¨
¨
˙ BOL
¨ UM
¨ U
¨
A.U.FEN
FAKULTES
I˙ MATEMATIK
˙
¨
¨
˙
MAT301 FINAL SORULARI ve C
¸ OZUMLERI
1. (a) G bir grup ve f : G → G, f (a) = a−1 ile tanımlı f fonksiyonu veriliyor. E˘
ger f
homomorfizma ise o zaman G de˘gi¸smeli midir? Ara¸stırınız.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: Kabul edelim ki f bir homomorfizma olsun. Bu durumda her a, b ∈ G
i¸cin f (ab) = f (a)f (b) e¸sitli˘gi sa˘glanır. B¨oylece her a, b ∈ G i¸cin (ab)−1 = a−1 b−1 dir.
Yani her a, b ∈ G i¸cin b−1 a−1 = a−1 b−1 e¸sitli˘gi sa˘glanır. Gerekli i¸slemler yapıldı˘
gında
her a, b ∈ G i¸cin ab = ba oldu˘gu kolayca g¨osterilebilir. Bu sebeple G de˘gi¸smelidir.
(b) Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z} k¨
umesinin kompleks sayıların bilinen c¸arpma i¸slemine g¨
ore
bir grup olup olmadı˘
gını ara¸stırınız.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: Z[i] k¨
umesinde her elemanın ¸carpımsal tersi mevcut de˘gildir (2 nin
¸carpımsal tersi yoktur). Bu sebeple Z[i] k¨
umesi kompleks sayıların bilinen ¸carpma
i¸slemine g¨
ore bir grup de˘gildir.
2. (a) R∗ = R \ {0} olmak u
¨zere R∗ k¨
umesi u
¨zerinde
xy , x > 0
xy =
x/y , x < 0
√
¸seklinde tanımlı i¸slemi veriliyor. − 2 ∈ R∗ ın i¸slemine g¨ore (varsa) tersini bulunuz.
√
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: R∗ k¨
umesinin i¸slemine g¨ore birim elemanı 1 dir. − 2 < 0 oldu˘gundan
√
√
√
√
(− 2) x = (−x 2) = 1 den x = − 2 elde edilir. Benzer ¸sekilde x (− 2) = 1
√
√
√
e¸sitli˘
gini sa˘
glayan x = − 2 olup − 2 ∈ R∗ ın i¸slemine g¨ore tersi − 2 dir.
(b) Z24 grubunu altgruplarının direkt toplamı olarak yazınız.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: G = Z24 de˘
gi¸smeli grubunu altguplarının direkt toplamı olarak yazalım.
3
|Z24 | = 24 = 2 · 3 olup Z24 grubunun Sylow 2 ve Sylow 3-altgrupları vardır. G2 ve
G3 aradı˘
gımız Sylow p-altgruplarıdır. Bu altgruplar
G2 = {x ∈ G : o(x) = 2r olacak bi¸cimde r ∈ Z+ ∪ {0} var}
= {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= h3i
G3 = {x ∈ G : o(x) = 3r olacak bi¸cimde r ∈ Z+ ∪ {0} var}
= {8, 16, 0}
= h8i
olup G = Z24 = h3i ⊕ h8i ¸seklinde altgruplarının direkt toplamı olarak yazılır.
3. (a) D4 =< a, b : a4 = b2 = e, b−1 ab = a3 > dihedral grubunun H =< a > altgrubu
veriliyor. H normal altgrup mudur? Ara¸stırınız.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: H =< a >= {a, a2 , a3 , e} oldu˘gundan [D4 : H] = 8/4 = 2 dir. Bu sebeple
H E D4 t¨
ur.
(b) G = Z25 toplamsal grubunun H =< 5 > normal altgrubu veriliyor. G/H b¨
ol¨
um
grubunun elemanlarını belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: H =< 5 >= {5, 10, 15, 20, 0} oldu˘gundan |G/H| = 25/5 = 5 dir. B¨oylece
G/H = {0 + H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H} ¸seklindedir.
4. (a) Mertebesi 28 olan bir grubun basit grup olup olmadı˘gını ara¸stırınız.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: |G| = 28 = 22 · 7 ¸seklinde asal ¸carpanlarına ayrıldı˘gından G grubunun
Sylow 2 ve Sylow 7-altgrupları vardır. G nin farklı Sylow 7-altgruplarının sayısı
n7 olmak u
¨zere n7 | 28 ve n7 ≡ 1 (mod 7) dir. Bu sebeple n7 = 1, 2, 4, 7, 14, 28
ve n7 = 1, 8, 15, 22, 29, . . . olup n7 = 1 bulunur. Dolayısıyla G nin bir tek Sylow
7-altgrubu vardır. Bu altgrubu P ile g¨osterirsek bu durumda P C G olur. Di˘
ger
m
m+1
taraftan 7 | |G| ve 7
- |G| olacak ¸sekilde m = 1 oldu˘gundan |P | = 7 dir, yani
P 6= {e} ve P 6= G oldu˘
gu g¨or¨
ul¨
ur. Bu sebeple mertebesi 28 olan bir grup basit grup
de˘
gildir.
(b) Mertebesi 400 olan ve birbirine izomorf olmayan b¨
ut¨
un de˘gi¸smeli grupları belirleyiniz.
¨ UM
¨
C
¸ OZ
: Mertebesi 400 olan ve birbirine izomorf olmayan b¨
ut¨
un de˘gi¸smeli grupları
4
2
belirleyelim. 400 = 2 · 5 olup 4 ve 2 nin par¸calanmaları
(4)
(3, 1)
(2, 2)
(2, 1, 1)
(1, 1, 1, 1)
(2)
(1, 1)
oldu˘
gundan Sonlu De˘
gi¸smeli Grupların Temel Teoremi gere˘gince p(4)p(2) = 5 · 2 = 10
tane birbirine izomorf olmayan de˘gi¸smeli grup vardır. B¨
ut¨
un bu gruplar
Z24 ⊕ Z52
Z23 ⊕ Z2 ⊕ Z52
Z22 ⊕ Z22 ⊕ Z52
Z22 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z52
Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z52
Z24 ⊕ Z5 ⊕ Z5
Z23 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z5
Z22 ⊕ Z22 ⊕ Z5 ⊕ Z5
Z22 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z5
Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z5
¸seklindedir.
2
Download

MAT301 Cebir I Final Soruları ve Çözümleri