6
1. Metrik Uzaylarda Kompaktlık
1.2
T¨
um¨
uyle Sınırlılık ve Kompaktlık
Bu kısımda bir metrik uzayın t¨
um¨
uyle sınırlı olma kavramı tanıtılarak, bunun
uzayın kompakt olması arasındaki ili¸skisi verilecektir.
Tanım 1.2. (X, d) bir metrik uzay olsun. Her r > 0 i¸cin
A ⊂ ∪nx∈Fr B(x, )
olacak bi¸cimde sonlu F ⊂ X k¨
umesi varsa, X’e t¨
um¨
uyle sınırlı1 uzay denir. Kompakt metrik uzayın t¨
um¨
uyle sınırlı oldu˘gu a¸cıktır. Bunun tersi do˘gru
de˘gildir.
¨
Ornekler
1.9. X = (0, 1) Euclidean uzayı t¨
um¨
uyle sınırlı olmasına kar¸sın kompakt de˘
gildir.
(X, d) bir metrik uzay ise, A ⊂ X i¸cin,
d(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}
yazaca˘gız.
¨
Onsav
1.5. X tam metrik uzay ve (An ), X’nin kapsama sıralamasına g¨
ore
azalan kapalı k¨
umelerin bir dizisi olsun. d(An ) → 0 ise A = ∩n An bir elemanlıdır.
Kanıt: x, y ∈ A verilsin. Her n ∈ N i¸cin,
d(x, y) ≤ d(An ) → 0
oldu˘gundan, x = y dir. Dolayısıyla A en fazla tek elemanlıdır. Her n i¸cin,
xn ∈ An se¸celim. Her n ve p i¸cin,
d(xn+p , xn ) ≤ d(An )
oldu˘gundan, (xn ) Cauchy dizisidir ve bir x ∈ X i¸cin xn → x. n verilsin. Her
m ≥ n i¸cin xm ∈ An ve An kapalı oldu˘
gundan x ∈ An dir. B¨oylece x ∈ A dır.
A¸sa˘gıdaki teorem t¨
um¨
uyle sınırlı bir metrik uzayın hangi ek ko¸sul altında
kompakt oldu˘
gunu s¨
oyler.
Teorem 1.6. (X, d) bir metrik uzayı i¸cin a¸sa˘gıdakiler denktir.
(i) X kompakt.
(ii) X t¨
um¨
uyle sınırlı ve tamdır.
1
o
¨nkompakt da denir.
1.2. Tum
Sınırlılık ve Kompaktlık
¨ uyle
¨
7
Kanıt: (i) =⇒ (ii): r > 0 verilsin. {B(x, r) : x ∈ X}, X’nin bir a¸cık
o¨rt¨
us¨
u oldu˘gundan,
X = ∪ni=1 B(xi , r)
o¨zelli˘ginde, xi ∈ X’ler vardır. X’nin precompact oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
X’nin tam olmadı˘
gını varsayalım. Yani yakınsak olmayan bir Cauchy (xn )
dizisi var olsun. Bu durumda her n 6= m i¸cin d(yn , ym ) ≥ ¨ozelli˘ginde (xn )’nin
bir (yn )’nin bir altdizisi ve > 0 vardır. X compact oldu˘gundan, (yn ) nin
yakınsayan bir (zn ) altdizisi vardır. zn → x diyelim. Buradan,
< d(zn , zm ) ≤ d(zn , x) + d(x, zm ) → 0
elde edilir ki, bu bir ¸celi¸skidir. B¨
oylece, X’nin tam oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur.
(ii) =⇒ (i): X’nin sayılabilir kompakt oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir (Theorem ???). Bunun i¸cin de X’nin sonsuz her alt k¨
umesinin bir w-yı˘gılma noktasınının varlı˘gını g¨
ostermek yeterlidir (Theorem ???). A ⊂ X k¨
umesi sonsuz
olsun. X t¨
um¨
uyle sınırlı oldu˘
gundan, her n ∈ N i¸cin
X = ∩x∈Fn B[x, n1 ]
¨ozelli˘ginde sonlu Fn ⊂ X k¨
umesi vardır. Ayrıca her n ∈ N i¸cin,
A ∩ C[x1 , 1] ∩ ... ∩ C[xn , n1 ]
k¨
umesi sonsuz olacak ¸cekilde, X’de (xn ) dizisi vardır. Her n ∈ N i¸cin,
Cn = ∩ni=1 B[xi , 1i ]
diyelim. Cn lerin kapalı, kapsama sıralamasına g¨ore azalan ve d(Cn ) → 0
oldu˘gu a¸cık. Yukaraıdaki ¨
onteorem gere˘
gi, ∩n Cn k¨
umesi tek elemanlıdır, bu
elemanı a ile g¨osterelim. Her n ∈ N i¸cin,
A ∪ C[x1 , 1] ∩ ... ∩ C[xn , n1 ]
k¨
umesinin sonsuz olması nedeniyle,
an+1 ∈ A ∩ C[x1 , 1] ∩ ... ∩ C[xn , n1 ] \ {a, a1 , ..., an }
¨ozelli˘ginde, A’da (an ) dizisi vardır.
d(a, an ) ≤ d(a, xn ) + d(xn , an ) <
2
n
oldu˘gundan, an → a dır. (an ) dizisinin terimleri birbirlerinden ve a’dan farklı
oldu˘gundan, a, A’nın w-yı˘
gılma noktasıdır. Bu kanıtı tamamlar.
Alı¸stırmalar
1.10. T¨
um¨
uyle sınırlı metrik uzayın tamlanı¸sının kompakt oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.11. X tam metrik uzay olsun. A ⊂ X altuzayının t¨
um¨
uyle sınırlı olması i¸cin gerekli ve
yeterli ko¸sulun, A altuzayının kompakt olması gerekti˘
gini g¨
osteriniz.
1.12. T¨
um¨
uyle sınırlı metrik uzayın ayrılabilir oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.13. T¨
um¨
uyle sınırlı bir uzayın bir homeomorfizma altındaki g¨
or¨
unt¨
us¨
un¨
un t¨
um¨
uyle sınırlı
olmasının gerekmedi˘
gi g¨
osteriniz.
Download

1.2 Tümüyle Sınırlılık ve Kompaktlık