10
1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık
1.5
Ascoli-Arzela Teoremi
X kompact metrik uzay ise, X’den R’ye tanımlı s¨
urekli fonksiyonlar k¨
umesi
C(X) u
¨zerinde,
d(f, g) = supx∈X |f (x) − g(x)|
fonksiyonunun bir metrik oldu˘
gunu biliyoruz.
X = {1, 2, ..., n} i¸cin C(X) metrik uzayı ile Rn Euclidean topolojik uzayı
birbirlerine homeomorphic uzaylardır. Di˘ger taraftan Rn uzayının kompakt
k¨
umelerinin sadece ve sadece sınırlı ve kapalı k¨
umeler oldu˘gunu biliyoruz.
Bu kısımda bu betimleme, keyfi kompakt merik uzay X i¸cin, C(X) metrik
uzayına genellenecektir. Bunun i¸cin ¨
oncelikle e¸ss¨
ureklilik kavramına ihtiya¸c
vardır. Tanım a¸sa˘
gıda.
Tanım 1.5. X bir topolojik uzay ve A ⊂ C(X) verilsin. x ∈ X verilsin. Her
> 0 i¸cin
supy∈U,f ∈A |f (x) − f (y)| < ¨ozelli˘ginde x’i i¸ceren bir U a¸cık k¨
umesi var ise, A k¨
umesi x noktasında e¸s
s¨
urekli denir. A k¨
umesi her x ∈ X noktasında e¸ss¨
urekli ise, A’ya e¸s s¨
urekli
denir.
A¸sa˘gıdaki teoremi vermeden ¨
once ¸sunu not edelim: (xn ) bir dizi, (xσ(n,1) )
bu dizinin altdizis ve her i i¸cin (xσ(n,i+1) ), (xσ(n,i) )’nin bir altdizisi olsun. Bu
durumda (xσ(n,n) ), (xn ) dizisinin bir altdizisidir.
Teorem 1.9. (Ascoli-Arzela) X compact uzay olsun ve C(X)’i supremum
metri˘gine g¨
ore tam metrik uzay olarak g¨
orelim. A ⊂ C(X) i¸cin a¸sa˘gıdakilere
denktir.
(i) A kompakt.
(ii) A kapalı, sınırlı ve e¸s s¨
ureklidir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): Bir Hausdorff uzayın kapalı compact altk¨
umelerinin kapalı
oldu˘gunu biliyoruz. Ayrıca bir metrik uzayın compact altk¨
umeleri sınırlıdır.
Dolayısıyla ile, metrik uzaylar Hausudorff oldu˘gundan, A kapalı ve sınırlıdır.
> 0 verilsin. {B(f, ) : f ∈ A}, A’nın a¸cık ¨ort¨
us¨
u oldu˘gundan,
A ⊂ ∪f ∈F B(f, )
o¨zelli˘ginde sonlu F ⊂ A k¨
umesi vardır. x ∈ X verilsin. F sonlu oldu˘gundan,
e¸s s¨
ureklidir, dolayısıyla
supf ∈F,y∈Vx |f (y) − f (x)| < 1.5. Ascoli-Arzela Teoremi
11
o¨zelli˘ginde x’i i¸ceren a¸cık Vx k¨
umesi vardır. f ∈ A verilsin. f ∈ B(g, )
¨ozelli˘ginde f ∈ F se¸celim. y ∈ Vx i¸cin,
|f (y) − f (x)| ≤ |f (y) − g(y)| + |g(y) − g(x)| + |g(x) − f (x)| < 3
e¸sitsizli˘ginden,
supf ∈A,y∈Vx |f (y) − f (x)| ≤ 3
elde edilir ki, bu A’nnn e¸s s¨
urekli oldu˘
gunun kanıtıdır.
(ii) =⇒ (i): Her k ∈ N ve y ∈ X i¸cin, A e¸ss¨
urekli oldu˘gundan
supf ∈A,x∈Vy,k |f (x) − f (y)| <
1
k
¨ozelli˘ginde Vy,k a¸cık k¨
umeleri vardır. X kompakt oldu˘gunda
X = ∪y∈Fk Vy,k
¨ozelli˘ginde sonlu Fk ⊂ X k¨
umesi de vardır.
F = ∪∞
k=1 Fk
diyelim. F sayılabilir bir k¨
umedir.
F = {xi : i ∈ N}
olarak yazabiliriz. A’da verilen bir (fn ) dizisinin, her i ∈ N i¸cin ¨oyle altdizi
(fσ(n,i) ) vardır ki,
(i) limn fσ(n,i) (xi ) var,
(ii) (fσ(n,i+1) ), (fσ(n,i) )’nin altdizisi,
dir.
Ger¸cekten, (fn (x1 )), R’de sınırlı oldu˘gundan, bu dizinin yakınsayan bir
(fσ(n,1) (x1 ) altdizisi vardır. Elbet de, (fσ(n,1) ), (fn )’nin bir altdizisidir. Aynı
¸sekilde (fσ(n,1) (x2 )), R’de sınırlı oldu˘
gundan, bu dizinin yakınsayan bir (fσ(n,2) (x2 )
altdizisi vardır. Yine, (fσ(n,2) ), (fσ(n,1) )’nin bir altdizisidir. Bu g¨ozlem kullanılarak t¨
umevarımla istenilen ¨
ozellikte altdiziler elde edilir.
Her n i¸cin hn = fσ(n,n) diyelim. (hn ) dizisi (fn )’nin bir altdizisidir. Bu
altdizinin Cauchy oldu˘
gunu g¨
osterirsek, C(X) tam metrik uzay oldu˘gundan,
(fn )’nin yakınsak bir altdizisinin varlı˘
gını g¨ostermi¸s olaca˘gız ki, Theorem ???
gere˘gi, kanıtın bu y¨
on¨
u de kanıtlanmı¸s olacak. Her i i¸cin (hn )n≥i dizisi, (fσ(n,i) )n≥i
dizisinin altdizisi oldu˘
gundan,
limn hn (xi )
12
1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık
limiti vardır. k ∈ N yi sabitliyelim.
y ∈ Fk , n, m > n0 =⇒ |hn (y) − hm (y)| <
1
k
¨ozelli˘ginde n0 se¸celim. x ∈ X verilsin. {Vy : y ∈ Fk }, X’nin bir ¨ort¨
us¨
u oldu˘gundan,
x ∈ Vy ¨ozelli˘
ginde x ∈ Vy se¸cebiliriz. Her n,m ≥ n0 i¸cin,
|hn (x) − hm (x)| ≤ |hn (x) − hn (y)| + |hn (y) − hm (y)| + |hm (y) − hm (x)| <
3
k
oldu˘gu a¸cıktır. Buradan da,
d(hn , hm ) ≤
3
k
elde edilir. k keyfi oldu˘
gundan, (hn )’nin bir Cauchy dizisi oldu˘gu kanıtlanmı¸s
olur. Bu kanıtı tamamlar.
Alı¸stırmalar
1.14. X bir topolojik uzay ve {fn : n ∈ N} ⊂ C(X) e¸s s¨
urekli olsun.
f (x) = limn fn (x)
o
¨zelli˘
ginde f : X → R fonksiyonu varsa, f ’nin s¨
urekli oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.15. f : [0, ∞) → R s¨
urekli olsun. Her n i¸cin,
fn : [0, ∞) → R, fn (x) = f (xn )
olarak tanımlansın. {fn : n ∈ N} k¨
umesinin x = 1 noktasında e¸s s¨
urekli olması i¸cin
gerekli ve yeterli ko¸sulun f ’nin sabit olması gerekti˘
gini g¨
osteriniz.
1.16. X kompakt metrik uzay ve A ⊂ X e¸s s¨
urekli olsun. A’nın d¨
uzg¨
un e¸s s¨
urekli oldu˘
gunu
g¨
osteriniz. Yani, her > 0 i¸cin,
d(x, y) < δ =⇒ supf ∈A |f (x) − f (y)|
o
¨zelli˘
ginde δ > 0 oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
urekli oldu˘
gunu
1.17. X compakt Hausdorff uzay olsun. A ⊂ C(X) e¸s s¨
urekli ise, A’nında e¸s s¨
g¨
osteriniz. Ilaveten A sınırlıysa, C(X) metrik uzayında A’nın kompakt oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Download

expoMED & NKU Biyomedikal 4. Sempozyum Gelecegin