TÜREV UYGULAMALARI
Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve
belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir.
11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum) Noktaları
fonksiyonu
aralığında sürekli bir fonksiyon ve
için
ise
noktasında bu fonksiyonun bir maksimumu vardır.
Bu durumda;
olur. Eğer bu aralıktaki bütün x’ler için
vardır.
ise bu fonksiyonun
noktasında bir minimumu
Bu durumda ise;
olur. Maksimum ve minimum noktalarına ekstremum noktaları da denir.
Teorem 1:
fonksiyonu
aralığında sürekli bir fonksiyon olsun.
fonksiyonu bu aralığın bir
noktasında maksimum veya minimuma sahipse ve bu noktada fonksiyonun türevi sonlu ise bu türev
sıfıra eşittir. Yani ;
’dır.
Teorem 2 (Rolle Teoremi) :
fonksiyonu
ise
türevi sıfıra eşittir. Yani;
aralığında sürekli,
aralığında türevi olan bir fonksiyon ve
açık aralığı içinde en az bir
noktası vardır ki bu noktada fonksiyonun
’dır.
1 Aşağıdaki animasyonda da görüldüğü gibi
fonksiyonun bir maksimumu
ve
olup
noktasında
noktasında ise bir minimumu vardır. Bu iki noktada da
olup
dır.
Teorem 3 (Ortalama Değer Teoremi) :
fonksiyonu
aralığında sürekli ve
aralığında türevi olan bir fonksiyon ise;
olacak şekilde en az bir
Geometrik olarak aşağıdaki şekillerden de izlenebildiği gibi
noktası vardır.
fonksiyonu
ve
aralığında türevi olan fonksiyonlar olduğu için
daima vardır.
aralığında sürekli
olan
gibi noktalar
2 11.1.1 Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Teorem :
kapalı aralığında türevi daima pozitif olan
negatif olan
fonksiyon bu aralıkta artan, türevi daima
fonksiyon ise bu aralıkta azalandır.
Karşıt Teorem :
aralığında artan bir fonksiyonun türevi varsa bu türev pozitiftir. Benzer şekilde azalan bir
fonksiyonun türevi varsa bu negatiftir. Herhangi bir fonksiyonun türevi sıfır olsa da fonksiyon her
zaman sıfır değildir.
11.1.2 Dış Bükey Eğriler, İç Bükey Eğriler ve Büküm Noktası
Bir eğrinin bükülme yönü OY ekseninin pozitif yönünde ise eğriye OY eksenine göre dış bükey
(konveks), negatif yönünde ise iç bükey (konkav) denir.
İlk eğride (dış bükey) A1 noktasından A2 noktasına gidildikçe teğetlerin eğimleri gitgide artar. Yani bu
eğrinin türev fonksiyonu artan bir fonksiyondur ve
dır.
İkinci eğride ise (iç bükey) B1 noktasında B2 noktasına gidildikçe teğetlerin eğimleri gitgide azalır. Yani
bu eğrinin türev fonksiyonu azalan bir fonksiyondur ve
dır.
Eğrinin yön değiştirdiği yani
olduğu noktaya ise büküm noktası deir. Eğri bu noktada dış
bükeylikten iç bükeyliğe ya da iç bükeylikten dışbükeyliğe geçer. Yani eğrinin bükülme yönü değişir.
Bu bilgiler ışığında ekstremum noktaları ile ilgili olarak şu sonuçlara varabiliriz :
fonksiyonu maksimum olduğu
noktasında ;
3 ve
Yani
eğri bu noktada iç bükeydir.
Minimum olduğu
noktasında ise ;
ve
Yani
eğri bu noktada dış bükeydir.
11.1.3 Teğet - Normal
Bir
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin herhangi bir
noktasındaki eğimi
olsun.
Eğerinin bu noktadaki teğetinin denklemi;
veya
4 olur. Buradan teğet denklemi;
olarak yazılabilir.
noktasından geçen ve bu noktadaki teğete dik olan doğruya ise normal(N) denir. Dik iki
doğrunun eğimleri arasında (
ve
eğimleri göstermek üzere)
ve
bağıntısı vardır. Buna göre normal denklemi;
olarak elde edilir.
11.2 Belirsiz Şekiller
Bağımsız değişkenin belli bir değeri için bazı fonksiyonların limitleri belirsizdir. Bu gibi limitlere belirsiz
şekiller denir. Belirsiz şekilleri bazı türev işlemleri yardımıyla belirli hale getirmek mümkündür. Bunun
için verilen ifadenin ne türden bir belirsiz şekil olduğunu saptamak ve bu belirsiz şekle uygun işlemleri
uygulamak gereklidir. Belirsiz şekiller yandaki gibi sıralanabilir.
5 11.2.1 (0/0) Şeklindeki Belirsizlik ve L’hopital Kuralı
Kesirli rasyonel bir fonksiyonun
için limiti
şeklinde belirsiz ise, pay ve paydanın
ayrı ayrı türevleri alınarak belirsizlik giderilmeye çalışılır. Yani;
için
olarak yazılabilir.
Bu kurala L’hopital kuralı denir. Eğer
türevlerinin
oranı da
şeklinde belirsiz ise bu defa ikinci
noktasındaki değerleri bulunarak ;
oranı hesaplanır. Eğer yine belirsizlik varsa ardışık türevler alınarak belirsizlik giderilene kadar
türev alma işlemi sürdürülür.
iken
olduğu için L’hospital kuralı uygulanabilir.
iken
olduğu için L’hospital kuralı uygulanabilir.
6 iken
olduğu için L’hospital kuralı uygulanabilir.
11.2.2 (∞/∞) Şeklindeki Belirsizlikler
şeklinde belirsiz ise limiti belirli hale getirmek için;
ve
şeklinden
dönüşümleri yapılarak belirsizlik,
şekline dönüştürülür.
Böylece, bu belirsizlik şeklinde de L’hopital kuralı uygulanarak belirsizlik giderilmeye çalışılır.
7 11.2.3 (0.∞) Şeklindeki Belirsizlikler
şeklinde belirsiz ise limiti belirli bir hale getirmek için ;
veya
yazılarak
veya
elde edilir ve belirsizlik
veya
şekillerinden birine dönüştürülmüş olur. Bu şekillerden biri ile
sonucu ulaşılamaması halinde, diğer şekli denemek gerekir.
iken
olduğu için önce
veya
belirsizliklerinden birisine dönüştürülürek
çözülür.
8 iken
dönüştürülürek çözülür.
olduğu için önce
veya
belirsizliklerinden birisine
11.2.4 00 , ∞ 0 , 1 Şeklindeki Belirsizlikler
∞
şeklinde belirsiz ise limiti belirli hale getirmek için ;
fonksiyonunda her iki tarafın logaritması alınarak ;
elde edilir. Bu ifadenin her iki tarafının limitleri alınarak ;
şekline dönüştürülür.
Daha sonra
yazılarak belirsizlik
veya
şekline dönüştürülür.
Böylece;
9 limiti bulunur. Burada aranılan limit olarak
elde edilir.
iken
olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti alınır.
yazılarak;
elde edilir
O halde;
ve
iken
işlemin sonucu olarak elde edilir.
olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti alınır.
yazılarak,
elde edilir.
10 ve sonuç
iken
olarak elde edilir.
olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti alınır.
yazılarak,
elde edilir.
elde edilir. Burada sonuç
11 olarak bulunur.
iken
olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti
alınır.
belirsizliği olduğu için L’hospital kuralı uygulanır.
elde edilir. Buradan aranan sonuç
olarak bulunur.
iken
olduğu için önce fonksiyonun logaritması alınır daha sonra limiti
alınır.
12 yazılarak her iki tarafın logaritması alınırsa;
bulunur.
Yani;
bulunur.
Buradan sonuç ;
elde edilir.
11.2.5 (∞ - ∞) Şeklindeki Belirsizlikler
olması halinde limiti belirli hale getirmek için;
= F(x) ,
= G(x) koyarak
şeklini alır. Bu ifade
veya
için
belirsiz şekline dönüştürülür. Daha sonra L’hospital kuralı uygulanır.
13 iken
olduğu için belirsizlikten kurtulunur.
Paydalar eşitlenirse;
olarak elde edilir.
iken
olduğu için belirsizlikten kurtulunur.
Paydalar eşitlenirse;
Açıklama :
14 15 
Download

türev uygulamaları