1. Metrik Uzaylar ve
Topolojisi
Euclidean R uzayının tabanının
B = {(a, b) : a, b ∈ R}
oldu˘gunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyi¸ci unsur a¸cık aralıklar. Her
a¸cık aralık (a, b) i¸cin,
d : R × R → R+ , d(x, y) = |x − y|
olmak u
¨zere,
(a, b) = (x0 − , x0 + ) = {x ∈ R : d(x, x0 ) < }
olacak bi¸cimde > 0 ve x0 ∈ R vardır. Bu durumda
(a, b) = Bd (x0 , )
yazarız. O halde
B = {Bd (x, ) : x ∈ R, > 0}
dır. R u
¨zerinde tabanı B olan topolojinin ¨ozellikleri, a¸sa˘gıda tanımlanan d
fonksiyonunun a¸sa˘
gıdaki ¨
ozellikleri ile birebir ili¸skilidir.
(i) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y
(ii) d(x, y) = d(y, x)
(iii) d(x, y) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Bu b¨ol¨
umde yukarıdaki u
¨¸c ko¸sulu sa˘
glayan ve tanım k¨
umesinde R yerine X
alarak tanımlanan d fonksiyonunun u
¨retti˘gi topolojiyi tanımlıyarak temel ¨ozelliklerini verece˘
giz.
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi
1.1
3
Metrik ve Metrik Topolojisi
A¸sa˘gıdaki tanımla ba¸slayabiliriz.
Tanım 1.1. Bo¸s k¨
umeden farklı X k¨
umesi u
¨zerinde tanımlı ger¸cel de˘gerli
d : X → R fonksiyonu, her x,y, z ∈ X i¸cin a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glıyor ise,
d’ye metrik denir.
(M1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(M2) d(x, y) = d(y, x)
(M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
(X, d) ikilisine metric uzayı denir.
Tanımda ge¸cen (M 3) ¨
ozelli˘
gine u
¨¸
cgen e¸sitsizli˘
gi denir. Bu e¸sitsizli˘gi sa˘glayan
f : X → R fonksiyonu, her x,y, z ∈ X i¸cin
|f (x, y) − f (x, z)| ≤ sup{d(y, z), d(z, y)
dir. Ayrıca d metri˘
gi i¸cin, x,y, z ∈ X olmak u
¨zere
|d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(y, z).
sa˘glanır.
Metrik uzaylar ile ilgili bilinen metrik ¨
ornekleri alı¸stırmalar kısmındadır. En
temel ve m¨
utevazi metrik ¨
orne˘
gi ise tartı¸sılmaz bir ¸sekilde a¸sa˘gıdakidir.
¨
Ornek
1.1. d : R × R → R, d(x, y) = |x − y| olarak tanımlanan fonksiyon bir metriktir.
R’de tanımlı sınırlı a¸cık ve kapalı aralık kavramı a¸sa˘gıdaki gibi genellenebilir.
Tanım 1.2. (X, d) bir s¨
ozde metrik uzay olmak u
¨zere, x ∈ X ve r > 0 verilsin.
x merkezli ve r yarı¸caplı
(i) a¸
cık k¨
ure: B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}
(i) kapalı k¨
ure: B[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}
olarak tanımlanır.
A¸sa˘gıdaki teoremden de anla¸sılaca˘
gı u
¨zere a¸cık k¨
ure kavramı ¨onemlidir.
Teorem 1.1. (X, d) bir s¨
ozde metrik uzay olmak u
¨zere, X u
¨zerinde
B = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0}
bir topoloji tabanıdır. Tabanı bu olan topolojiye d tarafından u
¨retilen metric
topoloji denir.
4
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
Kanıt: ∪x∈X,r>0 B(x, r) = X oldu˘
gu a¸cık. z ∈ B(x, s) ∩ B(y, r) verilsin.
t = min{s − d(x, z), r − d(y, z)}
olmak u
¨zere,
B(z, r) ⊂ B(x, s) ∩ B(y, r)
sa˘glanır. Bu kanıtı tamamlar.
τ, X u
¨zerinde d metri˘
gi tarafından u
¨retilmi¸s topoloji ise,
T = {U ⊂ X : ∀x ∈ U ∃r > 0
such that B(x, r) ⊂ U }
oldu˘gu a¸cıktır.
Tanım 1.3. Topolojisi metrik topoloji olan topolojik uzaya metrikle¸sebilir
topolojik uzay ya da denir.
d : X × X → R metrik olsun. X k¨
umesinin bo¸s k¨
umeden farklı her alt
k¨
umesi i¸cin d|A×A , A k¨
umesi u
¨zerinde bir metrik oldu˘gundan, a¸sa˘gıdaki teoremin kanıtı barizdir.
Teorem 1.2. Metrikle¸sebilir topolojik uzayın topolojik altuzayı metrikle¸sebilir
uzaydır.
Metrikle¸sebilir topolojik uzayın temel ¨ozelliklerinden birisi Hausdorff olmasıdır.
Teorem 1.3. Metrikle¸sebilir topolojik uzay T2 -uzayıdır.
Kanıt: (X, τ ), d metri˘
gi tarafından u
¨retilen topolojik uzay olsun. x,y ∈ X,
x 6= y verilsin.
r=
d(x,y)
3
diyelim. r > 0 ve
B(x, r) ∩ B(y, r) = ∅
sa˘glanır. A¸cık k¨
ureler a¸cık, x ∈ B(x, r) ve y ∈ B(y, r) olmamsından kanıt
tamamlanır.
(X, d) metrik uzay olmak u
¨zere her x ∈ X’nın A ⊂ X k¨
umesine olan uzaklı˘gı
d(x, A) := inf{d(x, a) : a ∈ A}
olarak tanımlanır. Her x, y ∈ X ve A ⊂ X i¸cin
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi
5
|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y)
e¸sitsizli˘gi sa˘glanır. Bu e¸sitsizlik sonucu, A ⊂ X i¸cin,
f : X → R, f (x) = d(x, A)
olarak tanımlanan fonksiyon,
|f (x) − f (y)| ≤ d(x, y)
e¸sitsizli˘gini sa˘glar. Bu noktodan sonra f ’nin s¨
urekli oldu˘gunu g¨ostermek zor
de˘gildir. Bu g¨ozlem sonucu, metrikle¸sebilir bir topolojik uzayda bir k¨
umenin
kapalı olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun, o k¨
umenin R’nin kapalı bir altk¨
umesin
s¨
urekli bir fonksiyon altındaki ters g¨
or¨
unt¨
us¨
u olmasıdır. Daha a¸cık bir s¨oylem
ile:
Teorem 1.4. τ , X u
¨zerinde d metri˘gi tarafından u
¨retilmi¸s topoloji olsun. Her
A ⊂ X i¸cin
A = {x ∈ X : d(x, A) = 0}
dir.
Kanıt: x ∈ A olsun. > 0 verilsin. d(x, A) > oldu˘gunu varsayalım.
0 < r = d(x, A) − diyelim. B(x, r) ve x’i i¸cerdi˘
ginden,
d(x, a) < d(x, A) − ≤ d(x, a) − elde edilir ki, bu ¸celi¸skidir. O halde her > 0 i¸cin d(x, a) ≤ dır. B¨oylece
d(x, a) = 0 elde edilir. S
¸ imde d(x, A) = 0 ¨ozelli˘ginde x ∈ X se¸celim. > 0
verilsin. d(x, a) < ¨
ozelli˘
ginde a ∈ A se¸cebiliriz. Yani
B(x, ) ∩ A 6= ∅
dır. B¨oylece x ∈ A dır. Kanıt tamamlanır.
Metrik uzay kavramı a¸sa˘
gıdaki gibi genellenebilir. Ancak bu kavramların detaylarına girilmeyecektir.
Tanım 1.4. d : X ×X → R+ fonksiyonu verilsin. (M 1), (M 2) ve (M 3) metrik
uzayı tanımında ge¸cen aksiyomlar olmak u
¨zere, d’ye
(i) s¨
ozde mertik : (M 2) ve (M 3) ko¸sulları ve her x ∈ X i¸cin d(x, x) = 0
¨ozelli˘gi sa˘
glanıyor ise,
(i) simetrik mertik : (M 1) ve (M 2) sa˘glanıyor ise,
6
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
(i) yarı mertik1 (Wilson (1931)) : (M 1) ve (M 3) sa˘glanıyor ise.
¨
Ornek
1.2.
(i) s¨
ozde metrik metrik olmayabilir: X, [0, 1]’den R’ye tanımlı integrallenebilir fonksiyonların k¨
umesi olsun.
R1
d(f, g) = 0 |f (x) − g(x)|dx
olarak tanımlanan d fonksiyonu s¨
ozde metrik fakat metrik de˘
gildir.
(i) yarımetrik metrik olmayabilir: d : R × R → R+ fonksiyonu
d(x, y) =
x−y
−1
x≥y
x<y
olarak tanımlansın. d yarımetrik fakat metrik de˘
gildir.
(i) simetrik metrik olmayabilir: d : R × R → R+ fonksiyonu
d(x, y) = |xy| + |x| + |y|
simetrik fakat metrik de˘
gildir, ger¸cekten
d(1, 2) 6≤ d(1, 0) + d(0, 2)
(X, d) s¨ozde metrik uzay ise, metrik uzayda oldu˘gu gibi,
B = {{x : d(x, y) < ρ} : x ∈ X, r > 0}
X u
¨zerinde bir topolojik tabandır. Tabanı bu olan topolojik uzaya s¨
ozde
metrik topoloji denir. S¨
ozde metrik uzayın T2 -uzay olması gerekmez. Di˘ger
taraftan s¨ozde metrik topolojik uzayın T2 -olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul,
s¨ozde metri˘gin metrik olmasıdır.
Alı¸stırmalar
1.3. En az iki elemanlı bir X k¨
umesi u
¨zerinde tanımlı en kaba topolojinin metrik olmayan
s¨
ozde metrik topoloji oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.4. Bir X k¨
umesi u
¨zerinde tanımlı en ince topolojinin bir metrik topolojisi oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.5. S¨
ozde metrik topolojisinin bir metrik topoloji olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sulun
Hausdorff olması gerekti˘
gini g¨
osteriniz.
1.6. X bo¸ck¨
umeden farklı bir k¨
ume olmak u
¨zere, her f : X → R fonksiyonu i¸cin,
df : X → R,
df (x, y) = |f (x) − f (y)|
olarak tanımlanan fonksiyon bir s¨
ozde metriktir. Bu metrik tarafından belirlenen topolojiyi tanımlayınız. Bu s¨
ozde metri˘
gin bir metrik olabilmesi i¸cin f u
¨zerindeki gerekli ve
yeterli ko¸sulu belirleyiniz.
1.7. d : X × X → R bir s¨
ozde metrik olsun.
i.) x ≡ y ⇐⇒ d(x, y) = 0 ili¸skisi bir denklik ba˘
glantısıdır.
ii.) x ∈ X’nin denklik sınıfı [x] ile g¨
osterilsin. Y = {[x] : x ∈ X} olmak u
¨zere,
p : Y × Y → R,
bir metrik tir.
1
quasi metric
p([x], [y]) = d(x, y)
1.1. Metrik ve Metrik Topolojisi
7
1.8. (X, d) bir metrik uzay olsun. X × X’den R’ye a¸sa˘
gıdaki fonksiyonlar tanımlansın.
p(x, y) = min{d(x, y), 1}
ve
q(x, y) =
d(x, y)
.
1 + d(x, y)
i.) p ve q’nun metrik oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
ii.) d, p ve q metriklerinin aynı topolojiyi u
¨retti˘
gini g¨
osteriniz.
1.9. Bir X k¨
umesi u
¨zerinde tanımlı d ve p metriklerinin denk olması,
md(x, y) ≤ p(x, y) ≤ M d(x, y),
x, y ∈ X
o
¨zelli˘
ginde m, M > 0 ger¸cel sayılarının var olmasıdır. d ve p metrikleri denk ise, bunlar
tarafından u
¨retilen metrik topolojilerin e¸sit olduklarını ancak tersinin do˘
gru olmadı˘
gını
g¨
osteriniz.
d(x,y)
(Kanıt: d metriıgi sınırlı olmayan metrik olsun. p : X × X → R, p(x, y) = 1+d(x,y)
olarak tanımlanan metrik ile d metri˘
ginin topolojilerinin aynı olmalarına kar¸sın denk
de˘
gillerdir.)
Download

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi