w
w
w
w
w
w
s
r
.
d
a
r
i
k
Sadržaj
r
i
k
s
ar
s
r
.
ad
n
i
m
1 UVODNI POJMOVI.....................................................
e
s
.
w
w
w
Uvod.............................................................................................1
e
s
.
w
2
ww
1.1 Cilindrična površ i valjak....................................................2
1.2 Konusna površ i kupa.........................................................4
1.3 Zarubljena kupa..................................................................6
1.4 Sfera i lopta........................................................................6
1.5 Delovi sfere i lopte.............................................................7
2 POVRŠINA OBRTNIH TELA.....................................
s
s
r
r
.
.
d
d
a
r
i
ki r a
k
s
r
a
n
i
3 ZAPREMINA OBRTNIH
TELA...............................
m
e
e
s
s
.
.
w
w
w
w
w
w
8
2.1 Površina valjka.................................................................8
2.2 Površina kupe...................................................................8
2.3 Površina zarubljene kupe..................................................9
2.4 Površina lopte..................................................................10
11
3.1 Zapremina valjka.............................................................11
3.2 Zapremina kupe...............................................................12
3.3 Zapremina zarubljene kupe..............................................12
3.4 Zapremina lopte...............................................................13
3.5 Lopta i obrtna tela............................................................15
s
r
.
d
a
r
i
k
s
r
.
ad
r
i
k
s
ar
n
i
m
.se
w
w
w
s
r
.
d
kira
s
r
.
d
a
r
i
k
e
s
.
w
ww
s
r
.
d
kira
s
r
a
in
m
e
s
w.
e
s
.
ww
ww
w
k
s
r
na
s
r
.
irad
w
w
w
s
r
.
d
a
r
i
k
k
w
w
w
r
i
k
s
ar
s
r
.
ad
UVOD
“Matematika, to je jezik kojim govore sve tačne nauke.” 1
Sva matematička ostvarenja nose u sebi odrenene karakteristike vremena i mesta u
kojima su nastajala. Istorija matematike poklapa se vremenski sa istorijom razvitka
čovečanstva, pa su istoričari matematike, na razne načine vršili podelu istorijskog
razvitka matematike na pojedine etape ili epohe, Tako se govori o matematici pre
početka istorije, matematici starog, srednjeg ili novog veka, o matematici starog Egipta,
Vavilonije, Grčke, Indije, o arapskoj matematici, o matematici 18, 19. ili 20. veka itd.
Prema sačuvanim istorijskim zapisima prva istraživanja u geometriji, aritmetici i
astronomiji, javljaju se u četvrtom veku pre nove ere. U ovom periodu a i kasnije
matematikom a i matematičkim problemima bavili su se Platon, Aristotel i Euklid, koji
su ostavili nesumnjivo najznačajniji uticaj na razvoj matematike. Poseban doprinos
razvoju geometrije dao je grčki matematičar i filozof Euklid.
Najčitanije i najuticajnije delo iz geometrije napisao je Euklid u 13 knjiga pod nazivom
“Euklidovi elementi”(pisano 300.godine pre nove ere).Ovo delo daje prvu strogo
logičku celinu u konstrukciji geometrije,odnosno deduktivni pristup u izgradnji
geometrije.U njemu je izlaganje u toj meri besprekorno za svoje vreme da su u toku dve
hiljade godina od pojave “Elementi” bili jedini udžbenik za one koji su učili
geometriju.Menutim, ako su Euklidovi elementi u toku mnogih stoleća bili uzor
besprekornosti,oni ni iz daleka ne dostižu nivo današnje strogosti izlaganja.Čitav niz
definicija ili je besprekoran ili imaju neznatne,lako otklonljive
nedostatke.Jedanaesta,dva naesta i trinaesta knjiga Euklidovih Elemenata govore o
geometriji prostora-stereometriji.U jedanaestoj knjizi Euklid definiše pojam tela na
sledeći način “telo ono što ima dužinu,širinu i dubinu(visinu)”Takone u ovo knjizi
Euklid definiše cilindar,sferu i konus ne kao “prostorne figure”već samo kao figure. I
pored pomenutih
nedostataka Euklidovi elementi pedstavljaju jedno od najvažnijih dela u matematici sa
stanovništva deduktivnog zasnivanja geometrije kao nauke.Na osnovu svega ovog može
se zaključiti da je elementarna (euklidska)geometrija doživela najveći procvat u epohi
rananja matematike,a da se nadalje dogranivala i usavršavala.
n
i
m
.se
w
w
w
s
r
.
d
ir a
s
r
.
d
a
r
i
k
s
r
.
d
kira
s
r
.
d
a
r
i
k
e
s
.
w
ww
s
r
.
d
ira
k
s
r
ina
ww
m
e
s
w.
e
s
.
w
ww
s
r
.
ad
r
i
k
s
ar
n
i
m
.se
1 N.
w
w
w
e
s
.
w
ww
I. Lobačevski
1.UVODNI POJMOVI
U ovom radu upoznaćemo se sa geometrijskim telima koja su ograničena kružnim i
drugim „krivim“ površima tj. sa geometrijskim telima koja nastaju obrtanjem
(rotacijom) neke geometrijske figure oko ose obrtanja (rotacije).
Telo ograničeno jednom obrtnom površi, ili delom obrtne površi i ravnima
normalnim na osu rotacije, naziva se obrtno ili rotaciono telo.
s
r
.
d
kira
s
r
a
in
m
e
s
w.
1.1 CILINDRIČNA POVRŠ I VALJAK
Površ obrazovana kretanjem prave po nekoj proizvoljnoj krivoj liniji,tako da je
normalna na ravan u kojoj se ta linija nalazi naziva se cilindrična površ(sl.1).
ww
w
e
s
.
ww
Prava koja izvodi kretanje je izvodnica ili generatrisa,a kriva po kojoj se vrši kretanje
k
s
r
na
s
r
.
irad
w
w
w
s
r
.
d
a
r
i
k
k
w
w
w
r
i
k
s
ar
s
r
.
ad
je vodilja ili direktrisa cilindrične površi.Vodilja cilindrične površi može da bude prosta
ili složena.Cilindrična površ kojoj je vodilja prosta linija i nigde ne seče samu sebe
nazivamo prostom u protivnom cilindrična površ je složena.Cilindrična površ može biti
otvorena ako je vodilja cilindrične površi otvorena linija u protivnom cilindrična površ
je zatvorena (sl.1).
Ako se za vodilju cilindrične površi uzme krug čija je ravan normalna na izvodnicu,
dobija se prava kružna cilindrična površ. Ako ta ravan nije normalna na izvodnicu
dobija se kosa kružna cilindrična površ. Presek cilindrične površi i ravni normalne na
izvodnicu naziva se normalan presek koji predstavlja kružnicu(sl.2).
Posmatrajmo cilindričnu površ kod koje je izvodnica normalna na ravan vodilje.
Presečemo li ovu površ dvema paralelnim ravnima normalnim na ivicu, dobijamo
geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične
površi, čije su izvodnice normalne na ravni tih krugova što prestavlja prav kružni
valjak(sl.3).
Kružne površi-krugovi su osnove valjka, a deo cilindrične površi izmenu osnova je
omotač valjka. Duž normalna na osnove, sa krajnjim tačkama u osnovama naziva se
visina valjka.
Duž koja spaja središta osnova valjka naziva se osa valjka. Izvodnice cilindrične površi
koje pripadaju omotaču valjka zovu se izvodnice valjka.
Pravi valjak može postati rotacijom pravougaonika ABCD oko jedne stranice(sl.4).Sa
slike se jasno vidi da stranice AD i BC opisuju krugove-osnove valjka, a stranica CD
opisuje cilindričnu površ-omotač valjka.Stranica AB je visina valjka i koja sadrži osu
valjka.
S obzirom da je valjak rotaciono telo,postoje beskonačno mnogo ravni simetrije koje
seku valjak tako da sadrže njegovu osu(sl.6).Takone postoji jedna ravan simetrije koja
seče izvodnice valjka po sredini,i koja je na njih normalna(sl.5).A presek valjka i ravni
kojoj pripada osa valjka,naziva se osni presek valjka.(sl.7)Presek valjka sa ravni koja
prolazi kroz njegovu osu je pravugaonik čije su dve stranice izvodnice valjka, a ostale
dve prečnici osnova.
Presek valjka sa ravni koja je paralelna njegovoj osi je pravougaonik čije su dve stranice
izvodnice,a ostale dve tetive osnova(sl.9).Preseci valjka sa ravnima normalnim na osu
su podudarni krugovi.Presek valjka i ravni koja nije normalna na izvodnicu i nije
paralelna sa izvodnicom je kriva linija koja se naziva elipsa.(sl.8)Ravan koja je paralelna
osi valjka ,čije je rastojanje od ose jednako poluprečniku osnove, sadrži jednu izvodnicu
valjka i sa cilindričnom površi nema drugih zajedničkih tačaka pedstavlja tangentnu
ravan valjka(sl.9).
n
i
m
.se
w
w
w
s
r
.
d
ir a
s
r
.
d
a
r
i
k
s
r
.
d
kira
s
r
.
d
a
r
i
k
e
s
.
w
ww
s
r
.
d
ira
k
s
r
ina
ww
m
e
s
w.
e
s
.
w
ww
s
r
.
ad
r
i
k
s
ar
n
i
m
.se
w
w
w
e
s
.
w
ww
s
r
.
d
kira
KONUSNA POVRŠ I KUPA
Površ koja nastaje kretanjem prave po krivoj liniji i prolazi kroz jednu stalnu tačku koja
je van ravni kojoj pripada kriva linija naziva se konusna površ.
Stalna tačka S , kroz koju prolazi prava je vrh konusne površi.Prava koja opisuje
cilindričnu površ je izvodnica ili generatrisa. Kriva po kojoj se vrši kretanje prave je
vodilja ili direktrisa. (sl.11) Konusna površ kojoj je vodilja prosta linija i nigde ne seče
samu sebe nazivamo prostom u protivnom konusna površ je složena.Konusna površ
s
r
a
in
m
e
s
w.
ww
w
e
s
.
ww
k
s
r
na
s
r
.
irad
Download

7288-Matematika-Obrtna tela