6
1.2
1. Dizisel Topolojik Uzaylar
Dizisel Uzaylarda S¨
ureklilik
Bir topolojik uzay X’de U ⊂ X k¨
umesinin a¸cık olması gerek ve yeterli ko¸sulun,
X’de x ∈ U ’ya yakınsayan her netin en az bir kuyru˘gunun U tarafından kapsanması oldu˘
gu, problem olarak bırakılmı¸stı. Bunun dizisel versiyonu a¸sa˘gıdaki
gibidir.
Teorem 1.3. (X, τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin. A¸sa˘gıdakiler denktir.
i.) A dizisel a¸cıktır.
ii.) X uzayında bir f dizisi i¸cin f → x ve x ∈ A ise, f ’nin en az bir kuyru˘gu
A tarafından kapsanır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): Bu ¨
ozellikteki f dizisinin X \ A k¨
umesi tarafından kapsanan bir kuyru˘
gu yoktur. Buradan istenilen a¸cıca g¨or¨
ul¨
ur.
(ii) =⇒ (i): A dizisel a¸cik olmasın, yani A 6= X \ (scl(X \ A)) olsun. a ∈ A
ve a 6∈ X \ (scl(X \ A)) se¸celim. xn → x, xn ∈ X \ A olacak bi¸cimde bir (xn )
dizisi se¸cebiliriz. Varsayım gere˘
gi her n ≥ n0 i¸cin xn ∈ A olacak bi¸cimde n0
vardır ve bu bir c¸eli¸skidir.
A¸sa˘gıdaki teorem ¸sa¸sıtıcı de˘
gildir.
Teorem 1.4. X bir topolojik uzay ve τsqc , dizisel a¸cık k¨
umelerin k¨
umesi olsun.
τsqc , X u
¨zerinde bir topolojidir.
Kanıt: ∅, X ∈ τsqc oldu˘
gu bariz. A ve B iki dizisel a¸cık k¨
ume olsun. A ∩ B’nin
dizisel a¸cık olmadı˘
gını varsayalım. Her K ⊂ X i¸cin K ⊂ sqc(K) oldu˘gundan
X \ sqc(X \ (A ∩ B)) ⊂ A ∩ B
dir. x ∈ X, x 6∈ X \ sqc(X \ (A ∩ B)) olsun. x ∈ sqc(X \ (A ∩ B)) oldu˘gundan,
f → x ¨ozelli˘
ginde X \ (A ∩ B)’de f dizisi vardır. X \ A’de ya da X \ B’de olan
f ’nin bir altdizisi g vardır. g’nin X \ A’da oldu˘gunu varsayalım. g → x ve A
dizisel a¸cık oldu˘
gundan x 6∈ A dolayısıyla x 6∈ A ∩ B dir.
(Ai )i∈I , τsqc ’de bir aile olsun. x ∈ X, x 6∈ X \ (sqc(X \ (∪i Ai )) verilsin. x ∈
sqc(X \ (∪i Ai ) oldu˘
gundan f → x ¨
ozelli˘ginde X \ (∪i Ai ), f dizisi vardır. Aynı
zamanda her i ∈ I i¸cin f dizisi X \ Ai ’dedir. Ai ’ler dizisel a¸cık olduklarından
x 6∈ Ai dolayısıyla x 6∈ ∪i Ai . Buradan
X \ (sqc(X \ (∪i Ai )) = ∪i Ai
elde edilir. B¨
oylece istenilen kanıtlanmı¸s olur.
Teorem 1.5. X bir topolojik uzay olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
1.2. Dizisel Uzaylarda Sureklilik
¨
7
(i) X dizisel topolojik uzaydır.
(ii) Her Y topolojik uzayı i¸cin verilen bir f : X → Y fonksiyonunun s¨
urekli
olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸cul, X’de xn → x oldu˘gunda Y ’de f (xn ) →
f (x) olmasıdır.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): Y topolojik uzay ve f : X → Y fonksiyonu verilsin. f
s¨
urekli olma durumunda
xn → x =⇒ f (xn ) → f (x)
oldu˘gu bariz. S¸imdi gerektirmenin do˘
grulu˘gunu kabul edelim. f ’nin s¨
urekli
−1
olmadı˘gını varsayalım. f (U ) a¸cık olmayacak bi¸cimde a¸cık U k¨
umesi vardır.
X dizisel a¸cık oldu˘
gundan f −1 (U ) dizisel a¸cık de˘gildir ve dolayısıyla xn → x ∈
f −1 (U ) ¨ozelli˘ginde X \ f −1 (U )’da (xn ) dizisi vardır. Varsayım gere˘gi f (xn ) →
f (x) ∈ U . (f (xn )) dizisi Y \ U kapalı k¨
umesinde oldu˘gundan f (x) ∈ Y \ U
elde edilir ki, bu bir ¸celi¸skidir.
(ii) =⇒ (i): X’nin dizisel topolojik uzay olmadı˘gını varsayalım. X u
¨zerindeki
topoloji τ ile g¨osterelim. Dizisel a¸cık k¨
umelerin k¨
umesi τsqc olmak u
¨zere, τ ⊂
τseq oldu˘gunu biliyoruz. X dizisel topolojik uzay olmadı˘gından,
I : (X, τ ) → (X, τseq ), I(x) = x
olarak tanımlanan fonksiyon s¨
urekli de˘
gildir. Di˘ger taraftan (X, τ ) uzayında
xn → x ise, Teorem ??? gere˘
gi bu yakınsam (X, τseq ) uzayında da do˘grudur.
(ii) gere˘gi, I s¨
ureklidir. Halbuki de˘
gil. Bu ¸celi¸ski kanıtı tamamlar.
Teorem 1.6. Dizisel topolojik uzayın her a¸cık altuzayı dizisel topolojik uzaydır.
Kanıt: X dizisel topolojik uzay ve Y , X’nin a¸cık altuzayı olsun. Z bir topolojik uzay olmak u
¨zere f : Y → Z, fonksiyonu
xn → x =⇒ f (xn ) → f (x)
o¨zelli˘ginde olsun. f ’nin s¨
urekli olmadı˘
gını varsayalım. f −1 (U ), X’de a¸cık olmayacak bi¸cimde Z’nin a¸cık altk¨
umesi U vardır. f −1 (U ), X’de de a¸cık de˘gildir.
X dizisel oldu˘gundan, f −1 (U ), X’de disizel a¸cık olamaz. Yani,
f −1 (U ) 6= X \ sqc(X \ f −1 (U ))
dır. x ∈ f −1 (U ) ve x ∈ sqc(X \f −1 (U )) se¸cebiliruz. Ayrıca, xn → x ¨ozelli˘ginde,
X \ f −1 (U ) da (xn ) dizise vardır.
N = {n : xn ∈ Y } ∪ {n : xn ∈ X \ Y }
8
1. Dizisel Topolojik Uzaylar
oldu˘gundan, (xn )’nin ¨
oyle ber altdizisi vardır ki, (xnk ) ya Y ’dedir ya da X \ Y
dedir.
1.durum: Varsayalım ki, her n i¸cin xkn ∈ Y . Y uzayında xkn → x olaca˘gından
varsayım gere˘
gi f (xkn ) → f (x) olacaktır. f (x) ∈ U oldu˘gundan, (f (xkn )) dizisinin en az bir kuyru˘
gu U tarafından kapsanır ve dolayısı ile (xkn ) dizisinin
en az bir kuyru˘
gu f −1 (U ) tarafından kapsanır ki, bu c¸eli¸skidir.
O halde a¸sa˘gıdaki durum ger¸ceklenir.
2.durum: Her n i¸cin xkn ∈ X \ Y . Y a¸cik oldu˘gundan X \ Y kapalıdır. Dolayısıyla (xkn ) dizisinin limilti olan x ∈ f −1 (U ) ⊂ Y , X \ Y ’nin bir elemanıdır
ki, bu durum c¸eli¸skidir.
f ’nin s¨
urekli olmadı˘
gı varsayalımı ¸celi¸ski u
¨retmi¸stir. O halde f s¨
ureklidir.
Yukarıdaki teorem dere˘
gi Y dizisel topolojik uzaydır.
Alı¸stırmalar
1.9. Dizisel topolojik uzayın her kapalı altuzayının dizisel topolojik uzay oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Download

1.2 Dizisel Uzaylarda Süreklilik