BENZETİM
Prof.Dr.Berna Dengiz
7. Ders
BENZETİM
İSTATİSTİK TEKRARI
 Olasılık ve istatistik bilgisine;
•
•
•
•
Giriş olasılık dağılımının belirlenmesinde
Bu dağılımlardan rassal değişken üretiminde
Benzetim modelinin geçerliliğinde
Benzetim çıktısının istatistiksel analizinde ve
• Benzetim deney tasarımında
ihtiyaç duyulmaktadır.
 Bu nedenle kullanılacak istatistik bilgileri ve notasyonlar
burada kısaca hatırlatılacaktır.
BENZETİM
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bir deney çıktısı rassal değişken olarak tanımlanır.
Bir deney sonucu çıktı olarak adlandırılır.
Bir deneyin mümkün tüm çıktıları örnek uzayı ( ) olarak
tanımlanır.
Bir olay (örnek uzayının) alt setidir.
A  B = ( w € : ( w € A veya w € B )
AB=(w€
: ( w € A veya w € B )
A  B = 0 ise A ve B ayrık ( birlikte ortaya çıkmayan)
olaylardır.
BENZETİM
8.
• A herhangi bir olay olduğunda 0 P(A) 1
• P( ) = 1
• A1,A2,……. ayrık olaylar seti için;
P(A1  A2 …..) = P(A1) + P(A2)+ ……..
Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.
BENZETİM
Kesikli bir rassal değişken; sonlu ya da (sayılabilir sonsuz)
değerler alır.
Sürekli bir rassal değişken; bir aralık boyunca değerler
alabilir.
(a,b) aralığı gibi
10. Kesikli bir rassal değişken X’in olasılık fonksiyonu
9.
BENZETİM
Sürekli bir rassal değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x) dir;
Sürekli rassal değişken için X,
BENZETİM
11.
Kümülatif dağılım fonksiyonudur.
Kesikli değişkenler için K.D.F ;
Sürekli değişkenler için K.D.F ;
BENZETİM
12.
13.
BENZETİM
 TEOREM: X1 ,X2 ,……,Xn rassal değişkenler ise;
E (X1 + X2 +……+ Xn ) = E (X1 ) + E (X2 ) +…….+ E (Xn )’ dir.
14.
P ( x  a, y  b ) = P ( x  a ) P ( y  b )
( x ve y bağımsız olduğunda…)
15.
Var (ax) =
Var (a) =
E (ax) =
E(a)
=
a2 var (x)
0
a E(x)
a
(a sabit)
BENZETİM
16. Cov (x, y) = E [ ( x - E(x)) ( y - E(y)) ]
Cov (x, y) = E (x y) – E (x) E (y)
(Kovaryans iki rassal değişken arasındaki bağımlılığın
ölçüsüdür.)
 TEOREM: x ve y herhangi iki rassal değişken olsun ;
Var (x + y) = var (x) + var (y) + 2.cov (x,y) dir.
BENZETİM
 TEOREM: y= (x+a) / b , y ve x değişkenleri
parametreleri farklı aynı dağılıma sahiptirler.
 TEOREM:
Z ; standart normal dağılım denir.
BENZETİM
BENZETİM
 TEOREM:
y1, y2,……,yn ~ N ( µ ,
) ( yi‘ler bağımsız değişkenlerdir.)
BENZETİM
 İSPAT:
BENZETİM
 TEOREM: MERKEZİ LİMİT TEOREMİ
y1, y2…..,yn ortalaması µ ve varyansı
dağılımdan gelen rassal değişkenler olsun;
olan herhangi bir
BENZETİM
 TANIM:

μk = E(xk )

μk = E(x-E(x))k ortalama etrafında k. moment
1)
2)
3)
x rassal değişkeninin orijine göre momentidir.
μ1' = E(x) dağılımın ortalaması
μ2 = E(x-E(x))2 = μ2' - (μ1')2 dağılımın varyansı
μ3 = E(x-E(x))3 = μ3‘ - 3.μ2'. μ1‘ + 2(μ1')3
BENZETİM

A herhangi bir olay olduğunda 0 P(A) 1

P(

A1,A2,…….
)=1
ayrık olaylar seti için;
P(A1  A2 …..) = P(A1) + P(A2) + ……..
Yazılabiliyorsa P fonksiyonu olasılık ölçüsüdür.
BENZETİM
Çarpıklık (Asimetri) Ölçüsü
(skewness)
BENZETİM
Basıklık Ölçüsü (Kurtosis);
4) μ4 = E(x-E(x))4 = μ4' - 4μ3' μ1' + 6μ2' (μ1')2 - 3(μ1')4
BENZETİM

4 standart basıklık katsayısıdır.
( dağılımın yatay eksene göre görünümünün bir ölçüsüdür.)

normal dağılımda
4 = 3

uniform dağılımda
4 = 1,8

mk' = 1/n ( xik ) ,
moment tahmin edicisi
( k' 'nın tahmin edicisi )
BENZETİM
 TANIM:

xi ve xj değişkenleri arasındaki kovaryans ,
cij = E[(xi - i ) [(xj - j )] E(xi ) = i E(xj ) = j

xi ve xj bağımsız değişkenler ise
cij = 0 dır.
BENZETİM
 TANIM: Korelasyon Katsayısı
BENZETİM
 TANIM: Teorik tanımlar 3 tür parametre ile tanımlanırlar.
1) YERLEŞİM (LOCATİON ) PARAMETRESİ : 
Dağılımın apsis üzerindeki açıklığını belirler.
BENZETİM
Aynı dağılım , Yerleşim farklı
BENZETİM
2) ÖLÇEK (SCALE) PARAMETRESİ : 
Dağılımın yüksekliğini belirler. Aşağıdaki normal dağılımlarda
yerleşim parametresi () sabitken , yükseklik parametreleri ()birbirinden
farklıdır.
Normal dağılımda ; yerleşim parametresi , yükseklik parametresi
BENZETİM
3) ŞEKİL (SHAPE) PARAMETRESİ : 
Dağılımın şeklini belirler. Üstel dağılım şekil parametresine sahip değildir.
Gamma dağılımının şekli  değerine göre değişir.  > 0 ,  > 0
BENZETİM
Download

BENZETİM