Olasılık
•
Olasılık: Bir deneme sonrasında ortaya çıkabilecek tüm olaylar
içinde ilgilenilen olayın gözlenme oranı
•
Herhangi bir a olayının olma olasılığı P(A) olarak gösterilir.
k: İstenen sonuçları sayısı
k
P (A) =
h: Örneklem uzayındaki tüm sonuçların sayısı
h
0 ≤ P(A) ≤ 1
•
Olasılık kuramı istatistiksel işlemlerin temelini oluşturur.
– İstatistikte kesinlik yerine her bir olayın olma olasılığı ve
tahminlerde yapılacak hata paylarından bahsedebiliriz.
Standart Normal Dağılım
• Matematiksel bir formül ile betimlenebilen
kuramsal bir dağılımdır.
f ( x) =
1
2πσ 2
−
.e
( X −µ )2
2σ 2
• Ünlü matematikçi Carl Friedrich Gauss’un (18.-19. yy) çalışmalarına
ithafen Gaussien dağılım olarak ta adlandırılır.
• Evrenlerde değişkenlerin çoğunun normal dağılım gösterdiği kabul edilir.
• Örneklemlere ait dağılımlarda ise normal dağılımı elde etmek imkansızdır.
• Sadece normale yakın dağılımlar elde edilebilir.
Standart Normal Dağılım
Örneklem büyüklüğünün arttıkça dağılımın şekli nasıl değişmektedir?
Bir örnekleme ait dağılımın normal dağılıma yakın davranış göstermesi için
örneklem boyutu en az kaç olmalıdır?
Normal Dağılım Eğrisi
1. Merkezi eğilim ölçülerinin hepsinin değeri birbirine eşittir.
• Ortalama = Medyan = Mod
2. Ortalama etrafında dikey eksene (y eksenine) göre simetriktir.
3. Dağılım tek modludur.
4. Dağılımın her iki ucu da giderek yatay eksene yaklaşır ama hiçbir
zaman yatay ekseni kesmez.
• Normal dağılım eğrisi altındaki alan sonsuzdur.
• Eksi sonsuz ile artı sonsuz arasında her olayın gerçekleşme
olasılığı vardır.
• Hiçbir olayın olma olasılığı sıfır değildir.
Normal Dağılım Eğrisi
• Bir dağılımın normal olup olmadığına bakmak için
Ortalama = Medyan = Mod kontrol edilir.
Çarpıklık Katsayısı = 0 kontrol edilir.
-1<Ç.K.<1 şartı sağlanıyorsa dağılım normal kabul edilebilir.
Grafiksel gösterimlerle (histogram, gövde yaprak diyagramı vb.)
görsel olarak ta karar verilebilir.
Yukarıdaki koşullarda mükemmel sonuç yerine bazı kriterler dikkate
alınıp yaklaşık kararlar verilebildiği için en sağlıklı karar için ileri
düzey istatistiksel testler uygulanabilir.
Normal Dağılım Eğrisi Altındaki Alan
• Normal dağılım altındaki alan herhangi bir noktanın ortalamadan
uzaklığına göre hesaplanabilir.
• Aşağıda iki farklı istatistik sınavına girmiş iki sınıfın not dağılımları
verilmiştir. Grafiklerde ismi geçen 4 öğrenci arasında hangi
karşılaştırmalar yapılabilir? Hangi karşılaştırmalar yapılamaz?
• Bu öğrencileri doğru biçimde karşılaştırabilmek için neler bilinmelidir?
Standart Puanlar
• Farklı ortalama ve standart sapmalara sahip dağılımlar arasından
grup ortalamalarını veya bireysel puanları karşılaştırmak zordur.
• Puanları anlamlı bir biçimde karşılaştırabilmek için puanların aynı
birimler cinsinden ifade edilmesi gerekir.
– Puanlar standart hale getirilmelidir.
• Standart puanlar, normal dağılım eğrisi için tanımlanmış
olduğundan herhangi bir puan için bireyin gruba göre başarısı
matematiksel olarak karşılaştırılabilir.
• İstatistiksel çalışmalarda en yaygın kullanılan standart puanlar
z puanı
T puanı
z Puanı
• Ham verilerin ortalamasının sıfır ve standart sapmasının 1
olduğu dağılımdan elde edilen puanlardır.
Ham Puan − Ortalama
z=
Standart Sapma
(
X −X)
z=
s
z Puanı
• Herhangi bir puana ait z puanı, bu puanın ortalamaya göre
konumunu belirlememizi sağlar.
• Z puanları sayesinde ortalaması ve standart sapması bilinen
bir dağılımda, herhangi bir puanın dağılımın kaçıncı
yüzdesinde olduğu hesaplanabilir.
• Bu sayede aynı veya farklı gruplar arasında karşılaştırmalar
yapılabilir. Bunun için;
Öncelikle verilen ham puanlar (X), z puanına çevrilmeli ve
karşılaştırmalar z puanı cinsinden yapılmalıdır.
z Puanı
Örnek: Bir öğrencinin 4 dersten aldığı notlar, ders ortalamaları ve
standart sapmaları verildiğine göre öğrencinin sınıfa göre başarılı
olduğu dersler sırası nasıldır?
Ders
Öğrenci
Puanı
Sınıf
Ortalama
Standart
Sapma
Matematik
90
70
8
Türkçe
70
75
5
Fen
85
65
10
İstatistik
70
65
10
z
Sıra
Standart Normal Dağılım Eğrisi Altındaki
Alan Tablosu (s. 246)
• z değerleri yoluyla herhangi bir değer ile ortalama arasındaki alanı
(olasılık) verir.
• Normal dağılım simetrik olduğundan, tablodaki değer |z|’ye göre
bulunur.
• z değeri ile ortalama arasındaki alanı tablodan bulmak için:
• z değerinin birler ve onda birler basamağı tablonun 1. sütununda
bulunur ve bulunan değerin olduğu satır işaretlenir.
• z değerinin yüzde birler basamağı tablonun diğer sütunlarından
bulunarak işlem yapılan satır üzerinde tespit edilir.
Z değerindeki yüzde birlikler
Z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
,0040
(0,01)
,0
,1
,1141
(0,29)
,2
,3
,4
,2157
(0,57)
,5
,6
,7
,8
,9
1,0
,3413
(1,00)
1,1
1,2
,3907
(1,23)
Örnek
a)
b)
c)
z = 1,36 ile ortalama arasındaki alan=?
P (z>1,36)=?
P (z<1,36)=?
İki Farklı z Değeri Arasındaki Alan
• Z= 1,29 ile z= 3,21 arası alan, P (1,29 < z < 3,21)=?
• Z= -2,75 ile z= -0,48 arası alan, P (-2,75 < z < -0,48)=?
• Z= -1,20 ile z= 1,22 arası alan, P (-1,20 < z < 1,22)=?
Örnek:
• İstatistik sınavı puanları ortalaması 68 ve standart sapması 12 ile
normal bir dağılım gösterdiğine göre bu sınavdan 77 ve 55 alan iki
öğrencinin başarısı hakkında ne söylenebilir?
Öğrenci 1:
Öğrenci 2:
Örnek:
IQ puanları insanlar arasında ortalaması 100 ve standart sapması 10
olan normal bir dağılım gösterir. Rastgele seçilen birisinin IQ puanının
aşağıdaki olasılıklarını hesaplayınız.
a) 88’den küçük, P(X<88)=?
b) 98’ten büyük, P(X>98)=?
c) 112’den büyük, P(X>112)=?
Örnek (s. 77; soru:10)
Büyük bir sınıfta öğretmen, sınavdan A alınabilmesi için sınıfın en iyi
%10’luk grubuna girilmesi gerektiğini söylemiştir.
Bu sınav için ortalama ve standart sapmanın daha önceki tecrübelere
göre 72 ve 13 olacağı kabul edilmiştir.
Bir öğrencinin A alabilmesi için gereken minimum puan ne olmalıdır?
(Puanlar normal dağılım gösterecektir)
T Puanı
• z puanı kullanılarak hesaplanır.
T = 10.z + 50
• T puanlarında dağılımın hemen hepsi pozitif değerlerle tanımlanır.
Ortalama = 50
Standart Sapma = 10
Örnek:
Yapılan bir istatistik sınavı sonrası T puanları 78, 54 ve 43 olan
öğrencilerin başarılarını yorumlayınız.
Öğrenci
1
2
3
T
78
54
43
Örnek
• Rastgele seçilmiş ve boy uzunlukları normal olarak dağılan 60 lise
öğrencisinin, boy ortalaması 162 cm ve dağılımın standart sapması 6 cm
ise:
i. Boyu 170 cm olan Ali diğer öğrencilerin kaçından daha kısadır?
ii. Boyu 149 cm olan Gül diğer öğrencilerin kaçından daha kısadır?
iii. Bu öğrencilerden kaçının boyu Ali ile Gül arasındadır?
iv. Bu 60 öğrenci arasında Can’dan uzun sadece 9 kişi varsa Can’ın boy
uzunluğu en fazla kaç cm olabilir?
v. Basketbol takımına girebilmek için diğer öğrencilerin en az %30’undan
uzun olma şartı varsa bu öğrenciler arasında takıma girebilecek en kısa
boylu oyuncu ne kadar uzun olmalıdır?
vi. Bu örnekte hesaplama yapılan tüm kişilere ait T puanlarını hesaplayınız
Cevaplar
Download

Normal Dağılım ve Standart Puanlar