10
1. Topolojik Uzaylar
1.4
Topolojinin Tabanı
Bir matematiksel yapının en etkin ve hizli anla¸sılmasının yollarından biri o
yapıyı ”¨
ureten”, ” taban kavramını” iyi analiz edebilmektir. Bu nedenle bir
topolojinin, topolojik uzayın taban kavramını tanımlamadan yola devam etmek kolay olmayabilir.
Bu kısımda bir topolojik uzayın tabanı ve onunla ilgili temel sonu¸clarco˘gunlukla problemler kısmında verilecektir.
X bo¸s k¨
umeden farklı bir k¨
ume olamak u
¨zere, B ⊂ P(X) k¨
umesi sonlu
arakesit i¸slem kapalı ve 6= ∅ = ∪U = Y ise,
τ = {∪V ∈V V : V ⊂ U},
k¨
umesi Y u
¨zerinde bir topoloji olmasına kar¸sın, X = Y olmadı˘gı s¨
urece, X
u
¨zerinde bir topoloji de˘
gildir. Ger¸cekten X u
¨zerinde topoloji olması i¸cin gerekli
ve yeterli ko¸cul X = Y olmasıdır.
Tanım 1.9. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. B ⊂ τ k¨
umesi verilsin. X’nin
bo¸s k¨
umeden farklı her a¸cık k¨
umesi, B’nin bazı elemanlarının birle¸simi olarak
yazılabiliyor ise, yani,
τ \ {∅} ⊂ {∪U : U ⊂ B}
ise, B’ye X uzayının ( ya da τ topolojisinin) topolojik tabanı ya da a¸
cık
tabanı denir.
Birka¸c g¨ozlem yapalım: (X, τ ) bir topolojik uzay olsun.
- τ, X u
¨zerinde bir topoloji ise, τ , X uzayı i¸cin bir topolojik tabandır.
Elbet de bu taban, ilgin¸c bir taban de˘gildir.
- Bazı topolijik uzayıların tabanların elemanları tek elemanlı k¨
umelereden
¨
olu¸sabilir. Orne˘
gin, τ , X u
¨zerinde en ince topoloji ise,
{{x} : x ∈ X},
bu uzayın topolojik tabanıdır ve bo¸s k¨
umeyi i¸cermez.
- τ, X u
¨zeindeki en kaba topoloji ise, bu uzayın tek bir tane tabanı vardır
ve o de B = {X} dir.
- B, X uzayının bir tabanı ise, U , V ∈ B ve x ∈ U ∩ V oldu˘gunda,
x∈W ⊂U ∩V ¨
ozelli˘
ginde W ∈ B vardır.
- X u
¨zerinde B = {∅} tarafından u
¨retilen topoloji τ = {∅, X} olmasına
kar¸sın, B bir topolojik taban de˘
gildir.
1.4. Topolojinin Tabanı
11
A¸sa˘gıki teoremin kanıtı barizdir.
Teorem 1.3. X bo¸sk¨
umeden farklı bir k¨
ume olmak u
¨zere
τ = {∪V ∈V V : V ⊂ B}
olsun. A¸sa˘gıdakiler denktir.
(i) τ bir topolojidir.
(ii) B, (X, τ ) uzayının bir topolojik tabandır.
(iii) τ , B tarafından u
¨retilen topolojidir.
Bir topolojik uzayın tabanı sonlu arakesit i¸slem kapalı olamayabilir. Ama
¨
¨
olması bazı i¸slemleri kanıtları kolayla¸stırır. Orne˘
gin, Alexander’in Ontaban
¨
Teoremi’nde (Theorem ???) Alexander’in Ontaban Teoremi kullanılacaktır.
Bu nedenle a¸sa˘
gıdaki tanımlama anlamlıdır.
Tanım 1.10. (X, τ ) bir topolojik uzay ve B0 bo¸s k¨
umeden farklı bir k¨
ume
olmak u
¨zere,
B = {∩ni=1 Bi : n ∈ N, Bi ∈ B0 }
X uzayının bir tabanı ise, B0 ’ye bu uzayın ¨
ontabanı denir.
Bir (X, τ ) bir topolojik uzay olmak u
¨zere, τ topolojinin birden fazla tabanı olabilir. Elemanları kardinaller olan bir k¨
ume iyi sıralı k¨
ume oldu˘gundan,
elemanları X’nin tabanlarının kardinaliteleri olan k¨
umenin en k¨
u¸cu
¨k elemanı
vardır. Bu g¨ozlem nedeniyle a¸sa˘
gıdaki tanımıları vermek anlamlıdır ve kullanılacaktır.
Tanım 1.11. X bir topolojik uzay olsun.
w(X) = min{|B| : BX’nin topolojik tabanıdır}
olarak tanımlanan w(X)’e topolojik uzayın a˘
gırlı˘
gı denir.
Tanım 1.12. X topolojik uzay ve w(X) ≤ ℵ0 ise, X’e ikinci dereceden
sayılabilir uzay denir.
Tanım 1.13. (X, τ ) bir topolojik uzay, x ∈ X verilsin.
B(x) ⊂ {U ∈ τ : x ∈ U }
k¨
umesi ”verilen her U ∈ X ve x ∈ U i¸cin V ⊂ U olacak bi¸cimde V ∈ B(x)
vardır” ¨ozelli˘gini sa˘
glıyor ise, B(x)’e, x noktasının bir a¸cık tabanı denir.
12
1. Topolojik Uzaylar
Tanım 1.14. X bir topolojik uzay u
¨zere her x ∈ X i¸cin x noktasının topolojik
tabanlarının k¨
umesini Bx olmak u
¨zere,
w(x, X) = min{|B| : B ∈ Bx }
ile tanımlanan ve ¨
osterilen w(x, X) kardinal sayısına, x noktasının karakteri
denir.
Bir X topolojik uzayında her x ∈ X i¸cin w(x, X) ≤ w(X) oldu˘gu barizdir.
Dolayısı ile
χ(X) = sup{w(x, X) : x ∈ X}
vardır ve X uzayının karakteri denir. Uzayın karakteri ℵ0 ’den daha k¨
u¸cu
¨k
ya da e¸sit ise, yani χ(X) ≤ ℵ0 ise X’e birinci dereceden sayılabilir uzay
denir.
Alı¸stırmalar
1.30. X bo¸sk¨
umeden farklı bir k¨
ume ve B ⊂ P(X) verilsin. A¸sa˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) B, X u
¨zerinde B tarafından u
¨retilen topoloji i¸cin bir tabandır.
(i) X = ∪B∈B B ve B1 , B2 ∈ B olmak u
¨zere x ∈ B1 ∩ B2 oldu˘
gunda x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2
o
¨zelli˘
ginde B ∈ B vardır.
1.31. τ , X u
¨zerinde B tarafından u
¨retilen topolojinin bir o
¨ntabanının B ∪ {X} oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
1.32. X bo¸sk¨
umeden farklı bir k¨
ume olmak u
¨zere, B ⊂ P(X) tarafından u
¨retilen topolojinin
tabanının
{∩U ∈U U : U ⊂ B sonlu}
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.33. X k¨
umesi u
¨zerinde tanımlı en kaba topolojinin, yani {∅, X} topolojisinin tabanı ve
o
¨ntabanının {X} oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.34. X k¨
umesi u
¨zerinde tanımlı en ince topolojinin, yani P(X) topolojisinin tabanı ve o
¨ntabanının {{x} : x ∈ X} oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.35. τ , X u
¨zerinde en ince topoloji olsun. A¸sa˘
gıdakileri g¨
osteriniz.
(i) Her x ∈ X i¸cin w(x, X) = 1.
(ii) χ(X) = 1.
(iii) w(X) = |X|.
1.36. B, bir X topolojik uzayının bir a¸cık tabanı ise, her x ∈ X i¸cin,
B(x) = {U ∈ X : x ∈ U }
olarak tanımlanan k¨
ume, x noktasının a¸cık tabanıdır.
1.37. Bir X topolojik uzayında her x ∈ X i¸cn B(x), x noktasının a¸cık tabanı ise,
B = ∪x∈X B(x)
k¨
umesinin, bir a¸cık taban oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.4. Topolojinin Tabanı
13
1.38. (X, τ ) bir topolojik uzay, B bu uzayın bir topolojik tabanı ve ∅ 6= Y ⊂ X verilsin. τB , Y
u
¨zerinde tanımlanan τY = {Y ∩ U : U ∈ τ } topolojisi i¸cin bir taban oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.39. B bir topolojik uzay X i¸cin bir taban olsun. Bo¸sk¨
umeden farklı her B ∈ B i¸cin xB ∈ B
se¸clim.
A = {xB : ∅ =
6 B ∈ B}
k¨
umesinin yo˘
gun oldu˘
gunu, yani A = X oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.40. Ikinci sayılabilir topolojik uzayların ayrılabilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Kanıt: X bir topolojik uzay ve {Un : n ∈ N}, X’nin sayılabilir bir tabanı olsun. Her
n ∈ N i¸cin xn ∈ Un se¸celim. A = {xn : n ∈ N}, X’de yo˘
gundur.
1.41. (X, τ ) bir topolojik uzay ve B a¸cık taban ise |X| ≤ |P(B)| olması i¸cin yeterli ko¸sulu
belilryiniz
Kanıt: Her x ∈ X i¸cin B(x) = {U ∈ B : x ∈ U } olarak tanımlayalım. B(x) = B(y)
durumunda x = y olsun
X → {B(x) : x ∈ X} ⊂ P(B),
x → B(x)
olarak tanımlanan fonksiyon 1-1 dir. Bu kanıtı tamamlar.
1.42. (X, τ ) bir topolojik uzay, A, X’nin yo˘
gun alt k¨
umesi (yani A = X) ise
|X| ≤ |P(P(A))|
olması i¸cin yeterli ko¸slu belirleyiniz.
Kanıt: Her x ∈ X i¸cin B(x) = {U ∈ τ : x ∈ U } olmak u
¨zere,
A(x) = {U ∩ A : U ∈ B(x)}
olarak tanımlayalım. x 6= y i¸cin A(x) 6= A(y) oldu˘
gu varsayalım. Her a¸cık U ⊂ X i¸cin
U ∩ A = U olmasından hemen elde edilir.
X → {A(x) : x ∈ X} ⊂ P(P(A)),
x → A(x)
olarak tanımlanan fonksiyon 1-1 dir ve bu kanıtı tamamlar.
1.43. (H. Furstenberg, 1955) Her a,b ∈ Z, b > 0 i¸cin
Ba,b := a + bZ
olarak tanımlansın. A¸sa˘
gıdak’ler’n do˘
grulu˘
gunu g¨
osteriniz.
(i) x ∈ Ba,b ise Bx,b = Ba,b .
(ii) x ∈ Ba,b ∩ Bc,d ise x ∈ Bx,bd ⊂ Bx,b ∩ Bx,d .
(iii) a,b,c ∈ Z ve b,c > 0 i¸cin, d, b ve c’nin en k¨
uc¸u
¨k ortak katı olmak u
¨zere
Ba,b ∩ Ba,c = Ba,d .
(iv) x ∈ Z \ Ba,b ise x ∈ Bx,b \ Ba,b .
(v) B = {Ba,b : a, b ∈ Z, b > 0} k¨
umesi topolojik taban olma aksiyomlarını sa˘
glar.
Zu
¨zerinde B tarafından u
¨retilen topoloji τ olsun ve P asal sayıların k¨
umesini g¨
ostersin.
(vi) Bo¸sk¨
umeden farklı her a¸cık k¨
ume sonsuzdur.
(vii) ∪p∈P B0,b = Z \ {1, −1}.
(vii) (Euclid Theorem) P sonsuzdur.
1.44. R’de a¸sa˘
gıdaki k¨
umeleri tanımlıyalım.
14
1. Topolojik Uzaylar
(i) B1 = {(a, b) : a, b ∈ R}.
(ii) B2 = {[a, b) : a, b ∈ R}.
(ii) B3 = {(a, b] : a, b ∈ R}.
B1 , B2 , B3 k¨
umelerinin, kendileri tarafından u
¨retilen topolojiler i¸cin taban oldu˘
gunu
g¨
osteriniz. B2 tarafından u
¨retilen topolojiye alt limit topoloji ve B3 tarafından u
¨retilen
topolojiye u
¨ st limit topoloji denir. Bu topolojilerin biri di˘
gerinden daha ince midir? Bi
(i = 1, 2, 3) tanımında ”a, b ∈ R” yerine ”a, b ∈ Q” alındı˘
gında, bu k¨
umeler tarafından
u
¨retilen topolojilerin yapısını inceleyiniz.
1.45. R’de K = { n1 : n ∈ N} olmak u
¨zere B4 = {(a, b) \ K : a, b ∈ R} tarafından u
¨retilen
topolojik uzayın o
¨zelliklerini inceleyiniz.
1.46. (X, τ ) bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun.
|π(U)| ≤ |U| ve ∪π(U) = ∪U
o
¨zelli˘
ginde
π : P(τ ) \ {∅} → P(B) \ {∅}
fonksiyonunun varlı˘
gını g¨
osteriniz.
Kanıt: U ⊂ τ verilsin. Her ∅ =
6 U ∈ U i¸cin ∅ =
6 s(U ) ⊂ U o
¨zelli˘
ginde s(U ) ∈ B se¸celim.
π(U) = {s(U ) : U ∈ U}
olarak tanımlıyalım. Bu bi¸cimde tanımlanan π : P(τ ) \ {∅} → P(B) \ {∅} fonksiyonu
istenen ¨
ozelliktedir.
1.47. (X, τ ) bir topolojik uzay ve w(X) ≤ m olsun. ∅ 6= I olmak u
¨zere (Ui )i∈I , a¸cık k¨
umelerin
bir ailesi olsun.
I0 ⊂ I, |I| ≤ m ve ∪i∈I Ui = ∪i∈I0 Ui ,
o
¨zelli˘
ginde I0 k¨
umesinin varlı˘
gını g¨
osteriniz.
Download

1.4 Topolojinin Tabanı