14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları
Faktöriyeller ve kombinasyonlar
Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına,
n! denir ve
n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n
biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
gama fonksiyonu yardımıyla ispatlanmışlardır.]
Örnek 7: a) 7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040, b) (12 - 4)! = 8! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 40.320
Kombinasyon: n eleman içerisinden x tanesinin seçilme yolları
sayısını vermekte ve toplam kombinasyon sayısı,
biçiminde gösterilerek "n eleman arasından her seferinde x tanesinin
seçilmesinde kombinasyon sayısı" olarak okunmaktadır.
Örnek 8: 4 tane soru arasından 2 tanesi kaç farklı şekilde seçilir?
Çözüm:
2
Binom (iki terimli) olasılık dağılımı
Binom olasılık dağılımı, x’in kesikli rassal değişken olması
durumunda en yaygın kullanılan dağılımlardan biridir. Binom
olasılık dağılımı, n tekrarlı bir deneyde x kez istenen sonuç gelmesi
durumunda, olasılıklarının bulunması amacıyla kullanılmaktadır.
Örneğin bir fabrikada üretilen TV setlerinden 3 tanesinin seçilmesi
durumunda, bunlardan bir tanesinin arızalı olma olasılığının
bulunmasında kullanılmaktadır.
Binom olasılık dağılımının uygulanabilmesi için x değişkeninin iki
sonuçlu (kesikli) rassal değişkeninin anlamı, deneyin her tekrarından
sonra bu iki sonuçtan birinin ortaya çıkmasıdır.
Binom Deneyi
Eğer bir deney aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa bu deneye binom
deneyi denmektedir.
1. n tane özdeş deneme vardır. Yani verilen deney n kez özdeş
(aynı) koşullarda tekrarlanmaktadır.
2. Her denemenin sadece ve sadece iki sonucu vardır. Bu sonuçlara
genellikle başarı ya da başarısızlık denmektedir.
3. p başarı olasılığı, q ise başarısızlık olasılığı olmak üzere p+q=1
dir. p ve q olasılıkları her deneme için aynıdır.
4. Bir
denemenin
sonucu
öteki
denemenin
sonucunu
etkilememektedir. Yani denemeler bağımsızdır.
3
Binom Olasılık Dağılımı ve Binom Formülü
Bir binom deneyinde n denemede elde edilen başarı sayısı x ile ifade
ediliyorsa, x rassal değişkenine binom rassal değişkeni, dağılımınaysa
binom olasılık dağılımı ya da kısaca binom dağılımı denir. Binom
dağılımı, n.denemeden x başarılı sonucun elde edildiği binom
deneyinde olasılık hesaplamak amacıyla kullanılmaktadır. Burada
x’in kesikli rassal değişken olduğu unutulmamalıdır.
Binom Formülü, bir binom deneyinde, n denemeden x tane
başarılısonuç elde edilmesinin olasılığı,
binom formülüyle bulunmaktadır. Burada;
n = toplam deney sayısı, p = başarılı sonuç elde edilme olasılığı, q = 1-p
= başarısız sonuç elde edilme olasılığı, x = başarılı sonuç sayısı, n-x =
başarısız sonuç sayısıdır.
Örnek 9: Bir firma tarafından üretilen TV setlerinin % 5’inin kusurlu
(arızalı) olduğu bilinmektedir.
a) Bu firma üretilen TV setlerinden rassal üç tanesinin seçilmesi ve
kalite kontrol uzmanlarınca dikkatli bir biçimde incelenmesi
deneyi, bir binom deneyi midir?
b) Rastgele seçilmiş olan 3 TV setinden sadece bir tanesinin arızalı
olma olasılığı nedir?
Çözüm: a)
1. Bu örnekte üç tane aynı türden (özdeş) deneme vardır.
4
2. Her denemede (arızalı ve arızasız) iki sonuç vardır ve bu
sonuçlar başarı ve başarısızlık olarak değerlendirilmemektedir.
3. TV setinin arızalı (başarı) olma olasılığı p = 0.05, arızasız
(başarısız) olma olasılığı q = 0.95 olup olasılıklar toplamı 1’dir.
4. Denemeler birbirinden bağımsızdır. Çünkü incelenen herhangi
bir TV setinin arızalı olması daha sonra incelenecek olan
arızaların ya da arızasız olmasını etkilememektedir.
Bu dört koşulun sağlanması nedeniyle bu deney de bir binom
deneyidir.
c) Burada p = 0.05, q = 0.95, x = 1, n =3’dür. O zaman rastgele
seçilmiş 3 TV setinden sadece bir tanesinin arızalı olma olasılığı
elde edilir.
Örnek 10: Yüksek kalitede hizmet sunan bir kargo şirketinin,
paketlerinden sadece %2’sini belirlenen sürede yerine ulaştırmadığı
bilinmektedir. Bir müşteri 10 tane paketi bu kargo firmasına getirerek,
belirli bir sürede üzerlerinde yazılı adreslere ulaştırılmasını istemiştir.
a) Bu paketlerden bir tanesinin belirlenen sürede yerine ulaşmama
olasılığı nedir?
b) Bu paketlerden en çok bir tanesinin belirlenen sürede yerine
ulaşmama olasılığı nedir?
Çözüm:
Bu paketin yerine ulaşması başarı, ulaşmaması başarısızlık olarak
tanımlanırsa,
5
n = toplam paket sayısı = 10, p = başarılı = 0.98, q = 1-p = 0.02
değerleri yazılır.
a) Sadece bir paketin ulaşmaması durumuyla ilgilendiğinden,
x = 9 (başarılı sonuç sayısı), n-x = 10 -9 = 1 (başarısız sonuç sayısı)
değerleri de kullanılarak istenen olasılık
bulunur.
b) En çok bir paketin yerine ulaşmaması durumuyla ilgilendiğindeyse
x=0 ve x=1 olmaktadır. Bu durumda
sonucu elde edilmektedir.
Başarı Olasılığı ve Binom Dağılımının Biçimi
n deneme durumunda,
1. Eğer p = 0.50 ise binom dağılımı simetrik
2. Eğer p,
0.50’den küçük ise binom olasılık dağılımının sağa
doğru çarpık
3. p, 0.50’den büyük ise binom olasılık dağılımının sola doğru
çarpık
olduğu gösterilebilir. Bu durumlar aşağıda verilmiştir.
1. n = 4 ve p = 0.50 alınacak olursa, x olasılık dağılımı ve olasılık
dağılımının simetrik grafiği aşağıdaki gibidir.
6
x
P(x)
0
0.0625
1
0.2500
2
0.3750
3
0.2500
4
0.0625
Toplam
1.0000
Tablo 5.8. n = 4 ve p = 0.50 için x’in olasılık dağılımı
P(x)
0,4
0,3
0,2
P(x)
0,1
0
0
1
2
3
4
Şekil 5.3. x’in olasılık dağılımının grafiği
2. n = 4 ve p = 0.30 (0.50’den küçük) olarak alınacak olursa, x’in
olasılık dağılımı ve sağa doğru çarpık grafiği aşağıdaki gibidir.
7
x
P(x)
0
0.2401
1
0.4116
2
0.2646
3
0.0756
4
0,0081
Toplam
1.0000
Tablo 5.9. n = 4 ve p = 0.30 için x’in olasılık dağılımı
P(x)
0,5
0,4
0,3
0,2
P(x)
0,1
0
0
1
2
3
4
Şekil 5.4. x’in olasılık dağılımının grafiği
3. n = 4 ve p = 0.80 (0.50’den büyük) olarak alınacak olursa, x’in
olasılık dağılımı ve sola doğru çarpık grafiği aşağıdaki gibidir.
8
x
P(x)
0
0.0016
1
0.0256
2
0.1536
3
0.4096
4
0,4096
Toplam
1.0000
Tablo 5.10. n = 4 ve p = 0.30 için x’in olasılık dağılımı
P(x)
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
P(x)
0
1
2
3
4
Şekil 5.5. x’in olasılık dağılımının grafiği
Binom Dağılımının Ortalama ve Standart Sapması
Bu kesimde kesikli rassal değişkenin binom dağılımına sahip olması
durumunda, ortalama ve standart sapmanın elde edilmesinde
kullanılan, daha uygun ve basit formüller verilecektir.
9
BLM104
Olasılık ve İstatistik 10
Bir binom dağılımının ortalama ve standart sapması,
ve
biçiminde olup, burada n toplam deneme sayısı, p başarı olasılığı ve q
ise başarısızlık olasılığıdır.
Örnek 11: Yapılan bir araştırmayla bir kasabadaki erişkinlerin
%58’inin psikolojik sorunu olduğu bulunmuştur. Bu kasabadan rassal
25 erişkin seçilmiştir. x, bu örneklemdeki psikolojik sorunu olan kişi
sayısını göstermek üzere, x’in olasılık dağılımının ortalama ve
standart sapmasını bulunuz.
Çözüm: Burada başarı olarak düşünülen sonuç p = 0.58 ve q = 0.42 dir.
Yukarıda verilmiş olan formüllerden yararlanılarak
olarak kolayca bulunabilir. Bu değerlerin anlamı; seçilen 25 kişiden
2.47 standart sapmayla ortalama 14.50 tanesinin psikolojik sorunlu
olması beklenmektedir.
10
BLM104
Olasılık ve İstatistik 11
Poisson olasılık dağılımı
Fransız matematikçi Simeon D.Poisson’un adıyla anılan Poisson
olasılık dağılımı, binom dağılımı gibi x’in kesikli bir rassal değişken
olması durumunda (yaygın) kullanılan dağılımlardan biridir. Örneğin
bir kavşakta trafik kazası olması birkaç kez rastlanan bir olaydır.
Burada istenen, gelecek ay o kavşakta iki trafik kazası olması
olasılığıdır. Bu örnek Poisson dağılımına uygundur ve her kaza
olması; meydana gelme ya da tekrar olma (occurunce) biçiminde ifade
edilir.
Eğer verilen bir aralıkta tekrar sayısının ortalaması biliniyorsa,
Poisson olasılık dağılımı kullanılarak, x ile gösterilen tekrar sayısına
ilişkin herhangi bir değerin olasılığı hesaplanabilmektedir.
Poisson Olasılık Dağılımının Uygulanma Koşulları;
1. x kesikli rassal değişkendir.
2. Tekrarlar rassaldır.
3. Tekrarlar bağımsızdır.
Örnek 12:
1. Bir hastanenin acil servisine belirli zaman aralığında (bir saat,
bir gün) gelen hasta sayısı. Burada hasta gelişleri (tekrar)
rassaldır ve gelen hasta sayısı 0, 1, 2, < olabilir. Hasta gelişleri
(tekrar) bağımsızdır. Çünkü gelişler tek tektir ve gelen iki hasta
arasında ilişki yoktur.
2. Bir makinede üretilecek 100 parçadan, kusurlu parça sayısı da
Poisson dağılımına uygundur. Çünkü burada bir hacim aralığı
11
BLM104
Olasılık ve İstatistik 12
(100 parça) söz konusu olup, kusurlu parça sayıları (tekrar) rassal
ve bir parçanın kusurlu olması, bir diğerinden bağımsızdır.
3. 5 metre uzunluğunda bir demir çubuktaki hava kabarcıkları
(kusur) inceleniyor olsun. Bu örmekte aralık bir uzay aralığı olup
hava
kabarcığı
sayısı
rassaldır
ve
bu
hava
kabarcıkları
birbirinden bağımsızdır.
Poisson Olasılık Dağılım Formülü
Poisson olasılık dağılımına göre, bir aralıkta x tekrarın gözlenmesi
olasılığı,
eşitliğiyle bulunmaktadır. Burada
verilen bir aralıkta ortalama
tekrar sayısıdır. (e=2.71828)
Bir aralıktaki ortalama tekrar sayısı
, Poisson olasılık dağılımının
parametresi ya da kısaca Poisson parametresi olarak bilinir.
Örnek 13: Yapılan bir araştırmada 18-24 yaş grubundaki tüketicilerin
ayda ortalama 6.9 kez alışverişe çıktıkları bulunmuştur. Poisson
olasılık dağılımına uyduğu düşünülen rassal değişken için, 18-24 yaş
grubunun ayda 5 kez alışverişe çıkması olasılığını bulunuz.
Çözüm: Ortalama alışveriş sayısı olan 6.9 dağılımının ortalaması ve
olasılığı bulunması istenen tekrar sayısı x ise 5 alınarak istenen
olasılık değeri, Poisson dağılımı formülünden elde edilir.
12
BLM104
Olasılık ve İstatistik 13
Örnek 14: Bir çamaşır makinesi, ayda ortalama, üç kez sıkma arızası
yapmaktadır. Poisson olasılık dağılımından yararlanarak bu
makinenin gelecek ay
a) İki kez arızalanması,
b) En çok bir kez arızalanması
olasılıklarını bulunuz.
Çözüm: Ayda ortalama üç kez sıkma arızası olduğuna göre
=3 dür. Bu
durumda;
a) Gelecek ay iki kez sıkma arızası olma olasılığı;
olarak bulunur.
b) Gelecek ay, en çok bir sıkma arızası ifadesiyle, hiç arıza
olmaması ve sadece bir arıza olması kastedilmektedir.
olarak elde edilir.
Not: Poisson olasılık dağılımında
ve x ‘in aralıkları aynı olmalıdır.
Aksi takdirde eşitliğin sağlanması için
ortalamasının tekrar
tanımlanması gerekir.
Örnek 15: Bolkazanç bankasının Kızılay Şubesinde her gün ortalama
iki tane yeni hesap açtırıldığı bilinmektedir. Verilen bir günde,
a) 6 yeni hesap
b) En çok 3 yeni hesap
13
BLM104
Olasılık ve İstatistik 14
c) En az 7 yeni hesap
açtırılması olasılıklarını bulunuz.
Çözüm: Önce, formülde kullanılacak değerler tanımlanmalıdır.
Bu bilgiler ışığında Poisson olasılık dağılım formülü kullanılarak
istenen olasılıklar;
14
Download

14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları