KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA
Površina baze: B= r2 π
Površina omotača: M=s r π
P= B+M
to jest
P = r π (r + s)
1
BH
3
to jest
V=
V=
1 2
r πH
3
S
s
H
O
r
osa kupe
Osni presek:
Obim osnog preseka: Oop= 2r+2s
Površina osnog preseka: Pop= rH
Primena pitagorine teoreme:
H 2 + r 2 = s2
Ravnostrana (jednakostrana ) kupa je ona kod koje je 2r = s, pa je osni presek
jednakostranicni trougao.
1
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
ZARUBLJENA KUPA
Površina donje baze: B1 = R2 π
Površina gornje baze: B2 = r2 π
Površina omotača : M= s(R+r) π
P= B1+B2+M
V=
P= π [R2+r2+s(R+r)]
to jest
H
( B1+B2+ B1 B2 )
3
to jest
V=
Hπ 2
(R +Rr+r2)
3
r
s
H
R
Osni presek:
Obim osnog preseka: Oop = 2R + 2r + 2s
Površina osnog preseka: Pop=(R+r)H
2r
s
D
H
R+r
s
R-r
2R
Primena pitagorine teoreme ( na ova dva pravougla trougla ):
H2+(R-r)2= s2 ( na desni trougao)
H2+(R+r)2=D2 ( na levi trougao)
2
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
ZADACI
1) Površina kupe je 24π , a površina njene osnove je 9π . Izračunati zapreminu kupe.
Rešenje:
P = 24πcm 2
B = 9πcm
2
_______________
V =?
H 2 = s2 − r 2
H 2 = 5 2 − 32
H 2 = 25 − 9
H 2 = 15
H = 4cm
B = r 2π
9π = r π
M = rπs
15π = 3 ⋅ π ⋅ s
r = 3cm
s = 5cm
2
1
BH
3
1
V = ⋅ 9π ⋅ 4
3
V = 12πcm3
V=
2) Dužina visine i izvodnice prave kupe odnosi se kao 4:5 a njena zapremina je
96π . Naći površinu kupe.
Rešenje:
H : s = 4:5
V = 96π
____________
P=?
Čim imamo neku razmeru koristimo “trik sa k’’
H : s = 4 : 5 ⇒ H = 4 k i s = 5k
Iskoristimo Pitagorinu teoremu:
r 2 = s2 − H 2
r 2 = (5k ) 2 − (4k ) 2
r 2 = 25k 2 − 16k 2
r 2 = 9k 2
r = 3k
Pošto nam je data zapremina:
r 2πH
V=
3
(3k ) 2 π ⋅ 4k
96π =
3
3
96 = 12k
H = 4k = 8
s = 5k = 10
r = 3k = 6
Sad računamo površinu:
P = rπ ( r + s )
P = 6π (6 + 10)
P = 96π
k3 = 8
k=2
3
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
3) Pravougli trougao sa katetama a i b rotira oko hipotenuze. Naći zapreminu
dobijenog obrtnog tela.
Rešenje:
I ovde će slika biti ''presudna''
RAZMIŠLJAMO:
→ Na ovaj način se dobijaju dve kupe (priljubljene)
→ Poluprečnik osnove obe kupe je hC (r = hC )
→ Zbir visina ove dve kupe daje hipotenzu c
→ Zapreminu moramo da izračunamo preko a i b
V = V1 + V2
r 2πH 1 r 2πH 2 r 2π
+
=
( H1 + H 2 )
3
3
3
r 2π ⋅ c
V=
( jer je H1 + H 2 = C )
3
V=
Iz obrazaca za površinu pravouglog trougla je:
V=
V=
hCπ ⋅ hC ⋅ C hC ⋅ π ⋅ ab
ab
=
i hC =
3
3
a2 + b2
a 2b 2π
chC a ⋅ b
=
⇒ chC = ab
2
2
3 a2 + b2
4
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
4) Zapremina zarubljene kupe jednaka je 584π , a poluprečnici osnova su 10 i 7.
Naći visinu zarubljene kupe.
Rešenje:
V = 584π
R = 10
r =7
_______
H =?
Hπ 2
( R + r 2 + Rr )
3
Hπ
584π =
(10 2 + 7 2 + 10 ⋅ 7)
3
H
584 = (100 + 49 + 70)
3
H
584 = ⋅ 219
3
584 = H ⋅ 73
V=
H =8
5) Na kom rastojanju od vrha kupe, čija je visina H, treba postaviti ravan paralelno
sa osnovom koja deli omotač kupe na dva dela jednakih površina.
Rešenje:
Neka je X traženo odstojanje. Očigledno da ovakvim presekom kupe dobijamo manju
kupu i zarubljenu kupu.
5
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
Izvucimo osni presek “na stranu’’
Iz sličnosti trougla očigledno proizilazi:
R : r = H : X = s : s1
Od nas se traži da omotači budu jednaki, tj. da omotač kule M 1 = s1rπ bude isti sa
omotačem zarubljene kupe M 2 = ( s − s1 )( R + r )π
Dakle: M 1 = M 2
s1rπ = ( s − s1 )( R + r )π
s1r = sR + sr − s1 R − s1rr
2 s1 r + s1 R = sR + sr
s1 (2r + R ) = s ( R + r )
s : s1 = (2r + R ) : ( R + r )
Ako ovo upakujemo sa već dobijenom proporcijom s : s1 = R : r , dobijamo:
R : r = ( 2r + R ) : ( R + r )
R ( R + r ) = r ( 2r + r )
R 2 + Rr = 2r 2 + rR
R 2 = 2r 2
R = 2r
R:r = 2
Kako je:
H : X = R:r
H:X = 2
X =
H
X =
H
X =
H 2
2
2
2
⋅
2
2
6
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
6) Kvadrat ABCD stranice a rotira oko ose koje prolazi kroz teme C paralelno sa BD.
Naći zapreminu dobijenog tela.
Rešenje:
Pažljivo nacrtajte sliku, jer i ovde ona sve govori.
Sa slike se vidi da se radi o dve “priljubljene’’ zarubljene kupe iz kojih je izvučena po
jedna kupa.
Očigledno je da poluprečnik veće osnove zarubljene kupe R = a 2 (dijagonala kvadrata), a
a 2
poluprečnik manje osnove zarubljene kupe je r =
, tj. polovina dijagonale kvadrata.
2
(istovremeno i r kupe). Takodje je visina i kupe i zarubljene kupe takodje polovina dijagonale,
a 2
tj. H =
2
Zapreminu tela ćemo naći kada od zapremine zarubljene kupe oduzmemo
zapreminu kupe, pa to pomnožimo sa dva.
V = 2(VZK − VK )
V
V
V
V
 Hπ 2
r 2πH 
2

= 2
( R + Rr + r ) −
3 
 3
Hπ 2
( R + Rr + r 2 − r 2 )
= 2⋅
3
2
= Hπ ( R 2 + Rr )
3
 a 2 
2
2 a 2 

π  a 2 + a 2 
= ⋅

3 3

 2 
V=
( ) ( )
a 2  3a 2 ⋅ 2 
π

3
 2 
V = a 3 2π
7
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
Zanimljivo da bi površinu tela našli kao zbir površina omotača zarubljene kupe i kupe, pa
putu dva.
P = 2( M ZK − M K )
Ali se ovo u zadatku ne traži, Vi možete radi treninga uraditi i ovo.
7) Prava zarubljena kupa ima izvodnicu s = 5 i poluprečnike osnova R = 5 i r = 1 .
Naći poluprečnik osnove pravog valjka koji ima s njom jednaku visinu i površinu
omotača.
Rešenje:
s=5
R=5
r =1
______
Omotač zarubljene kupe je M = s ( R + r )π
Dakle:
M = 5(5 + 1)π
M = 30π
Visinu zarubljene kupe ćemo dobiti iz Pitagorine teoreme:
s = H 2 + (R + r)2
52 = H 2 + (5 + 1) 2
H 2 = 25 − 16
H2 =9
H = 3 → Ovo je istovremeno i visina valjka
Omotač valjka je M V = 2rπH
M V = 2rπH
30π = 2 ⋅ rπ ⋅ 3
30 = 6r
r =5
Dakle, poluprečnik osnove valjka je 5
8
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
8) Izračunaj površinu osnog preseka zarubljene kupe ako je površina omotača
M = 10π i ugao izvodnice prema ravni osnove je 30 0 .
Rešenje:
M = 10π
____________
POP = ?
Izvucimo trougao na kome primenjujemo Pitagorinu teoremu:
M = 10π
s ( R + r )π = 10π
s ( R + r ) = 10
Odavde je:
H
s
H = s sin 30o
sin 30o =
H = s⋅
H=
1
2
s
2
Površina osnog preseka je: (površina trapeza)
2 R + 2r
2( R + r )
⋅H =
⋅ H = (R + r) ⋅ H
2
2
s (R + r) ⋅ s
POP = ( R + r ) ⋅ =
2
2
10
POP =
2
POP = 5
POP =
9
Prof. Bojana Šunjkić
III1 matematika
Download

KUPA I ZARUBLJENA KUPA