84
Mat 201 Lineer Cebir Çalı¸sma Soruları
31− I˙ Ç ÇARPIM
1.  : R2 × R2 → R  ( ) = 1 1 − 2 2 fonksiyonu, R2 uzayında bir iç çarpım mıdır?
Neden?
Çözüm:  = (1 1) alalım.  6= 0 dır.  ( ) = 1 · 1 − 1 · 1 = 0 olur. Buna göre iç çarpım
tanımındaki birinci önerme sa˘
glanmaz.  fonksiyonu bir iç çarpım de˘
gildir. ¤
2.  : R2 × R2 → R  ( ) = 1 1 − 2 1 − 1 2 + 22 2 fonksiyonunun R2 uzayında bir
iç çarpım oldu˘gunu gösteriniz.
Çözüm:  fonksiyonunun R2 uzayında bir iç çarpım oldu˘
gunu göstermek için iç çarpım
tanımındaki dört önermenin do˘
grulu˘
gunun gösterilmesi yeterlidir.
(1)  ∈ R2 ve  6= 0 olsun.  = (1  2 ) biçimindedir ve buradaki  reel sayılarından en
az biri sıfırdan farklıdır.  fonksiyonunun tanımına göre
 ( ) = 21 − 2 1 − 1 2 + 222 = (1 − 2 )2 + 22
olur.  ( ) = 0 olsaydı buradan (1 − 2 )2 = 0 ve 322 = 0 elde edilirdi. Buradan da 1 = 0
ve 2 = 0 bulunurdu.  sayılarından en az biri sıfırdan farklı oldu˘
gundan  ( ) 6= 0 olmak
zorundadır.
(2) Reel sayılar kümesinde çarpmanın de˘
gi¸sme özelli˘
gi bulundu˘
gundan R2 uzayındaki her
  vektörü için
olur.
 ( ) = 1 1 − 2 1 − 1 2 + 22 2 = 1 1 − 2 1 − 1 2 + 22 2 =  ( )
(3) ∀   ∈  için
 ( +  ) =
=
=
=
 ((1 + 1  2 + 2 ) (1  2 ))
(1 + 1 )1 − (2 + 2 )1 − (1 + 1 )2 + 2(2 + 2 )2
1 1 − 2 1 − 1 2 + 22 2 + 1 1 − 2 1 − 1 2 + 22 2
 ( ) +  ( )
dır.
(4) ∀ ∈ R ∀  ∈ R2 için
 ( ) =  ((1  2 ) (1  2 )) = (1 )1 − (2 )1 − (1 )2 + 2(2 )2
= (1 1 − 2 1 − 1 2 + 22 2 ) =  ( )
dır. ¤
3. R3 uzayında  = (3 −1 2) e¸sitli˘giyle verilen  vektörü yönündeki birim vektörü bulunuz.
3.1- I˙ ç Çarpım
85
1
 oldu˘
gundan
kk
µ
¶
3
1
1
−1
2
1
 = √ (3 −1 2) = √  √  √
= √
0 =
kk
9+1+4
14
14
14
14
Çözüm:  vektörü yönündeki birim vektör 0 olsun. 0 =
dir. ¤
4. R3 uzayında  = (2 −1 3)  = (−1 2 −1) oldu˘guna göre  ve  noktaları arasındaki uzaklı˘gı bulunuz.
−−→
Çözüm:  ve  noktaları arasındaki uzaklık,   vektörünün uzunlu˘
gudur.
−−→
  =  −  = (−3 3 −4)
oldu˘
gundan
°−−→° rD−−→ −−→ E p
√
√
°
°
    = h(−3 3 −4) (−3 3 −4)i = 9 + 9 + 16 = 34
° ° =
dür. ¤
5. R3 uzayında  = (4 −2 4)  = (4 1 −2) oldu˘guna göre  ve  noktaları arasındaki
uzaklı˘gı bulunuz.
−−→
Çözüm:  ve  noktaları arasındaki uzaklık,   vektörünün uzunlu˘
gudur.
−−→
  =  −  = (0 3 −6)
r
°−−→°
D−−→ −−→ E p
√
√
√
°
°
oldu˘
gundan ° ° =
    = h(0 3 −6) (0 3 −6)i = 9 + 36 = 45 = 3 5 dir.
¤
¡ √ ¢
6.  = 1 7 1   = ( 0 ) ve   0 olsun.  ve  vektörlerinin belirtti˘gi açının sinüsü
√
2 2
3
oldu˘guna göre  kaçtır?
Çözüm: h i = kk · kk · cos  e¸sitli˘
ginden yararlanarak
q
√
¡√ ¢2
 +  = 12 +
7 + 12 · 2 + 2 · 13
bulunur. Bu e¸sitlikten
2 + 2 + 2 = 2 + 2
ve buradan da  = 0 elde edilir.   0 oldu˘
gu verildi˘
ginden  = 0 olmak zorundadır. ¤
7. {(1 0 −2)  (0 1 0)  (4 0 2)} kümesinin R3 uzayı için ortogonal bir taban oldu˘gunu gös-
86
Mat 201 Lineer Cebir Çalı¸sma Soruları
teriniz.  = (1 3 −1) oldu˘guna göre  vektörünü bu tabanın lineer bile¸simi olarak yazınız.
Çözüm: {(−1 −1 0)  (0 0 1)  (1 −1 0)} kümesinin
lim.
h 1   2 i = h(1 0 −2)  (0 1 0)i
h 1   3 i = h(1 0 −2)  (4 0 2)i
h 2   3 i = h(0 1 0)  (4 0 2)i
elemanlarını  1   2   3 ile göstere= 0
= 0
= 0
dır. { 1   2   3 } kümesinin elemanlarının iki¸ser iki¸ser iç çarpımları sıfır oldu˘
gundan bu küme
ortogonal bir kümedir. Ortogonal bir kümenin lineer ba˘
gımsız oldu˘
gunu biliyoruz. R3 uzayının
boyutu 3 tür.  boyutlu bir vektör uzayında, eleman sayısı  olan lineer ba˘
gımsız bir küme o
uzayın bir tabanı olur. Buna göre { 1   2   3 } kümesi, R3 uzayının bir tabanıdır.
{ 1   2        } kümesi,  iç çarpım uzayının ortogonal bir tabanı ise her  ∈  için
=
oldu˘
gunu biliyoruz. Buna göre
=
 h  i
P


h


=1

i
h  2 i
h  3 i
h  1 i
1 +
2 +
 =
h 1   1 i
h 2   2 i
h 3   3 i 3
3
5
(1 0 −2) + 3 (0 1 0) +
1
10
(4 0 2)
bulunur. ¤
8. {(−1 −1 0)  (0 0 1)  (1 −1 0)} kümesinin R3 uzayı için ortogonal bir taban oldu˘gunu
gösteriniz.  = (1 −2 −1) oldu˘guna göre  vektörünü bu tabanın lineer bile¸simi olarak yazınız.
Çözüm: {(−1 −1 0)  (0 0 1)  (1 −1 0)} kümesinin elemanlarını  1   2   3 ile gösterelim.
h 1   2 i = h(−1 −1 0)  (0 0 1)i = 0
h 1   3 i = h(−1 −1 0)  (1 −1 0)i = 0
= 0
h 2   3 i = h(0 0 1)  (1 −1 0)i
dır. { 1   2   3 } kümesinin elemanlarının iki¸ser iki¸ser iç çarpımları sıfır oldu˘
gundan bu küme
ortogonal bir kümedir. Ortogonal bir kümenin lineer ba˘
gımsız oldu˘
gunu biliyoruz. R3 uzayının
boyutu 3 tür.  boyutlu bir vektör uzayında, eleman sayısı  olan lineer ba˘
gımsız bir küme o
uzayın bir tabanı olur. Buna göre { 1   2   3 } kümesi, R3 uzayının bir tabanıdır.
{ 1   2        } kümesi,  iç çarpım uzayının ortogonal bir tabanı ise her  ∈  için
=
oldu˘
gunu biliyoruz. Buna göre
 h  i
P


=1 h     i
3.1- I˙ ç Çarpım
=
h  1 i
h  2 i
h  3 i
 +
 +
 =
h 1   1 i 1 h 2   2 i 2 h 3   3 i 3
1
2
87
(−1 −1 0) − 1 (0 0 1) +
3
2
(1 −1 0)
bulunur. ¤
9.
n
√1
3
(1 −1 −1) 
√1
6
(2 1 1) 
√1
2
o
(0 1 −1) kümesinin R3 uzayı için ortonormal bir
taban oldu˘gunu gösteriniz.  = (4 3 1) oldu˘guna göre  vektörünü bu tabanın lineer bile¸simi
olarak yazınız.
o
n
Çözüm: √13 (1 −1 −1)  √16 (2 1 1)  √12 (0 1 −1) kümesinin elemanlarını 1  2  3
ile gösterelim.
h1  2 i =
D
√1
3
(1 −1 −1) 
√1
6
h1  1 i =
D
√1
3
(1 −1 −1) 
√1
3
E
(2 1 1)
= 0
E
h1  3 i = √13 (1 −1 −1)  √12 (0 1 −1) = 0
D
E
= 0
h2  3 i = √16 (2 1 1)  √12 (0 1 −1)
ve
D
(1 −1 −1)
D
E
h2  2 i = √16 (2 1 1)  √16 (2 1 1)
D
E
h3  3 i = √12 (0 1 −1)  √12 (0 1 −1)
E
= 1
= 1
= 1
dır. {1  2  3 } kümesinin elemanlarının iki¸ser iki¸ser iç çarpımları sıfır oldu˘
gundan bu küme
ortogonal bir kümedir. Ayrıca bu kümenin her bir vektörünün kendisiyle iç çarpımı 1 oldu˘
gundan ortonormal bir kümedir. Ortogonal bir kümenin lineer ba˘
gımsız oldu˘
gunu biliyoruz. R3
uzayının boyutu 3 tür.  boyutlu bir vektör uzayında, eleman sayısı  olan lineer ba˘
gımsız
bir küme o uzayın bir tabanı olur. Buna göre {1  2  3 } kümesi, R3 uzayının bir tabanıdır.
{1  2       } kümesi,  iç çarpım uzayının ortonormal bir tabanı ise her  ∈  için
=

P
=1
oldu˘
gunu biliyoruz. Buna göre
h  i 
 = h 1 i 1 + h 2 i 2 + h 3 i 3
³
´ ¡ √ ¢³
´ √ ³
´
= 0 √13 (1 −1 −1) + 2 6 √16 (2 1 1) + 2 √12 (0 1 −1)
bulunur. ¤
Download

Alaplı Belediye Başkanlığı İhale İlanı (27.03.2015)