Yaygınlık Ölçüleri
Bir dağılımdaki değerlerin ortalamaya olan
uzaklıkları farklılıklar gösterir.
Bu farklılıkların derecesi dağılımın
yaygınlığı kavramını oluşturur. İki dağılım
aynı ortalama, ortanca ya da tepe değerine
sahipken yaygınlıkları farklı olabilir.
Dağılım I
6
1
6
15
6
2
Dağılım II
X 6
Ortanca
6
Tepe D.  6
X
3
7
6
5
6
9
X 6
Ortanca
6
Tepe D.  6
Dağılım I’deki değerlerin aritmetik ortalamaya
olan uzaklığı dağılım II’ye göre daha fazladır.
Dağılım I dağılım II’ye göre daha yaygındır.
Dağılımların yaygınlığı hakkında
bilgi veren ve en çok kullanılan
ölçüler
* Dağılım Aralığı
* Standart Sapma
* Varyans
* Çeyreklikler Arası Genişlik
* Çeyrek Sapma
Dağılım Aralığı
Dağılım aralığı en basit yaygınlık
ölçüsüdür.
Dağılımdaki en büyük değerden en küçük
değerin çıkartılması ile bulunur.
R ile gösterilir
R= En Büyük Değer-En Küçük Değer
Dağılım aralığı dağılımdaki diğer değerlerden
oldukça farklı değerler alan aşırı değer(ler)den
etkilenir.
Dağılımda yalnızca 2 gözleme ilişkin değer dikkate
alındığı için kaba bir yaygınlık ölçüsüdür.
Gözlemlerin çoğunun en büyük yada en küçük
değere yakın olduğu durumlarda da gerçek
değişkenlik hakkında bilgi vermez.
Standart Sapma
Bir dağılımın yaygınlığını gösteren en önemli
yaygınlık ölçülerinden biridir.
Dağılımdaki tüm değerlerin aritmetik ortalamaya
olan uzaklıklarının ortalamasıdır.
Standart sapma büyüdükçe dağılımın yaygınlığı
artar. Dağılımdaki değerler aynı ise yaygınlık yoktur
ve standart sapma sıfırdır. Standart sapma
hesaplanırken dağılımdaki tüm değerler dikkate
alınır. Standart sapmanın, ortalama ölçüsü olarak
aritmetik ortalama kullanıldığında bir yaygınlık
ölçüsü olarak kullanılması önerilmektedir.
Çarpık dağılımlarda kullanılması önerilmez.
Standart sapma s ile gösterilir. Sınıflandırılmış
ve sınıflandırılmamış verilerde farklı formüllerle
hesaplanır.
Sınıflandırılmamış verilerde standart sapma
n

s 
i 1


   xi 
 i 1

n 1
n
x
2
i
2
Örnek:Yukarıda ortalama, ortanca ve tepe
değerleri aynı olan dağılımların standart
sapmasını hesaplayalım.
Dağılım I için Standart Sapma
n

x
i 1
2
i
6
  x i  6  1  6  15
2
   x i 
 i 1 
6
338 
s 
2
2
2
2
6  2
2
2
 338
i 1
  x 
i
 i 1 
n
2
( 36 )
6
6 1
2
  6  1  6  15  6  2   36
2
2
 1296
2
 4 , 94
Bu dağılımdaki değerler aritmetik ortalama
etrafında ortalama ±4,94 birimlik
değişkenliğe sahiptir.
Dağılım II için Standart Sapma
n

x
i 1
2
i
6
  xi  3  7
2
2
6
2
5 6
2
2
9
2
 236
i 1
n
 
x i 
 i 1 
2
6

   x i 
 i 1 
236 
s 
2
( 36 )
6
6 1
2
 3  7  6  5  6  9   36
2
2
 1296
2
 2
Bu dağılımdaki değerler aritmetik ortalama
etrafında ortalama ± 2 birimlik değişkenliğe
sahiptir. Buna göre ikinci dağılımın yaygınlığı
birinciye göre oldukça düşüktür.
Sıklık Tablosu Hazırlanmış
Verilerde Standart Sapma
 fb
S c
S c



2 f b
2


fb 
n
n 1
2
fb 
2
n
n 1
Varyans
Standart sapmanın karesine
varyans denir (s2). Varyansın
birimi karesel olduğu için
yaygınlık ölçüsü olarak veriyi
tanımlamakta pek kullanılmaz.
Standart Hata
Örneklem hatası olarak ifade edilebilir.
Aritmetik ortalama standart hata ile birlikte
verilmelidir. Sınıflanmamış ve sınıflandırılmış
verilerde aynı formüls ile hesaplanır.
x
s
x


s
n
s
n
Değişim Katsayısı (DK)
Standart sapma bir dağılımın yaygınlığını
gösteren ölçülerden birisidir. Ancak standart
sapmanın büyüklüğüne bakarak bir dağılımın
yaygınlığı konusunda yargıya varmak güçtür.
İki ya da daha fazla dağılımın yaygınlığını
karşılaştırmak istediğimizde standart sapmayı
doğrudan kullanamayız.
Dağılımın yaygın olup olmadığına karar
verebilmek için değişim katsayısını
hesaplamalıyız.
Değişim katsayısı dağılımdaki değerlerin
ortalamaya göre yüzde kaçlık bir değişim
gösterdiğini belirtir.
DK 
s
x
 100
DK’nın sıfıra yaklaşması dağılımın yaygınlığının
azaldığını gösterirken DK’nın %25’in üzerinde olması
incelenen dağılımın oldukça yaygın olduğunu gösterir.
Dağılım I
DK 
4 ,94
6
 100  82 ,3
Dağılım II
DK 
2
 100  33 . 3
6
Dağılım I’deki değerler ortalamaya göre
%82,3’lük bir değişim gösterirken,
dağılım II’deki değerler %33,3’lük bir
değişim göstermektedir.
Evren Ortalaması Güven Sınırı
Evreni incelemek çoğu zaman mümkün
olmadığından Evrenin, seçilen örneklemden elde
edilen ortalama ve standart hata yardımı ile belirli
bir olasılık düzeyinde güven sınırları saptanabilir.
x
s
x
t    x
s
x
t
t  1, 96 (  0 , 05 düzeyindek i t tablo )
Download

Yaygınlık ölçüleri