13. Olasılık Dağılımlar
Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken
büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli
fonksiyon bulunmaktadır. Ne var ki seçilen fonksiyon yani teorik dağılım ilgili rasgele
değişkene ilişkin deneysel dağılımı (histogram) olabildiğince gerçekçi biçimde
yansıtmalıdır
Bu bağlamda, örneğin bir sürekli X rasgele değişkenine ilişkin f(x) fonksiyonunun
yalnızca biçiminin tahmin edilmiş olmasının, fonksiyona ilişkin eğrinin altında kalan
alanlarla
belirlenen
olasılıkların
hesaplanmasını
sağlamayacağı
göz
önünde
bulundurulmalıdır. Çünkü söz konusu alanların hesaplanabilmesi için anılan eğrinin
denkleminin de belirlenmiş olması gerekir.
Olasılıksal problemlerin çözümünde ise. model (fonksiyon) belirlendikten sonra.
modele ilişkin parametreler, örnekleme sonucu sağlanan istatistiksel verilerle tahmin
edilir: örnek ortalama değeri, örneğin standart sapması gibi. Bu bağlamda en uygun
modelin seçimi, varolan fonksiyonların özelliklerinin çok yakından
bilinmesini
gerektirir. Özetle model konusunda en uygun kararın verilmesi, mühendisin bu
konudaki bilgisine, deneyimine ve mühendislik sezgisine bağlıdır.
Mühendislik alanında karşılaşılan rasgele değişkenlerin deneysel dağılımlarının
çoğunu çok yakından betimleyen çözümsel modellerin başlıcaları;
Normal dağılım
Lognormal dağılım
Binom dağılımı
Poisson dağılımı
Üssel dağılım
Gamma dağılımı
2
Khi-kare dağılımı
Geometrik dağılım
t tağılımı
F dağılımı
Üniform dağılım
Beta dağılım
Weibull dağılımı
Normal dağılım (Gauss dağılımı)
İstatistiğin tüm alanlarında rastlanan geniş ölçüde kullanılan en önemli sürekli olasılık
dağılımı normal dağılımdır. Doğada, sanayide, bilimsel araştırmalarda ve tüm
mühendislik alanlarında karşılaşılan rasgele değişkenlerin deneysel dağılımlarının
pek çoğunun yapısına uyar. Dağılımın normal eğri terimiyle adlandırılan grafiği çan
biçimindedir.
Normal
değişkenin
olasılık
dağılımını
parametreye bağlı değişir: ortalama değer
tanımlayan
matematiksel
.ve standart sapma
bağıntı
iki
.
Normal dağılımın Özellikleri:
3
 X ekseni ile normal eğri arasında kalan alan bire eşittir.
 Normal dağılım ortalamaya göre simetriktir.
Normal dağılımda: değerlerin % 68.26 sı
aralığında ve % 99.74 ü
aralığında, % 95.44 ü
aralığında yer almaktadır.
4
 Normal dağılım simetrik olduğundan çarpıklık katsayısı sıfırdır
 Normal dağılımın basıklık katsayısı 3 dür.
 Eklenik dağılım fonksiyonu doğrusal bir çizgidir.
 Dağılım simetrik olduğundan ortalama, mod ve medyan değerleri eşittir.
Standart Normal Dağılım
Standart normal dağılım, normal dağılımın µ=0 ve σ=1 olduğu özel bir durumdur.
Standart normal dağılımda rassal değişken z ile gösterilmektedir. Standart normal
dağılımın birimi olan z değerlerine z skorları, standart birimler ya da standart skorlar
da denir.
z Değerleri
Standart normal eğrinin yatay ekseni üzerinde işaretlenmiş birimlere z değerleri ya da
z skorları denir. Yatay eksen üzerindeki bir noktanın z değeri, ortalamayla o nokta
arasındaki uzaklığın standart sapma cinsinden değeridir. Örneğin, z=2’nin anlamı,
sağ tarafta o noktanın ortalamaya iki standart sapma uzaklıkta olduğudur. Aynı
biçimde z=-2 ‘nin anlamıyla sol tarafta yine iki standart sapma uzaklıkta olduğudur.
Tablo 13.1’de verilmiş olan standart normal dağılım tablosu, standart normal eğri
altında; z=0 ile 0.00’dan 3.4‘e kadar olan z değerleri arasındaki alanları vermektedir.
Bu tablonun okunmasına, standart normal dağılımın ortalaması olan z=0 noktasından
başlanmaktadır. Daha önce de söz edildiği gibi, normal dağılım eğrisi altındaki toplam
alan 1.0’ dir ve simetrik nedeniyle ortalamanın her iki tarafındaki alan da 0.5 yani %
50’ dir.
5
Normal dağılımın parametreleri olan
ve
değerlerinin tanım aralıklarının gereği
olarak. teorik olarak, sonsuz sayıda normal dağılım düşünülebilir. İstatistikte normal
dağılıma sahip bir X değişkeninin belirli bir değere eşit veya daha küçük, belirli bir
değere eşit veya daha büyük yada belirli iki değer arasındaki değerleri alma
olasılıklarının hesaplanması sık gereksinim duyulan bir durumdur. Sözü edilen bu
olasılıkların hesaplanması için integral işlemi gereklidir. Ancak teorik olarak sonsuz
sayıda olan normal dağılımlardan sadece bir tanesi için integral değerlerinden
bazıları hesaplanarak tablo halinde yayınlanmıştır. Bu tablolar ortalaması sıfır ve
standart sapması bir olan normal dağılım için hazırlanmıştır.
ve
olan
normal dağılım standart normal dağılım olarak bilinir
.
Standart normal dağılmış olan Z sürekli değişkenine ait olasılıkların standart normal
dağılım tablosundan bulunması:
Örnek 1: Z standart normal değişkeninin 1.06 ya eşit veya daha küçük değerler alma
olasılığı nedir?
Örnek 2; Z standart normal değişkeninin 3.25 değerine eşit veya daha büyük
değerler alma olasılısı nedir?
6
Örnek 3; Z standart normal değişkeninin
-0.19 değerine eşit veya daha küçük
değerler alma olasılığı nedir?
Örnek 4; Z standart normal değişkeninin 1.02 ve 2.12 veya bu aralıktaki değerlen
alması olasılığı nedir ?
Örnek 4; Z standart normal değişkeninin 1.02 ve 2.12 veya bu aralıktaki değerleri
alması olasılığı nedir ?
Tablo 13.1: Standart normal dağılım tablosu ve z değerleri
7
8
Standart
normal
dağılım
dışındaki
normal
dağılımlar
için
alan
hesaplamalarında kullanılacak hazır tablolar yoktur. Ancak her normal dağılım,
doğrusal dönüştürmesi ile standart normal dağılıma dönüşür.
Bu dönüştürmeden
olasılık hesaplarında standart normal dağılım tablosundan faydalanılır.
Örnek 5; X değişkeni ortalaması 100 ve varyansı 144 olan bir normal dağılım
göstermektedir. Rassal olarak seçilecek bir birimin değerinin 112 yada daha küçük
olma olasılığı nedir ?
Örnek 6; Bir beton kütlesini göz önüne alalım. X betonun basınç mukavemeti olsun.
İstatistiksel deneyler sonucu normal dağılım parametreleri
32 MPa ve
MPa
tahmin edilmiş bulunsun. Bu bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplandıralım.
a) Beton basınç mukavemetinin 25 MPa ile 40 MPa arasında değer alması olasılığı
ne olur?
P(25< X < 40) = P(Z < (40-32)/3) - P(Z < (25-32)/3) = P(Z < 2.67) - P(Z < -2.33)
Tablodan;
P(Z < 2.67) - [1- P(Z < 2.33)] = P(25< X < 40) = 0.0062 -[1- 0.9900] = 0.9863
9
b) mukavemetin en az 20 MPa olması ihtimali nedir?
P(X> 20) = 1 - P(Z< (20 -32)/3) = 1 - P(Z< -4) = 1- [1- P(Z<4)]= 0.9999
Kaynaklar
BAÜ Müh-Mim Fak.
İstatistik Dersi
Dr. Banu Yağcı
10
Download

13. Olasılık dağılımlar