Poisson Dağılımı
Özellikleri
ve
Olasılıkların Hesaplanması
Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
Tıp Fakültesi
Biyoistatistik Anabilim Dalı
Poisson Dağılımı
Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom
dağılımından sonra yaygın olarak kullanılan bir
dağılımdır.
Az gözlenen olaylarla ilgili bir dağılımdır.
Poisson Dağılımı
Örnek 1: Tifo hastalığından belirlenen bir zaman
aralığında, örneğin 1 yıllık bir zaman aralığı içinde
olsun, hayatını kaybedenlerin sayısını düşünelim.
Günümüzde
tifodan
hayatını
kaybetmek
az
rastlanan bir durumdur. Yani az gözlenen bir
olaydır.
Poisson Dağılımı
Bu örnekte zaman aralığını bir gün olacak şekilde
düşünürsek, bir günlük bir zaman aralığında tifodan
yeni bir ölümün gerçekleşme olasılığı oldukça küçük
olacaktır.
Poisson Dağılımı
Bu durumda farklı iki zamanda meydana gelen
tifodan ölüm olayları bağımsız olacağından, bir
yıllık zaman aralığında rapor edilen tifodan
ölümlerin sayısı Poisson dağılımı gösterir.
Poisson Dağılımı
Örnek 1, belirlenen bir zaman aralığında meydana
gelen ve az gözlenen bir olaya ait bir örnekti.
Poisson dağılımda bazı durumlarda zaman aralığı
yerine belli bir yüzeye ait alan da kullanılmaktadır.
Poisson Dağılımı
Örnek 2: Bir AGAR PLATE’te (Petri Kabı) gelişen
bakteri kolonilerinin sayısını düşünelim. Agar su
yosunlarından elde edilen bir tür jelatindir. Kelime
olarak Malayca "jel" anlamına gelen "agar-agar"
kelimesinden
gelmektedir.
Agar
tıp
mikrobiyolojik testlerde kullanılmaktadır.
alanında
Poisson Dağılımı
Poisson Dağılımı
Örnek 2: Örneğin 100 cm2 alana sahip bir agar
plate üzerinde küçük bir alanda bakteri kolonisi
gelişmesi
başka
bir
alanda
kolonisinden bağımsız olacaktır.
gelişen
bakteri
Poisson Dağılımı
Alan küçüldükçe o alanda bakteri kolonisi gelişme
olasılığı da azalacaktır. Sonuçta tüm alan üzerinde
gelişen bakteri koloni sayısı Poisson dağılımı
gösterir.
Poisson Dağılımı
Örnek 1’de belirtilen durumu tekrar inceleyelim.
Tanımlanan zaman dilimini t ile gösterelim (t= 1 yıl
ya da t=20 yıl olabilir). Bu zaman diliminin daha
küçük zaman aralıklarını ∆t ile gösterelim.
Bu durumda 3 varsayım karşımıza çıkmaktadır.
Poisson Dağılımı
Varsayım 1. Ölüm gözlenme olasılığı zaman
aralığının uzunluğu ile oransaldır. Başka bir
anlatımla zaman aralığı arttıkça ölüm meydana
gelme olasılığı artmaktadır.
Poisson Dağılımı
P(Tifodan 1 ölüm meydana gelmesi) ≈ λ∆t
Burada λ tanımlanan zaman aralığı t’de beklenen
olay sayısıdır.
Poisson Dağılımı
Varsayım 2. ∆t zaman diliminde 0 ölüm gözlenme
olasılığı yaklaşık olarak 1-λ∆t’ ye eşittir.
P(Tifodan 0 ölüm meydana gelmesi) ≈ 1-λ∆t
Poisson Dağılımı
Varsayım 3. ∆t zaman diliminde 1 ölümden daha
fazla ölüm gözlenme olasılığı yaklaşık olarak 0’a
eşittir.
P(Tifodan 1 ölümden fazla ölüm meydana gelmesi) ≈ 0
Poisson Dağılımı
Bu tanımlamalar ve varsayımlar altında Poisson
dağılımı aşağıdaki eşitlikteki gibi elde edilir.

e 
P( x) 
x!
x
Poisson Dağılımı

e 
P( x) 
x!
x
Bu eşitlikte;
µ:
İncelenen
bir
olayın
belirlenen
zaman
aralığındaki beklenen gözlenme sayısıdır ve µ =λt,
x=0, 1, 2,… olmak üzere gözlenen olay sayısıdır,
e=2.71828’dir.
Poisson Dağılımı
Poisson dağılımı tek bir parametreye bağlıdır µ=λt.
Burada λ, tanımlanan t zaman diliminde beklenen
olay sayısıdır. Ancak µ ise belirlenen bir zaman
aralığındaki
beklenen
olay
sayısıdır.
Burada
belirlenen zaman dilimi, tanımlanan t zaman
diliminden küçük, eşit ya da büyük olabilir.
Poisson Dağılımı
Tekrar Örnek 1’e dönelim. Tanımlanan zaman
aralığı t=1 yıl olsun. Bir yıllık zaman aralığı için
beklenen ölüm sayısı 4.6 olsun. Bu durumda λ=4.6
olmaktadır.
3 ve 6 aylık zaman aralıkları için Poisson dağlımı
olasılık fonksiyonu nedir?
Poisson Dağılımı
3 aylık zaman aralığı için t=0.25 yıl olarak belirlenir.
Çünkü 3 aylık zaman aralığı tanımlanan t=1 yıl olan
zaman aralığının dörtte biridir.
Bu durumda belirlenen 3 aylık zaman dilimi için
beklenen olay sayısı
µ =λt eşitliğinden yararlanarak
µ =(4.6)(0.25)=1.15 olarak elde edilir.
Poisson Dağılımı
3 aylık zaman aralığı Poisson dağılımı olasılık
fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir.
P( x) 
e
1.15
(1.15)
x!
x
Poisson Dağılımı
6 aylık zaman aralığı için t=0.5 yıl olarak belirlenir.
Çünkü 6 aylık zaman aralığı tanımlanan t=1 yıl olan
zaman aralığının yarısıdır.
Bu durumda belirlenen 6 aylık zaman dilimi için
beklenen olay sayısı
µ =λt eşitliğinden yararlanarak
µ =(4.6)(0.5)=2.3 olarak elde edilir.
Poisson Dağılımı
6 aylık zaman aralığı Poisson dağılımı olasılık
fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir.
P( x) 
e
2.3
(2.3)
x!
x
Poisson Dağılımı
1 yıllık zaman aralığı için µ=λ olacaktır. Bu durumda
Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi
elde edilir.
P( x) 
e
4.6
(4.6)
x!
x
Poisson Dağılımı
Tekrar Örnek 1’e dönelim.
Tanımlanan zaman aralığı
t=1 yıl.
Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı
λ=4.6.
Bu durumda 9 aylık bir zaman aralığında tifodan 3
ölüm meydana gelme olasılığı nedir?
Poisson Dağılımı
Belirlenen
zaman
aralığı
9
ay
olduğundan
t=9/12=0.75
olarak elde edilir. Bu durumda belirlenen zaman
aralığında
beklenen
µ=(4.6)(0.75)=3.45
olarak elde edilir.
ölüm
sayısı
ise
Poisson Dağılımı
Bu durumda 3 ölüm meydana gelme olasılığı
%21.73 olarak hesaplanır.
P(3) 
e
3.45
3
(3.45)
 0.2173  %21.73
3!
Poisson Dağılımı
Tekrar Örnek 1’e dönelim.
Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl.
Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı
λ=4.6
Bu durumda 3 aylık bir zaman aralığında tifodan
en az 4 ölüm meydana gelme olasılığı nedir?
Poisson Dağılımı
Belirlenen
zaman
aralığı
3
ay
olduğundan
t=3/12=0.25
olarak elde edilir. Bu durumda belirlenen zaman
aralığında
beklenen
µ=(4.6)(0.25)=1.15
olarak belirlenir.
ölüm
sayısı
ise
Poisson Dağılımı
Bu durumda en az 4 ölüm meydana gelme
olasılığını hesaplamak için 0, 1, 2 ve 3 ölüm
meydana
gelme
olasılıklarını
hesaplayıp
bu
olasılıkların toplamını 1’den çıkarmak gerekecektir.
Poisson Dağılımı
e 1.15 (1.15) 0
P(0) 
 0.317
0!
e 1.15 (1.15)1
P(1) 
 0.364
1!
e 1.15 (1.15) 2
P(2) 
 0.209
2!
e 1.15 (1.15)3
P(3) 
 0.080
3!
En az 4 ölüm meydana gelme olasılığı aşağıdaki gibi
elde edilir.
P( x  4)  1  (0.317  0.364  0.209  0.080)  0.030
Poisson Dağılımı
Örnek 2’e dönelim.
1 cm2 alanda beklenen bakteri koloni sayısı 0.02
olsun.
Bu
örnekte
zaman
yerine
alan
tanımlanmıştır. Alanı yine t ile gösterecek olursak,
tanımlanan alan t=1 cm2. Bu durumda λ=0.02
olmaktadır. Bu durumda 100 cm2 bir alanda 3
bakteri kolonisi gelişme olasılığı nedir?
Poisson Dağılımı
100 cm2 alan t=100 olarak belirlenir. Çünkü
tanımlanan alanın 100 katıdır.
Bu durumda belirlenen 100 cm2 alan için beklenen
koloni sayısı
µ=λt eşitliğinden yararlanarak
µ=(0.02)(100)=2
olarak elde edilir.
Poisson Dağılımı
Bu durumda 100 cm2 alanda 3 bakteri kolonisi
oluşma olasılığı %18 olarak aşağıdaki şekilde
hesaplanır.
2
3
e (2)
P(3) 
 0.180  %18
3!
Poisson Dağılımı
Örnek 1’e ait 3 aylık zaman aralığı için Poisson dağılımı.
Poisson Dağılımı
Örnek 1’e ait 6 aylık zaman aralığı için Poisson dağılımı.
Poisson Dağılımı
Örnek 1’e ait 1 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı.
Poisson Dağılımı
Örnek 1’e ait 5 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı.
Poisson Dağılımı
Örnek 1’e ait 10 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı.
Poisson Dağılımı
Grafikler incelendiğinde belirlenen zaman aralığı
arttıkça ve buna bağlı olarak beklenen olay sayısı
arttıkça Poisson dağılımı beklene olay sayısı
etrafında simetrik bir dağılım şeklini almaya
başlıyor ve normal dağılıma yakınsıyor.
Download

Poisson Dağılımı - anadolu üniversitesi eczacılık fakültesi