IV pismeni zadatak
1. Napisati opšti član aritmetičkog niza, ako je dato a 32⋅a 5=66 i 2⋅a 2 – a 1=14 .
Rešenje:
a 12 d 2⋅a14 d =66 ⇔ 3 a110 d =66 ⇔ 3 a110 d =66 ⇔ 3 a110 d =66 ⇔ d= 24 =6
4
2 a1d −a 1=14
a12 d=14
−3 a1−6 d=−42
4 d =24
3 a110⋅6=66⇔ 3a 1=6 ⇔a 1=2
a n=2n−1⋅6=6 n−4
15
15
2. Odredi zbir prvih 10 članova pozitivnog geometrijskog niza sa osobinama a 3 – a 5= , a 1 – a 3= .
16
4
Rešenje:
a) Prvo treba odrediti prvi član i količnik niza:
15
15
15
2
2
2
4
2
2
a1 q 1−q =
a 1 q −a1 q =
a 1 q 1−q =
16
16 ⇔
16 ⇔
15
15
15
2
2
a1 =
a 1−a1 q =
a1 1−q =
4
4
41−q2 
15
15 15
15
1
q2 1−q 2= ⇔ q2= ⇔ q 2= . Pošto je traženi geometrijski niz pozitivan, važi: q > 0.
2
16
4
16
4
4 1−q 
1
Dakle q= .
2
15
15
a 1=
= =5
1
3
41− 
4
b) Zbir prvih 10 članova niza:
10
1
1
1023
  −1
−1
−
2
1024
1024 10230 5115
S 10 =5⋅
=5⋅
=5⋅
=
=
1
1
1
1024
512
−1
−
−
2
2
2
27 9 3 1
3. Odredi uslov konvergencije geometrijskog reda, i naći zbir: 81  2  3  4 ...
x x
x x
Rešenje:
1
a 1=81 , q=
3x
1
1
1⇔∣x∣
Geometrijski red konvergira ako važi: ∣q∣1⇔
3x
3
a1
81
81
243 x
S=
=
=
=
Zbir reda:
1– q
1
3 x−1 3 x−1
1−
3x
3x
4. Prava trostrana prizma ima osnovni trougao sa stranicama a = 44 cm, b = 39 cm i
c = 17 cm, a visina joj je jednaka poluobimu osnove. Izračunati površinu i zapreminu
H
prizme.
Rešenje:
c
b
abc 443917
=
=50 . Površina osnove se izračunava
H =s , gde je s=
2
2
a
pomoću Heronove formule.
B= s  s−as−bs−c= 50⋅50−44⋅50−39⋅50−17=330
Površina omotača: M = p⋅H =100⋅50=5000 .
Površina prizme: P=2 BM =2⋅3305000=5660 cm 2 .
Zapremina prizme: V =B⋅H =330⋅50=16500 cm3 .
5. Izračunati površinu i zapreminu pravilne četvorostrane piramide, čija je osnovna ivica
a = 14 cm, a visina piramide je H = 15 cm.
Rešenje:
H
h
Površina osnove: B=a 2=142=196 cm2 .
∣ ∣
a
a
2
1
1
3
Zapremina piramide: V = B⋅H = 196⋅15=980 cm
3
3
2
a
Visina bočne strane: h 2=H 2  =1527 2=22549=274 ⇒ h=  274 cm .
2
ah
2
=2 a h=28  274 cm .
Površina omotača: M =4
2
Površina piramide: P=BM =19628  274=287 274 cm2
6. Odrediti površinu i zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide, čije su osnovne ivice 20 cm i
a
10 cm, a visina tela je 12 cm.
Rešenje:
Površina osnove: B1=a21 =400 cm2 , B 2=a 22=100 cm2 .
H
Zapremina zarubljene piramide:
h
H
12
3
V =  B1 B1 B2 B2  =  400 400⋅100100  =4⋅ 400200100=2800 cm
3
3
2
a
a –a
2
a
Visina bočne strane: h 2=H 2 1 2 =14425=169⇒ h=13 cm
2
a a
Površina omotača: M =4 1 2 h=2a 1a 2 h=2⋅30⋅13=780 cm2
2
H
h
Površina zarubljene piramide: P=B 1B2 M =400100780=1280 cm2
7. Izračunati površinu i zapremnu tela, koja se dobija obrtanjem pravouglog
a a
a
−
2 2
trougla površine P = 30 cm2 oko njegove katete dužine b = 12 cm.
2
Rešenje:
2 P 2⋅30
=
=5 cm , hipotenuza trougla: c 2=25144=169 ,
Druga kateta trougla: a=
b
12
dakle c=13 cm .
Dobijeno telo je kupa sa poluprečnikom r = a = 5 cm, visinom H = b =12 cm i
c
izvodnicom s = c = 13 cm.
b
Površina tela:
a
P=BM =r 2 r  s=r r s=5⋅⋅18=90 cm2
1
1 2
1
2
V = B H = r  H = ⋅25⋅⋅12=100 cm .
3
3
3
2


2
1
1
1
2
Download

a12