12. Moment hesapları
Bir rastgele değişkenin beklenen değer (aritmetik ortalama) ve varyansından başka
önemli karakteristiklerinden biri de çeşitli dereceden momentleridir.
Terimlerin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan sapmalarının değişik kuvvetlerinin
beklenen değerine moment adı verilir.
r
Tanım: a bir gereci sayı ve r pozitif tamsayı olmak üzere E[(x-a)] değerine X rastgele
değişkeninin a civarında r inci dereceden momenti adı verilir.
X'in kesikli ya da sürekli olmasına göre bu tanım aşağıdaki biçimde formüle edilir.
burada a = 0 olduğunda X rastgele değişkenin 0 civarındaki r inci momenti
Momentlerin var olabilmesi için formüldeki toplam ve integralin tanımlı olması gerekir.
2
Elde edilir.
Momentler Arasındaki İlişki
Sıfır civarındaki momentlerin hesaplanması ortalama civarındaki momentlerin
hesaplanmasına göre daha kolaydır. Bu nedenle her iki tür momentler arasındaki
ilişkileri ortaya koymak yararlı olacaktır.
Tanım:
dir
Teoremin ispatı verilmeyecektir. Fakat bu teorem kullanılarak aşağıdaki sonuçlara
varılır.
Elde edilir.
3
X rasigele değişkeninin simetrik olmama veya çarpıklık katsayısı
İle gösterilir ve
ortalamaya göre 3 üncü momentin, standart sapmasının küpüne oranı ile elde edilir.
=0 ise olasılık dağılımı simetriktir,
ise dağılım sağa doğru
ise
dağılım sola eğiktir.
X rastgele değişkeninin ortalamaya göre 4 üncü momentinin standart sapmasının 4
üncü kuvvetine oranına basıklık katsayısı denir.
ile gösterilir. Buna göre
denir.
ya da 3 e yakın değerler alıyorsa dağılım normaldir
ise dağılım sivrileşir,
ise dağılım basıktır.
Örnek:
a) 2, 4, 7, 9, 10, 11 sayılarının sıfır civarındaki ilk 3 momentini bulunuz.
b) Aritmetik ortalama civarındaki ilk 3 momenti bulunuz.
Çözüm
a)
4
b)
Moment Çıkaran Fonksiyonu
Bir rastgele değişkenin sıfır civarındaki momentlerini hesaplamada moment çıkaran
fonksiyondan
yararlanılabilir.
fonksiyonundan
yararlanarak
Bu
yeni
yönteme
bir
göre
fonksiyon
rastgele
değişkenin
belirlenir.
Elde
olasılık
edilen
bu
fonksiyondan yararlanılarak momentler hesaplanır.
fonksiyonu varsa bu fonksiyona eğer beklenen değer
-h2 < t < h2
aralığında her t
değeri için varsa
şeklinde tanımlanır. Mx(t) yerine sadece M(t) kullanılacaktır, t = 0 olduğunda
fonksiyon 1 e eşit olur.
5
Örnek:
X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
şeklinde verilmiştir. X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu bulunuz.
Olarak bulunur.
Örnek:
olduğuna göre X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
6
Örnek:
X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak verilmiştir. X'in moment
çıkaran fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Örnek:
X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
olduğuna göre moment çıkaran fonksiyonu bulunuz.
7
Moment Çıkaran Fonksiyonun Özellikleri
Dikkat edilmesi gereken husus her dağılım bir moment çıkaran fonksiyona sahip
değildir.
Özellik 1. Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevinde t = 0 konursa
elde edilir. E(X), X rastgele değişkeninin ilk momentidir.
Moment çıkaran fonksiyonun İkinci türevinde t = 0 konursa
bulunur. E(X2), X rastgele değişkeninin ikinci momentidir.
Moment çıkaran fonksiyonun n inci türevi alınır t = 0 konursa
elde edilir. E(X"), X rastgele değişkeninin n inci momentidir.
Özellik 2: X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) olsun, a ve b
sabit birer sayı olmak üzere
Y = aX+b rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu
olur.
Özellik 3: Moment çıkaran fonksiyonlar tektir. Yani iki rastgele değişken aynı moment
çıkaran fonksiyona sahipse aynı olasılık dağılımına sahip oldukları anlamına gelir.
Farklı moment çıkaran fonksiyona sahip iseler farklı dağılıma sahip oldukları
söylenebilir.
8
Örnek:
X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
olarak verilmiştir. X in birinci ikinci ve üçüncü momentlerini bulunuz.
Örnek:
Aşağıda bir X kesikli rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu verilmiştir.
P(x)=x/8
x=1,3,4
P(x)=0
diğer durumlarda
a) X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu bulunuz.
b) Moment çıkaran fonksiyonu kullanarak ilk iki momenti bulunuz.
9
BLM104
Olasılık ve İstatistik 10
Bu fonksiyonda t= 0 konursa M(0) = 1 olur.
Örnek:
X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
Şeklindedir.
a) X'in moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.
b) Bu fonksiyon kullanarak X rastgele değişkeninin beklenen değer ve varyansını
bulunuz.
10
BLM104
Olasılık ve İstatistik 11
parçalı integral yöntemi kullanılır,
olarak alınır.
Buradan
Bulunur.
buradan
Var(X) = E(X2) –( E(X))2 = 6-(2)2 = 2
11
Download

12. Moment Kavramı