e c e t e r s
f on k s i yo n u n t ü r e v i n d e d e ğ e r a r ı yo r s a k
ye r d e ğ i ş t i r m e i l e b i l e şk e f on k s i yo n a
t ü r e v u yg u l a ya r a k d a s o n u c a g i d e b i l i r i z.
3
f : ℝ→ℝ , f (x)= x +2 i s e
−1
(f )'(3)=?
B u a n l a t t ı k l a r ı m ı z ı f o rm ü l l e ş t i r i r s ek ,
f − 1 : B→A v e (f)(x 0)= y0 o l m a k ü ze r e ,
−1
(f )' (y 0 )=
1
d ı r.
(f) '(x 0 )
Örnek...6 :
5
f : ℝ→ℝ , f (x)= x +2 i s e
−1
(f )'(34)=?
Örnek...1 :
−1
f : ℝ→ℝ, f (x)=3x+5 i s e
Örnek...2 :
f : ℝ−{2}→ℝ−{3 } , f (x)=
(f )'(x)=?
3x−5
ise
x−2
(f−1)'(x)=?
Örnek...7 :
f (x ) = x 3 + x i s e
(f−1)'(30)=?
Örnek...3 :
3
f : ℝ→ℝ , f (x)= √ x 3+2 i s e
(f−1)'(x)=?
Örnek...8 :
f : ℝ−{−5}→ℝ−{2} , f (x)=
2x−3
ise
x+5
(f−1)'(1)=?
Örnek...4 :
f :(0,∞)→(−4, ∞) , f(x)=x 2−4 i s e
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
(f−1)'(x)=?
5/6
TÜREV − 3
( BİLEŞKENİN TÜREVİ , ZİNCİR KURALI, PARAMETRİK TÜREV , TERS FONKSİYON TÜREV ALMA KURALLARI )
4)
2
f :(−∞,−3)→(−6,∞) , f (x)=x +6x+3 ise
−1
(f )'(x)=?
5
4
4x−7
ise
f : ℝ−{ }→ℝ−{ } , f (x)=
3
3
3x −5
−1
(f )'(x)>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
5)
f : ℝ→ℝ , f (x)= x17 +2 ise (f−1)'(2)=?
Uygun şartlarda tanımlı f (x)= √ x+2 fonksiyonu
için (f−1)'(x)=?
6)
DEĞERLENDİRME
1)
2)
3)
f : ℝ→ℝ, f −1(x)=4x−7 ise (f)'(x)=?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
Uygun şartlarda tanımlı f (x)=x− √ x fonksiyonu
için (f−1)'(6)=?
6/6
Download

TÜREV ALMA KURALLARI BÖLÜM 3 - 11.sınıf mat çözüm videoları