Binom Dağılımı
Özellikleri
ve
Olasılıkların Hesaplanması
Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
Tıp Fakültesi
Biyoistatistik Anabilim Dalı
Binom Dağılımı
Sonucu ikili olarak gözlenebilen “örneğin erkek-kız,
hasta-sağlam, sağ-ölü, başarı-başarısız, tedavi var,
tedavi yok gibi…” olayların birden çok kez örneğin
2, 5, 8 kez gibi tekrarlanması sonucunda elde edilen
ikili
sonuçlardan
ilgilenilen
sonucun
toplam
sayısının uyduğu teorik dağılıma Binom dağılımı adı
verilir.
Binom Dağılımı
Örneğin radikal prostatektomi operasyonu geçiren
bir kişide operasyon sonrası lokal nüks gelişmesi ya
da gelişmemesi ikili bir sonuçtur.
Bu kişide ya lokal nüks gelişecektir ya da
gelişmeyecektir.
Binom Dağılımı
Yapılan çalışmalarda operasyon sonrası lokal nüks
gelişme olasılığı %40 olduğu saptanmış olsun. Bu
durumda lokal nüks gelişmeme olasılığı ise %60
olarak belirlenir.
Binom Dağılımı
Bu operasyonu aynı özellikte tümör yapısında olan
birden çok kişide örneğin 10 kişide uygulamayı
planlayalım.
10 kişinin 6’sında lokal nüks gelişme olasılığı nedir?
Binom Dağılımı
Bir kişide lokal nüks gelişme olasılığı 0.40 (%40)
olduğuna göre 6 kişide lokal nüks gelişme olasılığı
0.40x0.40x0.40x0.40x0.40x0.40=(0.40)6=0.004096
Kalan 4 kişide ise lokal nüks gelişmeme olasılığı ise
0.60x0.60x0.60x0.60=(0.60)4=0.1296
bulunur.
olarak
Binom Dağılımı
Bu iki durumun yani 6 kişide lokal nüks gelişiminin
ve 4 kişide ise lokal nüks gelişmemesinin aynı anda
olma olasılığı ise
(0.40)6 x (0.60)4 = 0.004096 x 0.1296 = 0.0005308
olarak bulunur.
Peki bu olasılık 10 kişinin 6’ında lokal nüks gelişme
olasılığının yanıtı mıdır?
Binom Dağılımı
(0.40)6 x (0.60)4 = 0.004096 x 0.1296 = 0.0005308
değerini
10’nun
6’lı
kombinasyon
sayısı
ile
çarpmamız gerekmektedir.
Çünkü 10 kişi içinde lokal nüks gelişen kesin 6 kişiyi
ya da diğer 4 kişiyi bilemeyiz.
Binom Dağılımı
Sonuç olarak 10 kişinin 6’sında lokal nüks gelişme
olasılığı
C(10,6) x (0.40)6 x (0.60)4 = 210 x 0.004096 x 0.1296
= 0.111476
olarak elde edilir.
Binom Dağılımı
Bu durumda binom dağılımına ilişkin olasılıkların
hesaplanması
aşağıdaki
olasılık
fonksiyonu ile elde edilir.
B(x,n,p)=c(n,x) px qn-x
yoğunluk
Binom Dağılımı
B(x,n,p)=c(n,x) px qn-x
C(n,x): Binom katsayılarını belirten kombinasyon
katsayısı.
x: Binom değişkeni ve x=0, 1, 2,…,n.
n: Deneme sayısı (X’ in en fazla gözlem sayısı)
p: Tanımlanan olayın gözlenme olasılığıdır.
q=1-p.
Binom Dağılımı
Örnek: 0-1 yaş arası çocuklarda kronik bronşit
gelişme insidansı %5 olarak bilinmektedir. Bu
amaçla yapılan bir araştırmada belli bir bölgede
tarama yapılmakta ve 0-1 yaş 20 çocuk çalışmaya
dahil edilmiştir. Acaba 3 çocukta kronik bronşit
gözlenme olasılığı nedir?
Binom Dağılımı
Bu örnekte incelenen olay 0-1 yaş arası çocuklarda
kronik bronşit gelişmesi olayıdır. Bu olay iki sonuçlu
bir olaydır, 0-1 yaş arası çocuklarda ya kroik bronşit
gelişir ya da gelişmez. Kronik bronşit gelişme
olasılığı ise %5 (0.05) olarak belirlenmiş. Bu
durumda yapılan araştırmada kronik bronşitli çocuk
sayısı binom dağılımına uymaktadır.
Binom Dağılımı
Örnekte, 20 çocuk içinde 3 çocukta kronik bronşit
görülme olasılığı sorulmaktadır.
B(x,n,p)=c(n,x) px qn-x
B(3,20,0.05)=c(20,3)(0.05)3(0.95)17=0.05958=%5.95
olarak hesaplanır.
Binom Dağılımı
Aynı örnekte, en az 3 çocukta kronik bronşit
gözlenme olasılığı nedir?
Bu durumda en az 3 çocukta kronik bronşit
gözlenme olasılığını hesaplamak için 3 ya da 3’den
daha fazla sayıda örneğin 3, 4, 5, 6,… ,20 çocukta
gözlenme olasılıklarını bulup toplamamız gerekir.
Binom Dağılımı
Bu işlem daha çok hesaplama gerektirdiğinden
daha kolay bir yaklaşım ile en az 3 çocukta kronik
bronşit gelişme olasılığını hesaplayabiliriz.
Bu yaklaşım tüm olasılıkların toplamı 1’e eşittir
kuralını içermektedir.
Binom Dağılımı
3, 4, 5, …, 20 çocukta kronik bronşit gözlenme
olasılığını hesaplayıp toplamak yerine 0, 1 ve 2
çocukta kronik bronşit gelişme olasılığını bulup, bu
olasılıkları toplayıp 1’den çıkardığımız zaman en az
3 çocukta kronik bronşit gelişme olasılığını bulmuş
oluruz.
Binom Dağılımı
20 çocuk içinde 0, 1 ve 2 çocukta kronik bronşit
görülme olasılıkları;
B(0,20,0.05)=c(20,0) (0.05)0 (0.95)20= 0.358486
B(1,20,0.05)=c(20,1) (0.05)1 (0.95)19= 0.377354
B(2,20,0.05)=c(20,2) (0.05)2 (0.95)18= 0.188677
olarak hesaplanır.
Binom Dağılımı
Bu olasılıkların toplamı;
0.358486 + 0.377354 + 0.188677= 0.924517
olarak elde edilir.
Bu değeri 1’den çıkardığımızda
1-0.924517=0.075483 yaklaşık olarak %7.5 elde
edilir. Bu değer en az 3 çocukta kronik bronşit
gözlenme olasılığını vermektedir.
Binom Dağılımı
Kronik bronşit örneğine ait
Binom dağılımının
grafiksel gösterimi aşağıdaki grafikte görülmektedir.
Binom Dağılımı
Olasılık değerini 0.05’den 0.20’ ye çıkardığımız
zamanki Binom dağılımı.
Binom Dağılımı
Olasılık değerini 0.05’den 0.50’ ye çıkardığımız
zamanki Binom dağılımı.
Binom Dağılımı
Olasılık değerini 0.05’den 0.95’ye çıkardığımız
zamanki Binom dağılımı.
Binom Dağılımı
Olasılık değeri %50 olduğunda Binom dağılımı
simetrik bir dağılım şekline dönüşüyor. Bu simetrik
yapı
Normal
dağılıma
yakınsama
olarak
adlandırılmaktadır. Eğer olasılık değeri %50’den
büyük ya da küçük değerler aldığında Binom
dağılımı çarpık bir dağılım şeklini almaktadır.
Download

Binom Dağılımı - anadolu üniversitesi eczacılık fakültesi