HAREKET DENKLEMİ:
GENEL DÜZLEMSEL HAREKET
Amaçlar:
1. Genel düzlemsel hareket yapan rijit
bir cismin hareketini analiz etmek.
UYGULAMALAR
Zemin sıkıştırıcı öne doğru
ivmelendiğinde, ön silindir genel
düzlemsel harekete maruz kalacaktır
(ötelenme ve dönme).
Bu hareketten dolayı, ön şafta
etkiyen dinamik kuvvetler nelerdir?
=
Serbest cisim diyagramında
gösterilen kuvvetler, kinetik
diyagramda gösterilen
ivmeleri oluşturacaktır. A
anlık sıfır noktası mıdır?
UYGULAMALAR
Bir çarpışma testi esnasında, manken
arabayla birlikte ivmesi azalırken, A
noktası etrafında döndüğü için bir
başka ivme etkisine daha maruzdur.
Mankenin yaptığı hareket genel
düzlemsel harekettir. Mankene
etkiyen kuvvetleri bulmak için hem
ötelenme hem de dönem hareketini
dikkate almak gerekir.
Neden?
HAREKET DENKLEMİ: GENEL DÜZLEMSEL
HAREKET
Eğer rijit bir cisim, kuvvetlere ve
momentlere maruz ise, hem ötelenme hem
de dönme hareketi yapacaktır. Bu
hareketlerin kombinasyonuna genel
düzlemsel hareket denir.
x-y koordinat eksenlerini kullanarak, G
kütle merkezine göre hareket
denklemleri yazılabilir:
∑ Fx = m (aG)x
∑ Fy = m (aG)y
∑ MG = I G α
HAREKET DENKLEMİ: GENEL DÜZLEMSEL
HAREKET (devam)
Bazen, moment denklemini G noktasına göre
değil de herhangi bir P noktasına göre yazmak
daha uygun olmaktadır. Bu durumda hareket
denklemleri aşağıdaki hali alır:
∑ Fx = m (aG)x
∑ Fy = m (aG)y
∑ MP = ∑ (Mk )P
Dış kuvvetlerin P’ye
göre momenti
Bu durumda, ∑ (Mk )P ifadesi IGα ve
maG kinetik değerlerinin P noktasına
göre momentleridir (kinetik momentler).
SÜRTÜNMELİ YUVARLANMA HAREKETİ
Tekerleklerin, silindirlerin veya disklerin yuvarlanma hareketi
analiz edildiğinde, cismin kaymadan mı yoksa kayarak mı
yuvarlandığı bilinmeyebilir.
Örneğin, m kütlesine ve r yarıçapına sahip
ve bilinen P kuvvetine maruz diski ele
alalım.
Hareket denklemleri aşağıdaki gibi
olacaktır:
∑ Fx = m(aG)x => P − F = m aG
∑ Fy = m(aG)y => N − mg = 0
∑ MG = IGα => F r = IG α
F = μsN veya
F = μkN
Bu üç denklem içinde 4 bilinmeyen (F, N,
α, and aG) vardır.
SÜRTÜNMELİ YUVARLANMA HAREKETİ (devam)
Bir başka denkleme daha ihtiyaç var,
bunu yazabilmek için bir kabul yapmak
zorundayız. Böylece tüm bilinmeyenler
çözülebilir.
4. denklem, diskin kayma veya kaymama
durumu ele alınarak elde edilebilir:
Durum 1:
Kayma olmadığını kabul edip aG = α r, 4. denklem olarak
kullanılır ve Ff = µsN denklemi KULLANILMAZ. Çözüm
gerçekleştikten sonra Ff ≤ µsN olup olmadığı kontrol edilir.
Durum 2:
Kayma olduğu kabul edilir ve Ff = µkN denklemi
4. denklem olarak kullanılır. Bu durumda aG ≠ αr’dir.
ANALİZ YÖNTEMİ
Genel düzlemsel hareket yapan rijit bir cismin kinetiğiyle ilgili
problemlerde aşağıdaki yöntem izlenerek soru çözülür:
1. x-y koordinat sistemi oluşturulur. Cismin serbest cisim ve
kinetik diyagramı çizilir.
2. Kütle merkezinin ivmesi aG ve cismin açısal ivmesinin yönü
belirlenir. Eğer gerekliyse, cismin kütle merkezine göre
kütle atalet moment IG hesaplanır.
3. Eğer ΣMp= Σ(Mk)p denklemi kullanılırsa, m(aG)x, m(aG)y, ve
IGα bileşenlerinin yarattığı momentleri canlandırmak için
kinetik diyagram kullanılır.
4. Üç hareket denklemi uygulanır.
ANALİZ YÖNTEMİ (devam)
5. Bilinmeyenler belirlenir. Gerekliyse (dört bilinmeyen
varsa), kayma durumu için bir kabul yapılır. Genellikle
kayma olmadığı kabul edilir (yani aG = α r denklemi
kullanılır).
6. Kinetik denklemler yazılır ve sonuç elde edilir.
7. Yaptığınız kabulün doğruluğu kontrol edilir.
Önemli noktalar:
1. Kabul ettiğiniz yönler tutarlı olmalıdır. aG’nin yönü α ile
tutarlı olmalıdır.
2. Ff = µkN kullanıldıysa, Ff hareketin tersi yönünde
olmalıdır.
ÖRNEK 1
Verilen: Şekildeki makara 200 kg kütleye ve kG = 0.3 m atalet
yarıçapına sahiptir. Yüzeyle makara arasındaki sürtünme katsayısı
µs = 0.1 olarak verilmiştir (makara kaymadan yuvarlanmaktadır).
450 Nm’lik moment A noktasına uygulanmaktadır
Aranan: Makaranın açısal ivmesi (α) ve kablodaki çekme
kuvveti.
Yöntem: Makarayı inceleyin. Analiz yöntemini uygulayın
(serbest cisim ve kinetik diyagramları çizin)!
ÖRNEK 1 (devam)
Çözüm:
Cismin serbest cisim ve kinetik diyagramları aşağıda çizilmiştir:
IG α
=
1962 N
Hareket Denklemleri:
∑Fy = m (aG)y : NB − 1962 = 0
⇒ NB = 1962 N
maG
ÖRNEK 1 (devam)
aG = (0.6) α. Kayma durumu olmadığı soruda verilmiştir.
Atalet Yarıçapından
∑Fx = m (aG)x: T – 0.1 NB = 200 aG = 200 (0.6) α
IG=mkG2
⇒ T – 196.2 = 120 α
∑MG = IG α : 450 – T(0.4) – 0.1 NB (0.6) = 200 (0.3)2 α
⇒ 450 – T(0.4) – 196.2 (0.6) = 18 α
Bu iki denklem çözülürse:
α = 3.85 rad/s2 ve T = 658.2 N olarak bulunur.
ÖRNEK 2
Verilen: 50 kg’lık çubuk AC ve BD
kablolarıyla dengede tutulmakta.
Aranan: AC kesildikten hemen sonra,
BD’deki çekme kuvveti ve
çubuğun açısal ivmesini
bulunuz.
Yöntem: Analiz yöntemini uygula.
Bilinmeyen sayısına dikkat!
ÖRNEK 2(devam)
Çözüm:
Serbest Cisim Diyagramı:
4 bilinmeyen vardır: TB, (aG)x , (aG)y
ve α.
Hareket Denklemleri:
(1)
(2)
ÖRNEK 2(devam)
3 bilinmeyen vardır: TB, (aG)y ve α ama iki denklem var. Βu
durumda kinematikten yararlanmak zorundayız. Kablo
kesildikten hemen sonra B noktasının hızı ve çubuğun açısal
hızı sıfırdır (çubuk başlangıçta durağan halde). Bu durumda:
Böylece aB’nin sadece teğetsel bileşeni olacaktır
( aB ) n = ω 2 r = 0
ω=0
(aB)n = 0
D noktası etrafında dönüyor!
ÖRNEK 2(devam)
G ve B arasında rölatif ivme denklemi uygulanırsa (G’nin
hareketini arıyoruz):
ÖRNEK 2(devam)
i ve j bileşenleri eşitlenirse:
(3)
Denklemler (1), (2) ve (3) çözülürse:
Download