¨
Y¨
uz¨
unc¨
u Yıl Universitesi
Matematik B¨
ol¨
um¨
u
Lineer Cebir-I Final Sınavı
FFMAT205 Lineer Cebir-I
˙
Isim:
Soyisim:
Numara:
1
2
1
3
1
4
1
Final Sınavı
26 Aralık 2014
˙
Imza
Yrd. Do¸c. Dr. Zeynep KAYAR
Saat: 13:00
1
S¨
ure: 100 Dakika
1
1 Toplam
1
1
1
UYARI: Bu sınav bu sayfa dahil 4 sayfadan ve 4 sorudan olu¸smaktadır. Sınav 110 puan
u
¨zerindendir ve her sorunun puanı soru ba¸sında belirtilmi¸stir. Sınavdan 100 puanın u
¨st¨
unde
alan ¨ogrencilerin notu 100 olarak alınacak, di˘ger ¨ogrencilerin ise aldı˘gı not ge¸cerli olacaktır.
Sorulara verilen cevaplar a¸cıklayıcı ve okunaklı olmalıdır. Yeterli a¸cıklamanın olmadı˘gı cevaplar yanlı¸s kabul edilecektir. Yukarıdaki ilk tablonun sol tarafına gerekli bilgileri yazınız, sa˘
g
˙
taraftaki imza kısmına imzanızı atınız. Ikinci
tabloya her sorudan alaca˘gınız puan ve toplam
puanınız yazılacaktır, bu y¨
uzden herhangi bir karalama yapmayınız. Her sayfanın ba¸sına ¨o˘grenci
numaranızı yazınız ve imzanızı atınız. Ba¸sarılar dilerim.

3 −1 1 −1
 1 −1 5
0 
 matrisinin rankını bulunuz.
1. (a) (20 puan) A = 
 0
1 3
0 
3
0 3 −1

C
¸¨
oz¨
um:

3
 1
A=
 0
3
A matrisinin rankı lineer ba˘
gımsız satır veya s¨
utunlarının sayısıdır. Bu y¨
uzden A’yı
basamaklı (e¸selon) matrise indirgeyip satır veya s¨
utun rankına bakaca˘gız.




−1 1 −1
3
−1
1 −1
3
−1
1 −1




−1 5
0  −R1 + R4 → R4  0 −2/3 14/3 1/3  −R3 + R4 → R4  0 −2/3 14/3 1/3
−−−−−−−−−−−−−→ 
−−−−−−−−−−−−−→ 
1 3
0  −R1
0
1
3
0  3R2
0
0
10 1/2
+ R2 → R2
+ R3 → R3
0 3 −1
0
1
2
0
0
0
−1
0
3
2


3
−1
1
−1
R3
+ R4 → R4 
0 −2/3 14/3 1/3 
10
=B
−−
−−−−−−−−−−→ 
 0
0
10 1/2 
0
0
0 1/20
A ve B matrisleri satırca denk olduklarından A ve B nin satır rankları e¸sittir. B nin
sıfırdan farklı satırları lineer ba˘
gımsız oldu˘gundan rank(B) = 4 = rank(A) dır.
(b) (10 puan) A matrisinin tersi, A−1 , var mıdır? Neden?
(NOT: C
¸¨
oz¨
um i¸cin (a) ¸sıkkında buldu˘gunuz matris rankını kullanınız, herhangi bir satır
i¸slemi yapmayınız.)
C
¸¨
oz¨
um:
Teorem: A ∈ Fn×n matrisinin tersinin olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul rank(A) = n
olmasıdır.
(a) ¸sıkkında verilen A matrisi 4×4 l¨
uk bir matris ve (a) ¸sıkkından rank(A) = 4 oldu˘gundan
Teorem gere˘
gince A matrisinin tersi vardır.




Numara:
˙
Imza:
2/4
2. (a) (20 puan) R4 uzayında H = Sp{(3, 1, −3, 7), (1, −2, −8, −7), (−1, 0, 2, −1), (0, 1, 3, 4)}
e¸sitli˘giyle verilen H alt uzayının bir tabanını bulunuz.
C
¸¨
oz¨
um:
Bir k¨
umenin bir uzayın tabanı olması i¸cin o k¨
umenin o uzayı germesi (yani u
¨retmesi)
¨
ve o k¨
umenin elemanlarının lineer ba˘gımsız olması gerekir. Urete¸
c k¨
umesi verildi˘ginden
sadece verilen vekt¨
orlerin hangilerinin lineer ba˘gımsız olduklarını g¨osterece˘giz. Bunun i¸cin
3 yolumuz var.
1. Yol: v1 = (3, 1, −3, 7), v2 = (1, −2, −8, −7), v3 = (−1, 0, 2, −1), v4 = (0, 1, 3, 4) olsun.
Verilen bu u
¨rete¸c elemanlarından (varsa) lineer ba˘gımlı olanları ayırmak i¸cin bu elemanları
(vekt¨orleri) tek tek kontrol edelim.
• v1 , v2 lineer ba˘
gımsızdır:
c1 v1 + c2 v2 = 0 olacak ¸sekilde c1 , c2 sayılarını bulalım.
3c1 + c2 = 0
c1 − 2c2 = 0
sisteminde c1 = c2 = 0 oldu˘gundan v1 , v2 lineer ba˘gımsızdır.
−3c1 − 8c2 = 0
Taban k¨
umesi {v1 , v2 } dir.
7c1 − 7c2 = 0

3
 1

 −3
7
• v1 , v2 , v3 lineer ba˘
gımlıdır:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 olacak ¸sekilde c1 , c2 , c3 sayılarını bulalım.
3c1 + c2 − c3 = 0
c1 − 2c2 = 0
−3c1 − 8c2 + 2c3 = 0
7c1 − 7c2 − c3 = 0
Sistemin geni¸sletilmi¸s katsayı matrisini kullanarak sistemin c¸¨oz¨
um¨
u olan c1 , c2 , c3
sayılarını bulalım.




1 −1
3
1 −1
3
1 −1
 1 −2
 R3 + R4 → R4  0 −7/3 1/3
−7R
+
R
→
R
−2
0 
0
2
4
4
 −−−−−−−−−−−−−−→ 
 −−−−−−−−−−−−−→ 
 0
−8
2 
−7
1
1  −R1
R1 + R3 → R3  0 −7
+
R
→
R
2
2
−7 −1
0
0
0
0
7 −1
3


3
1 −1

−3R + R → R3 
 0 −7/3 1/3 
−−−−−2−−−−3−−−−−→
 0
0
0 
0
0
0
c1 = 2c2 ve c3 = 7c2 oldu˘
gundan sistemin sıfırdan farklı ¸c¨oz¨
um¨
u vardır. Yani v1 , v2 , v3
lineer ba˘
gımlıdır. Taban k¨
umesi hala {v1 , v2 } dir.
• v1 , v2 , v4 lineer ba˘
gımlıdır:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v4 = 0 olacak ¸sekilde c1 , c2 , c3 sayılarını bulalım.
3c1 + c2 = 0
c1 − 2c2 + c3 = 0
−3c1 − 8c2 + 3c3 = 0
7c1 − 7c2 + 4c3 = 0
Sistemin geni¸sletilmi¸s katsayı matrisini kullanarak sistemin c¸¨oz¨
um¨
u olan c1 , c2 , c3
sayılarını bulalım.




˙
Imza:
Numara:

3
1 0
 1 −2 1

 −3 −8 3
7 −7 4

2/4


3
1
0
 −7R2 + R4 → R4  1 −2
1
 −−−−−−−−−−−−−−→ 


0
−7
3
R1 + R3 → R3
0
7 −3

3
1 0
 R3 + R4 → R4  0 −7/3 1
 −−−−−−−−−−−−−→ 
 −R
 0
−7 3
1
+ R2 → R2
0
0 0
3


3
1
0

−3R + R → R3 
 0 −7/3 4/3 
−−−−−2−−−−3−−−−−→
 0
0
0 
0
0
0
−1
7
c1 =
c2 ve c3 = c2 oldu˘gundan sistemin sıfırdan farklı c¸¨oz¨
um¨
u vardır. Yani
3
4
v1 , v2 , v4 lineer ba˘
gımlıdır. Taban k¨
umesi hala {v1 , v2 } dir.
Sonu¸c olarak H alt uzayının bir tabanı {v1 , v2 } = {(3, 1, −3, 7), (1, −2, −8, −7)} dir.
2. Yol: v1 = (3, 1, −3, 7), v2 = (1, −2, −8, −7), v3 = (−1, 0, 2, −1), v4 = (0, 1, 3, 4) olsun. Verilen bu u
¨rete¸c elemanlarından lineer ba˘gımsız olanları bulmak i¸cin bu elemanları
(vekt¨orleri) bir matrisin satırları olarak yazıp, bu matrisi basamaklı matrise indirgeyerek
lineer ba˘
gımsız (sıfırdan farklı) satırları bulalım.




3
1 −3
7
3
1 −3
7
R1
+ R3 → R3
 1 −2 −8 −7 

3−−−−−−−−−−→ 
 −−−
 0 −7/3 −7 −28/3 
A=
 −1


0
2 −1
0
1/3
1
4/3 
−R1
+
R
→
R
2
2
0
1
3
4
0
1
3
4
3


3
1 −3
7
3R2
+ R4 → R4

7−−−−−−−−−−→ 
 0 −7/3 −7 −28/3  = B
−−−

0
0
0
0 
R2
+ R3 → R3
0
0
0
0
7
1. Sonu¸
c: A ve B matrisleri satırca denk oldukları i¸cin B’nin lineer ba˘gımsız (sıfırdan
farklı) satırları A ve B i¸cin taban olu¸sturur.
Yani H alt uzayının bir tabanı {(3, 1, −3, 7), (0, −7/3, −7, −28/3)} dir.
2. Sonu¸
c: A ve B matrisleri satırca denk oldukları i¸cin B’nin lineer ba˘gımsız (sıfırdan
farklı) satırlarına kar¸sılık gelen A’nın satırları A i¸cin taban olu¸sturur. B’nin ilk 2 satırı
lineer ba˘
gımsız oldu˘
gundan A’nın da ilk 2 satırı lineer ba˘gımsızdır.
Yani H alt uzayının bir tabanı {(3, 1, −3, 7), (1, −2, −8, −7)} dir.
3. Yol: v1 = (3, 1, −3, 7), v2 = (1, −2, −8, −7), v3 = (−1, 0, 2, −1), v4 = (0, 1, 3, 4) olsun. Verilen bu u
¨rete¸c elemanlarından lineer ba˘gımsız olanları bulmak i¸cin bu elemanları
(vekt¨orleri) bir matrisin s¨
utunları olarak yazıp, bu matrisi basamaklı matrise indirgeyerek
lineer ba˘
gımsız s¨
utunları bulalım.




3
1 −1
0
3
1 −1 0
 1 −2
−7R2 + R4 → R4 
0 1 
1 −2
0
1 
 −

A=
−−−−−−−−−−−−−→ 

 −3 −8

2 3
0 −7
1
3 
R1 + R3 → R3
0
7 −1 −3
7 −7 −1 4


3
1 −1
0
R + R4 → R4 
0 −7/3 1/3 1/3 

−−−3−−−−−
−−−−−→ 
 0
−7
1
3 
−R1
+ R2 → R2
0
0
0
0
3


3
1 −1
0

−3R + R → R3 
 0 −7/3 1/3 1/3  = B
−−−−−2−−−−3−−−−−→
 0
0
0
0 
0
0
0
0




˙
Imza:
Numara:
2/4
S¸imdi B matrisinin hangi s¨
utunlarının lineer ba˘gımsız oldu˘gunu bulmak i¸cin bu s¨
utunları
tek tek kontrol edelim.
• 1. ve 2. s¨
utunlar lineer ba˘
gımsızdır:





3
1
0
 0 
 −7/3 
 0


 =
c1 
 0  + c2 
 0
0 
0
0
0




olacak ¸sekilde c1 , c2 sayılarını bulalım.
c1 = c2 = 0 oldu˘
gundan B matrisinin 1. ve 2. s¨
utunları lineer ba˘gımsızdır.
• 1., 2. ve 3. s¨
utunlar lineer ba˘gımlıdır:






1
3
−1
0
 0
 1/3 
 −7/3 
 0 

 + c3 



c1 
 0  = 0
 0  + c2 
0 
0
0
0
0





olacak ¸sekilde c1 , c2 , c3 sayılarını bulalım.
7c2 = c3 ve 2c2 = c1 oldu˘
gundan sistemin sıfırdan farklı ¸c¨oz¨
um¨
u vardır. Yani 1., 2.
ve 3. s¨
utunlar lineer ba˘
gımlıdır.
• 1., 2. ve 4. s¨
utunlar lineer ba˘gımlıdır:







3
1
0
0
 0 
 −7/3 
 1/3 
 0


 + c3 


c1 
 0  + c2 
 0  = 0
0 
0
0
0
0




olacak ¸sekilde c1 , c2 , c3 sayılarını bulalım.
7c2 = c3 ve −c2 = 3c1 oldu˘
gundan sistemin sıfırdan farklı c¸¨oz¨
um¨
u vardır. Yani 1., 2.
ve 4. s¨
utunlar lineer ba˘
gımlıdır.
Yani B matrisinin sadece ilk 2 s¨
utunu lineer ba˘gımsızdır.
Sonu¸c olarak A matrisinin B’nin lineer ba˘gımsız s¨
utunlarına kar¸sılık gelen s¨
utunları
lineer ba˘
gımsız, yani taban elemanıdır.
Yani H alt uzayının bir tabanı {(3, 1, −3, 7), (1, −2, −8, −7)} dir.
(b)(10 puan) H alt uzayın boyutu ka¸ctır? Neden?
C
¸¨
oz¨
um:
H’nin tabanında 2 eleman bulundu˘gundan H’nin boyutu, dim(H) = 2’dir.
˙
Imza:
Numara:
3/4
3. (30 puan)
2x − 2y + z = 1
2x + y − 2z = 0
−x + 2y − z = 0
lineer denklem sistemini Cramer Kuralıyla ¸c¨oz¨
un¨
uz.
(NOT: Matrislerin determinantını a¸cık¸ca hesaplayınız, Sarrus Kuralını kullanmayınız.)
C
¸¨
oz¨
um: Verilen denklem sisteminin katsayılar matrisi A, bilinmeyenler matrisi X ve
sa˘g taraftaki matrisi B olsun. Bu durumda sistem AX = B ¸seklindedir ve


 
 
2 −2
1
x
1





2
1 −2 , X = y ve B = 0  dır.
A=
−1
2 −1
z
0
2 −2
1 1 −2
1 −2 = 2(−1)1+1 det A = D = 2
2 −1
−1
2 −1 + (−2)(−1)1+2 2 −2 + 1(−1)1+3 2 1 −1 2 −1 −1 = (2)(3) − (−2)(−4) + (1)(5) = 6 − 8 + 5 = 3
1 −2
1
1
1
3+2
1 −2 = (2)(−1)
D1 = 0
0 −2
0
2 −1 + (−1)(−1)3+3 1 −2 0
1 = (−2)(−2) + (−1)(1) = 3
2 1
1 1
1
3+1
D2 = 2 0 −2 = (−1)(−1)
0 −2
−1 0 −1 2 1
3+3
+ (−1)(−1)
2 0
= (−1)(−2) + (−1)(−2) = 4
2 −2 1 −2 1
2+1
1 0 = 2(−1)
D3 = 2
2 0
−1
2 0
+ 1(−1)2+2 2 1 −1 0 = (−2)(−2) + (1)(1) = 5
x=
D1
3
= = 1,
D
3
y=
D2
4
= ,
D
3
z=
D3
5
= .
D
3
˙
Imza:
Numara:
4/4
4. (20 puan) (−b, 4, 0, 2b − 2) vekt¨
or¨
u
H = Sp{(−1, 1, −1, 1), (1, a, 1, −1), (−2a, −a, −2a + 1, 1 + 2a), (−1, 3, a − 1, 2)} uzayında
de˘gilse a ne olmalıdır?
C
¸¨
oz¨
um:
v = (−b, 4, 0, 2b − 2) olsun. v ∈
/ H ise v vekt¨or¨
u H’nin elemanlarının lineer bile¸simi
olarak yazılamaz. Di˘
ger bir deyi¸sle, v’yi H’nin elemanlarının lineer bile¸simi ¸seklinde yazmaya ¸calı¸sırsak, uygun c1 , c2 , c3 , c4 katsayılarını bulamayız. Yani bu lineer bile¸simi lineer
denklem sistemi olarak yazarsak bu sistemin ¸c¨oz¨
um¨
u yoktur.
v vekt¨or¨
un¨
u H’nin elemanlarının lineer bile¸simi olarak yazalım.
(−b, 4, 0, 2b − 2) = c1 (−1, 1, −1, 1) + c2 (1, a, 1, −1) + c3 (−2a, −a, −2a + 1, 1 + 2a)
+c4 (−1, 3, a − 1, 2)
ise
−c1 + c2 − 2ac3 − c4
c1 + ac2 − ac3 + 3c4
−c1 + c2 + c3 (−2a + 1) + c4 (a − 1)
c1 − c2 + c3 (1 + 2a) + 2c4
= −b
=4
=0
= 2b − 2
sisteminin hangi a de˘
geri i¸cin ¸c¨
oz¨
um¨
u olmadı˘gını g¨orelim.



−1
1
−2a
−1
−b
−b
−1 1 −2a −1
 1
 −R1 + R3 → R3  1 a −a
a
−a
3
3
4
4

 −−−−−−−−−−−−−→ 
 −1

0 
b
1 −2a + 1 a − 1
0
0
1
a
R1 + R4 → R4
1 −1
1 + 2a
2 2b − 2
0 0
1
1 b−2





−1
1 −2a
−1
−b
R + R2 → R2 
0 1 + a −3a
2 4−b 

−−−1−−−−−
−−−−−→ 
0
1
a
b 
−R3 + R4 → R4  0
−2
0
0
0 1−a

Yukarıdaki sistemin ¸c¨
oz¨
um¨
un¨
un olmaması, yani sistemin tutarsız olması, i¸cin 1 − a = 0 ya
da a = 1 olmalıdır.
Download

Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Lineer Cebir