1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4
15
Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
¨
Oncelikle
¸sunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (xn ), X’de bir dizi ve x ∈ X
ise
limn→∞ d(xn , x) = 0 =⇒ limn,m→∞ d(xn , xm ) = 0
ifadesi do˘grudur. R’de verilen bir (xn ) dizisi i¸cin ise,
∃x, limn→∞ |xn − x| = 0 ⇐⇒ limn,m→∞ |xn − xm | = 0
ifadesi de her zaman do˘
grudur. Buna kar¸sın bir (X, d) metrik uzayaında bir
(xn ) dizisi i¸cin ,
∃x ∈ X, limn→∞ d(xn , x) = 0 ⇐⇒ limn,m→∞ d(xn , xm ) = 0
ifadesi genel olarak do˘
gru de˘
gildir. Bu ifadeyi do˘gru yapan metrik uzayların
¨onemli ¨ozellikleri vardır. Bu b¨
ol¨
umde bu kavramla ilgili temel sonu¸clar verilecektir.
Tanım 1.6. (X, d) bir metrik uzay, (xn ), X’de bir dizi ve x ∈ X olmak u
¨zere
d(xn , x) → 0
ise (xn ) dizisi x’ye yakınsıyor denir.
limn,m→∞ d(xn , xm ) = 0
ise, (xn ) dizisine Cauchy dizisi denir.
(X, d) metrik uzayında (xn ) dizisi x’e yakınsıyor ise xn → x ya da limn xn =
x yazabilirız.
xn → x, xn → y =⇒ x = y
oldu˘gu barizdir. Her yakınsak dizinin Cauchy oldu˘gu,
|d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z)|
e¸sitsizli˘ginin bir sonucudur.
Tanım 1.7. (Frechet, 1906) (X, d) metrik uzay olsun. X’deki her Cauchy
dizisi yakınsak ise X’e tam metrik uzay denir.
¨
Ornekler
1.22. Tam metrik uzayın altuzayı tam olmak zorunda de˘
gildir. Ger¸cekten R’nin metrik altuzayı Q tam de˘
gildir.
1.23. Tam metrik uzayın kapalı altuzayı tamdır.
16
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1.24. X bo¸s k¨
umeden farklı bir k¨
ume ve (Y, d) tam metrik uzay olsun. B(X, Y ), X’den Y
tanımlı sınırlı fonksiyonların k¨
umesi olsun. Yani,
B(X, Y ) = {f ∈ Y X : supa,b∈X d(a, b) < ∞}
olsun.
p(f, g) = supx∈X d(f (x), g(x))
¨
e¸sitli˘
gi ile tanımlanan d, B(X, Y ) u
¨zerinde bir metriktir. Ustelik
bu metri˘
ge g¨
ore B(X, Y )tam
uzaydır: p’nin metrik oldu˘
gu bariz. (fn ), B(X, Y )’de bir Cauchy dizisi olsun. Her x ∈ X
ve f ,g ∈ B(X, Y ) i¸cin
d(f (x), g(x)) ≤ p(f, g)
e¸sitsizli˘
ginden, (fn (x) dizisinin Y ’de Cauchy dizisi oldu˘
gu elde edilir. Dolayısı ile
fn (x) → f (x)
o
¨zelli˘
ginde f ∈ Y
X
vardır. Ayrıca
supa,b∈X d(f (a), f (b)) < ∞
oldu˘
guda barizdir. Yani f ∈ B(X, Y ). > 0 verilsin. n,m ≥ n0 i¸cin p(fn , fm ) < o
¨zelli˘
ginde n0 ∈ N vardır. Her k ∈ N, n ≥ n0 ve x ∈ X i¸cin
d(fn (x), fn0 +k (x)) ≤ p(fn , fn0 +k ) < olmasından
p(fn , f ) < elde edilir. B¨
oylece fn → f oldu˘
gu g¨
osterilmi¸s olunur.
1.25. Euclidean R metrik uzayı tam oldu˘
gundan, yukarıdaki ¨
orne˘
gin bir sonucu olarak: X
bo¸sk¨
umeden farklı bir k¨
ume ve D, X’den R’ye tanımlı sınırlı fonksiyonların k¨
umesi,
yani
D = {f ∈ RX : supx∈X |f (x)| < ∞}
olsun. D,
d(f, g) = supx∈X |f (x) − g(x)|
metri˘
gine g¨
ore tam uzaydır.
(X, d) ve (Y, p) metrik uzaylar ve f : X → Y fonksiyonu her x, y ∈ X i¸cin
p(f (x), f (y)) = d(x, y)
¨ozelli˘ginde ise f ’ye izometri denir. Bir metrik uzay tam olmasa bile tam olan
bir metrik uzayın yo˘
gun alt uzayına izometriktir. Daha da fazlası:
Teorem 1.11. (Hausdorff, 1914) (X, d) bir metrik uzay olsun. i : X → Y ve
i(X) = Y ¨
ozlli˘ginde tam metrik uzay (Y, p) ve izometri i vardır.
Kanıt:
i¸cin
3
B, X’den R’ye tanımlı sınırlı fonksiyonlar k¨
umesi ve her f ,g ∈ B
p(f, g) = supx∈X |f (x) − g(x)|
3
Bu kanıt Kuratowski’ye aittir.
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
17
olmak u
¨zere (B, p)’nin tam metrik uzay oldu˘gunu yakarıda verilen ¨ornekten
biliyoruz. x0 ∈ X’i sabitliyelim.
i : X → B, i(x)(y) = d(x, y) − d(x0 , y)
e¸sitli˘gi ile verilen i fonksiyonun varlı˘
gını bariz.
p(i(x), i(y)) =
=
=
≤
=
≤
=
supt∈X |i(x)(t) − i(y)(t)|
supt∈X |(d(x, t) − d(x0 , t)) − (d(y, t) − d(x0 , t))|
supt∈X |d(x, t) − d(y, t)|
d(x, y)
|d(x, x) − d(y, x)|
supt∈X |(d(x, t) − d(y, t)|
p(i(x), i(y))
e¸sitsizliklerinden i’nin izometri oldu˘
gu g¨
or¨
ul¨
ur. Tam metrik uzayın kapalı altuzayı tam oldu˘
gundan, Y = i(X) alınarak kanıt tamamlanır.
Teorem 1.12. (Hausdorff, 1927) Y ve Z tam olmak u
¨ze (X, d), (Y, p), (Z, q)
metrik uzayları verilsin. f : X → Y ve g : X → Z fonksiyonları
Y = f (X) ve Z = g(X)
¨
ozelli˘ginde iki izometri olsun. Birebir ve ¨
orten h : Y → Z izometri vardır.
Kanıt: (an ) ve (bn ) dizileri verilsin.
(i) f (xn ) dizisini yakınsaması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul (g(xn )) dizisinin
yakınsamasıdır.
(ii) lim f (an ) = lim f (bn ) ⇐⇒ lim g(an ) = lim g(bn )
oldu˘gunu g¨ostermek zor de˘
gildir. Bu g¨
ozlemelerin sonucu olarak
h : Y → Z, h(y) = lim g(xn ) (f (xn ) → y)
olarak tanımlanan fonksiyon istenilen ¨
ozelliktedir.
X ve Y metrik uzayları arasında ¨
orten izometrik var ise bu uzaylara izometrik
e¸sit uzaylar deriz.
Tanım 1.8. Y tam olmak u
¨zere X metrik uzayından Y metrik uzayına tanımlı
f (X) = Y ¨ozelli˘
ginde bir izometri var ise, Y ’e X’nin metrik uzay tamlaması
denir.
Yukarıdaki theoremin bir sonucu olarak, bir metrik uzayın metrik uzay
tamlamaları izometrik e¸sittir. Yine yukarıda verilen iki teoremin bir sonucu
olarak a¸sa˘gıdaki teoremi kanıtladık. Yine de farklı klasik bir kanıtını verece˘giz.
18
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
Teorem 1.13. (Hausdorff, 1914) Her metrik uzayın metrik uzay tamlaması
vardır.
Kanıt: Y0 , X u
¨zerindeki Cauchy dizilerinin k¨
umesi olsun. Her f ,g ∈ Y0 i¸cin,
f ≡ f :⇐⇒ lim d(f (n), g(n)) = 0
n
olarak tanımlansın. ≡, Y0 , da bir denklik ili¸skisi oldu˘gu bariz. Bu denklik
ili¸slisine g¨ore, Y , Y0 ’nın elemanlarının denklik sınıflarının k¨
umesi olsun. Yani,
her f ∈ Y0 i¸cin,
[f ] = {g ∈ Y0 : f ≡ g}
olmak u
¨zere Y = {[f ] : f ∈ Y0 } diyelim. Her x ∈ X i¸cin π0 (x)(n) = x olarak
tanımlanan π0 (x) dizisi Y0 ’nın elemanıdır.
(i) Her f , g ∈ Y0 i¸cin (d(f (n), g(n)) dizisi yakınsaktır.
(ii) p : Y × Y → R, p(f, g) = limn d(f (n), g(n)) olarak tanımlanan fonksiyon
bir metriktir.
(iii) π : X → Y , π(x) = [π0 (x)] olarak tanımlanan fonksiyon bir izometridir.
(iv) π(X) = Y dir.
Kanıt. [f ] ∈ Y verilsin.
p(π(f (n)), [f ]) = lim d(π0 (f (n))(k), f (k)) = lim d(f (n), f (k)) → 0)
k
k
istenilendir.
(iv) (Y, p) tam metrik uzaydır.
Kanıt: (Gn ), (Y, p) metrik uzayında Cauchy dizisi olsun. π(X) = Y oldu˘gundan
her n i¸cin,
1
p(Gn , π(xn )) <
n
¨
ozelli˘ginde, X’de (xn ) dizisi vardır.
d(xn , xm ) = p(π(xn ), Gn ) ≤ p(π(xn ), π(xm )) + p(π(xm ), Gm ) + p(Gn , Gm )
e¸sitsizli˘ginden (xn ) dizisinin X’de bir Cauchy dizisi oldu˘gu g¨
or¨
ul¨
ur. f (n) = xn
olmak u
¨zere, [f ] ∈ Y ve π(xn ) → [f ] dir.
p(Gn , [f ]) ≤ p(Gn , π(xn )) + p(π(xn ), [f ]) ≤
oldu˘gundan Gn → [f ] dir.
Alı¸stırmalar
1
+ p(π(xn ), [f ]) → 0
n
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
19
1.26. Euclidean R metrik uzayın alt uzayları Q ve R\Q’mın metrik tamlamalarının R oldu˘gunu
g¨
osteriniz.
1.27. R’nin alt uzayları (0, 1), [0, 1) ve (0, 1]’nin tamlamalarını belirleyiniz.
1.28. Bir metrik uzayın tam altuzayının kapalı oldu˘gunu g¨
osteriniz.
1.29. Ayrık topolojik uzayın tam oldu˘gunu g¨
osteriniz.
1.30. (X, d) tam metrik uzay olsun.
p : X × X → R, p(x, y) = min{1, d(x, y)}
olarak tanımlansın. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨
osteriniz.
(i) p, X u
¨zeinde tam metriktir.
(ii) d ve p, X u
¨zerinde aynı topolojiyi u
¨retirler.
1.31. (X, d) bir metrik uzay olsun. A ⊂ X k¨
umesini c
¸apı
r(A) = sup{d(a, b) : a, b ∈ A}
olarak tanımlanır. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨
osteriniz.
(i) X tam uzaydır.
(ii) (Fn ), X’nin bo¸s k¨
umeden farklı azalan (yani her n ∈ N i¸cin, Fn+1 ⊂ Fn ) kapalı
k¨
umelerin dizisi ve r(n), Fn ’nin a¸pı olmak u
¨zere lim r(n) = 0 ise ∩n Fn = ∅ dır.
(iii) {Fs : s ∈ S}, X’nin sonlu arakesit i¸slem kapalı, kapalı altk¨
umelerinin bir ailesi ve
her > 0 i¸cin r(Fs ) > 0 (Fs ’nin ¸capı) ¨
ozelli˘ginde s ∈ S var ise, ∩s∈S Fs 6= ∅ dır.
1.32. X = C[0, 1], [0, 1]’den R’ye tanımlı s¨
urekli fonksiyonların k¨
umesi ve X u
¨zerinde d ve p
metrikleri
R1
d(f, g) = supx∈[0,1] |f (x) − g(x)| ve p(f, g) = 0 |f (x) − g(x)|dx
olarak tanımlansın. (X, d)’nin tam fakat (X, p) uzayının tam olmadı˘gını g¨
osteriniz.
(X, d) uzayının tamlamasını belirleyiniz.
1.33. [0, 1]’den R’ye tanımlı polinomlar k¨
umesi P ([0, 1])’nin
d(f, g) = supx∈[0,1] |f (x) − g(x)|
metri˘gine g¨
ore tam olmadı˘gını g¨
osteriniz ve tamlamasını belirleyiniz.
1.34. [0, 1]’den R’ye tanımlı Riemann integrallenebilir fonksiyonlar k¨
umesi R([0, 1])’nin
R1
d(f, g) = 0 |f (x) − g(x)|dx
metri˘gine g¨
ore tam olmadı˘gını g¨
osteriniz ve tamlamasını belirleyiniz.
1.35. ((Xn , dn )) metrikQuzayların dizisi ve her n ve x,y ∈ Xn i¸cin dn (x, y) ≤ 1 oldu˘gunu
varsayalım. X = n Xn olarak tanımlansın.
P
d : X × X → R, d((xn ), (yn )) = n 21n dn (xn , yn )
olarak tanımlansın. A¸sa˘gıdakilerin do˘grulu˘gunu g¨
osteriniz.
(i) (X, d) bir metrik uzaydır.
(iii) (X, d)’nin tam olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul, her n ∈ N i¸cin (Xn , dn ) uzayının
tam olmasıdır.
Download

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması